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浙江金华市义乌市宾王学校2025-2026学年九年级第二学期3月月考数学试卷
1．的绝对值是（　　）
A．2026 B． C． D．
2．人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；模型参数可达6710亿个，其中6710亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（　　）
A．， B．， C．， D．，
6．若，，则的值可能为（　　）
A．0 B． C．1 D．2
7．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C． D．
8．如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．已知二次函数过点，，三点．记，，下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出面积的条件是（　　）
A． B． C． D．
11．因式分解： 　 　.
12．一个袋子中有2个白球和5个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是　 　.
13．如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为　 　．
14．若关于x的方程 + =2的解为正数，则m的取值范围是　 　．
15．如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为　 　．
16．如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为　 　．
17．计算：．
18．求不等式组：的所有整数解．
19．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出的边上的中线．
（2）在图②中的边上确定一点，使．
（3）在图③中的边上确定一点，使．
20．某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，宇航员生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验，观看后，为了解学生对四个实验的喜爱情况，学校对部分学生进行了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）求一共调查了多少名学生，图2中A所对应的圆心角度数是多少；
（2）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的实验比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
21．如图，，平分，过点作交于，连接交于．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
22．综合与实践
（1）【提出问题】
如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为_____；
（2）【类比探究】
如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．
①求的度数；
②当时，求的长；
（3）【迁移运用】
如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长．
23．已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）若，当时，函数最大值为9，求a的值；
（3）已知函数图象经过、，且，求t的取值范围．
24．已知内接于，作外角的角平分线交于点A，连接，．
（1）如图1，求证：为等腰三角形．
（2）如图2，若过圆心O，、交于点，，求．
（3）如图3，作直径交于点G，若，且，求．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且，
∴．
故选：A.
【分析】
根据负数的绝对值是它的相反数即可解答.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6710亿．
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是，
故选：
【分析】
根据左视图的定义：从几何体的左侧面进行观察所得到的图形.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】对于选项，，，错误；
对于选项，根据积的乘方与幂的乘方法则，，错误；
对于选项，根据同底数幂的除法法则，，计算正确，正确；
对于选项，根据完全平方公式，，错误．
正确答案为．
【分析】
分别计算二次根式化简，幂的运算，整式除法及完全平方公式，对每个选项逐一计算验证即可得到结果．
5．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、∵，，
，，，
，
∴，故命题“若，则”成立，不符合题意；
B、∵，，
，，，
，
∴，故命题“若，则”成立，不符合题意；
C、∵，，
，，，
，
，故命题“若，则”不成立，符合题意；
D、∵，，
，，，
，
∴，故命题“若，则”成立，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】举反例说明命题是假命题，举出的反例需要满足原命题的已知条件，但不满足命题的结论，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的乘除法；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：依题意，
，
∵，
∴，
∵，
故A选项不符合题意；
∴当时，则（舍去），
∴当时，则（舍去），
∴当时，则，符合题意.
故答案为：D.
【分析】先根据题意列出分式除法的式子，然后将被除式的分母利用平方差公式分解因式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简；根据原分式有意义的条件判断出x≠0且x≠±2，然后根据被除数为零，且除数不为零，商才能为零可判断A选项；然后令化简后的式子分别等于B、C、D选项给出的数，解分式方程求出x的值，再与x取值范围比较，即可判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数与一次函数的交点问题；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是或
故选：B．
【分析】
理解不等式的几何意义，即一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x的取值范围即可.
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，在上任意取一点Q，连接，，如图：
∵多边形是正六边形，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】
利用正六边形的性质求出圆心角的度数，进而求出弧CD所对的圆周角，最后利用圆内接四边形对角互补的性质求出度数即可.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴，
若，则，
∴或，故A是假命题；
若，则，
∴，故B是假命题；
若，则，故C为真命题；
若，则，即，故D为假命题，
故选C．
【分析】
先根据二次函数的性质，结合已知条件求出m-n关于t的表达式，再根据表达式分析各个选项即可.
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似多边形；平行四边形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：矩形矩形，
设矩形与矩形的相似比为，即，
设，，
则在矩形、矩形中，，，
矩形、矩形、矩形的对边互相平行，，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
故选：A．
【分析】
利用矩形的性质和相似多边形的性质，找出各矩形面积之间的关系，进而求出的面积即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵袋子里装有2个白球和5个黑球，共个球，
∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可.
13．【答案】5
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：是的直径，弦于点E，，
，
设的半径为r，则，
在中，，即，
解得，
故答案为：5.
【分析】由垂直弦的直径平分弦可得CE=CD=4，设的半径为r，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解得出r的值即可.
14．【答案】m＜6且m≠0
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 + =2有解，
∴x﹣2≠0，
∴x≠2，
去分母得：2﹣x﹣m=2（x﹣2），
即x=2﹣ ，
根据题意得：2﹣＞0且2﹣≠2，
解得：m＜6且m≠0．
故答案是：m＜6且m≠0．
【分析】先把m当常数求出方程的解，根据解为正数得出不等式组求解即可。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：在与中，
∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵、分别是与对应角、的平分线，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】结合公共角∠CAD=∠BAC，由有两组角相等的两个三角形相似得出△ACD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例及AB=3AD可得出，然后根据相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比得出，从而即可求出的值.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接D'N，在BC上截取BE=BD'，连接D'E，
由折叠性质可知，垂直平分，
∴，，，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过作，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】连接D'N，在BC上截取BE=BD'，连接D'E，由折叠得DN=D'N，DM=D'M，DP=D'P，MN⊥DD'，NDD'=∠ND'D=30°，由三角形内角和定理得∠DND'=120°，由平行四边形性质得AB=CD=6，BC=AD=10，∠ADC=∠B=60°，∠BAD=∠BCD=120°；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BED'是等边三角形，得BD'=D'E，∠BED'=60°由邻补角推出∠D'EN=∠BCD=120°，由角的构成及三角形外角相等推出∠D'NE=∠NDC，从而用“AAS”判断出△D'NE≌△NDC，由全等三角形的对应边相等得EN=CD=6，CN=CN'=D'E，根据线段和差可得AD'=4，过D'作D'F⊥AD，交DA延长线于点F，由含30°角直角三角形的性质得出AF=2，由线段和差算出DF=12，在Rt△AFD'中，利用勾股定理算出D'F，在Rt△MFD'中利用勾股定理建立方程可求出DM=D'M=，在Rt△DFD'中，由勾股定理算出DD'，从而可得DP的长，最后在Rt△MPD中，利用勾股定理算出MP即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后再进行加减运算即可.
18．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
∴不等式组的所有整数解为：0，1，2，3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，取它们的公共部分，得到不等式组的解集，即可得出不等式组的所有整数解．
19．【答案】（1）解：如图①，即为所求．
（2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点，
则点即为所求．
（3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点，
则，
则，
即，
则点即为所求．
【知识点】解直角三角形；三角形的中线
【解析】【分析】（1）三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段；
（2）取格点，使，且，连接，与的交点即为点．
（3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求．
（1）解：如图①，即为所求．
（2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点，
则点即为所求．
（3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点，
则，
则，
即，
则点即为所求．
20．【答案】（1）解：共调查的学生人数为：（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：，

（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图可计算出总人数，再用乘以A的占比即可求解A所对应的圆心角度数；
（2） 画树状图画出所有的可能结果，找出抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
（1）解：共调查的学生人数为：（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：，
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
21．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行线的应用-求角度；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到，结合∠ABD=∠BCD，用有两个角对应相等的两个三角形相似得出△ABD∽△BCD，由相似三角形对应边成比例可得结论；
（2）由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠MBD=∠MDB，由等角对等边得出MB=MD，由角的构成、直角三角形两锐角互余及等角的余角相等推出∠A=∠ABM，由等角对等边得出MA=MB=MD=AD=4，利用（1）的结论可求出BD；由平行于三角形一边得直线截其它截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△BMN∽△DCN，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DN的长.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
22．【答案】（1）
（2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．

（3）或
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
（1）
解：∵菱形中，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）
解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
过点作于点G，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．
【分析】
（1）根据菱形的性质，再根据旋转性质，可证明是等边三角形，再根据全等三角形的判定SAS即可证明，进而得到．
（2）连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，证明，得到，结合解答即可．
②根据正方形的性质，得到，继而得到，
解答即可．
（3）首先求出的度数，再通过作辅助线，利用三角形相似的判定和性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可．
（1）解：∵菱形中，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
过点作于点G，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．
23．【答案】（1）解：将代入得，，
∴，
∴．

（2）解：把代入得，
∵对称轴，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴当时，，即，
解得．

（3）解：当时，，
∵，对称轴，
∴当时，，，
∴且，
∴离对称轴越近函数值越大，
∵，
∴，即
解得，
综上所述，且．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）将已知点利用待定系数法带入解析式求出a与b的关系，再代入对称轴的公式计算即可；
（2）根据开口方向和对称轴确定最大值点，代入函数式求解a即可；
（3）由题意可知当时，，则且，离对称轴越近函数值越大，根据列出不等式求解即可．
（1）解：将代入得，，
∴，
∴．
（2）解：把代入得，
∵对称轴，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴当时，，即，
解得．
（3）解：当时，，
∵，对称轴，
∴当时，，，
∴且，
∴离对称轴越近函数值越大，
∵，
∴，即
解得，
综上所述，且．
24．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
由题意可得四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

（3）解：如图，连接，在上取点，使得，
∵，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∵为直径，由（2）可知，
∴，，
∴，
∵，
∴．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的外角等于内对角及角平分线定义证明，即可得出结论；
（2）利用直径所对的圆周角是直角，可得=90°，结合（1）中的AB=AC，利用等腰三角形三线合一的性质，可知OABC，由次可证AODB，进而利用相似三角形的性质可求出半径，最后利用勾股定理求出BC即可；
（3）通过作辅助线，使得，由，可得，进而可证明，则有，即，解得，再证明，则，求解得，则，再由勾股定理，求得，由，可得即可求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
由题意可得四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，在上取点，使得，
∵，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∵为直径，由（2）可知，
∴，，
∴，
∵，
∴．
1 / 1浙江金华市义乌市宾王学校2025-2026学年九年级第二学期3月月考数学试卷
1．的绝对值是（　　）
A．2026 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且，
∴．
故选：A.
【分析】
根据负数的绝对值是它的相反数即可解答.
2．人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；模型参数可达6710亿个，其中6710亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6710亿．
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是，
故选：
【分析】
根据左视图的定义：从几何体的左侧面进行观察所得到的图形.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】对于选项，，，错误；
对于选项，根据积的乘方与幂的乘方法则，，错误；
对于选项，根据同底数幂的除法法则，，计算正确，正确；
对于选项，根据完全平方公式，，错误．
正确答案为．
【分析】
分别计算二次根式化简，幂的运算，整式除法及完全平方公式，对每个选项逐一计算验证即可得到结果．
5．举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、∵，，
，，，
，
∴，故命题“若，则”成立，不符合题意；
B、∵，，
，，，
，
∴，故命题“若，则”成立，不符合题意；
C、∵，，
，，，
，
，故命题“若，则”不成立，符合题意；
D、∵，，
，，，
，
∴，故命题“若，则”成立，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】举反例说明命题是假命题，举出的反例需要满足原命题的已知条件，但不满足命题的结论，据此逐一判断得出答案.
6．若，，则的值可能为（　　）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的乘除法；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：依题意，
，
∵，
∴，
∵，
故A选项不符合题意；
∴当时，则（舍去），
∴当时，则（舍去），
∴当时，则，符合题意.
故答案为：D.
【分析】先根据题意列出分式除法的式子，然后将被除式的分母利用平方差公式分解因式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简；根据原分式有意义的条件判断出x≠0且x≠±2，然后根据被除数为零，且除数不为零，商才能为零可判断A选项；然后令化简后的式子分别等于B、C、D选项给出的数，解分式方程求出x的值，再与x取值范围比较，即可判断得出答案.
7．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数与一次函数的交点问题；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是或
故选：B．
【分析】
理解不等式的几何意义，即一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x的取值范围即可.
8．如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，在上任意取一点Q，连接，，如图：
∵多边形是正六边形，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】
利用正六边形的性质求出圆心角的度数，进而求出弧CD所对的圆周角，最后利用圆内接四边形对角互补的性质求出度数即可.
9．已知二次函数过点，，三点．记，，下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴，
若，则，
∴或，故A是假命题；
若，则，
∴，故B是假命题；
若，则，故C为真命题；
若，则，即，故D为假命题，
故选C．
【分析】
先根据二次函数的性质，结合已知条件求出m-n关于t的表达式，再根据表达式分析各个选项即可.
10．如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出面积的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似多边形；平行四边形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：矩形矩形，
设矩形与矩形的相似比为，即，
设，，
则在矩形、矩形中，，，
矩形、矩形、矩形的对边互相平行，，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
故选：A．
【分析】
利用矩形的性质和相似多边形的性质，找出各矩形面积之间的关系，进而求出的面积即可.
11．因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．一个袋子中有2个白球和5个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵袋子里装有2个白球和5个黑球，共个球，
∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可.
13．如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：是的直径，弦于点E，，
，
设的半径为r，则，
在中，，即，
解得，
故答案为：5.
【分析】由垂直弦的直径平分弦可得CE=CD=4，设的半径为r，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解得出r的值即可.
14．若关于x的方程 + =2的解为正数，则m的取值范围是　 　．
【答案】m＜6且m≠0
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 + =2有解，
∴x﹣2≠0，
∴x≠2，
去分母得：2﹣x﹣m=2（x﹣2），
即x=2﹣ ，
根据题意得：2﹣＞0且2﹣≠2，
解得：m＜6且m≠0．
故答案是：m＜6且m≠0．
【分析】先把m当常数求出方程的解，根据解为正数得出不等式组求解即可。
15．如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：在与中，
∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵、分别是与对应角、的平分线，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】结合公共角∠CAD=∠BAC，由有两组角相等的两个三角形相似得出△ACD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例及AB=3AD可得出，然后根据相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比得出，从而即可求出的值.
16．如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接D'N，在BC上截取BE=BD'，连接D'E，
由折叠性质可知，垂直平分，
∴，，，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过作，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】连接D'N，在BC上截取BE=BD'，连接D'E，由折叠得DN=D'N，DM=D'M，DP=D'P，MN⊥DD'，NDD'=∠ND'D=30°，由三角形内角和定理得∠DND'=120°，由平行四边形性质得AB=CD=6，BC=AD=10，∠ADC=∠B=60°，∠BAD=∠BCD=120°；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BED'是等边三角形，得BD'=D'E，∠BED'=60°由邻补角推出∠D'EN=∠BCD=120°，由角的构成及三角形外角相等推出∠D'NE=∠NDC，从而用“AAS”判断出△D'NE≌△NDC，由全等三角形的对应边相等得EN=CD=6，CN=CN'=D'E，根据线段和差可得AD'=4，过D'作D'F⊥AD，交DA延长线于点F，由含30°角直角三角形的性质得出AF=2，由线段和差算出DF=12，在Rt△AFD'中，利用勾股定理算出D'F，在Rt△MFD'中利用勾股定理建立方程可求出DM=D'M=，在Rt△DFD'中，由勾股定理算出DD'，从而可得DP的长，最后在Rt△MPD中，利用勾股定理算出MP即可.
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后再进行加减运算即可.
18．求不等式组：的所有整数解．
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
∴不等式组的所有整数解为：0，1，2，3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，取它们的公共部分，得到不等式组的解集，即可得出不等式组的所有整数解．
19．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出的边上的中线．
（2）在图②中的边上确定一点，使．
（3）在图③中的边上确定一点，使．
【答案】（1）解：如图①，即为所求．
（2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点，
则点即为所求．
（3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点，
则，
则，
即，
则点即为所求．
【知识点】解直角三角形；三角形的中线
【解析】【分析】（1）三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段；
（2）取格点，使，且，连接，与的交点即为点．
（3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求．
（1）解：如图①，即为所求．
（2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点，
则点即为所求．
（3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点，
则，
则，
即，
则点即为所求．
20．某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，宇航员生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验，观看后，为了解学生对四个实验的喜爱情况，学校对部分学生进行了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）求一共调查了多少名学生，图2中A所对应的圆心角度数是多少；
（2）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的实验比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）解：共调查的学生人数为：（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：，

（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图可计算出总人数，再用乘以A的占比即可求解A所对应的圆心角度数；
（2） 画树状图画出所有的可能结果，找出抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
（1）解：共调查的学生人数为：（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：，
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
21．如图，，平分，过点作交于，连接交于．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行线的应用-求角度；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到，结合∠ABD=∠BCD，用有两个角对应相等的两个三角形相似得出△ABD∽△BCD，由相似三角形对应边成比例可得结论；
（2）由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠MBD=∠MDB，由等角对等边得出MB=MD，由角的构成、直角三角形两锐角互余及等角的余角相等推出∠A=∠ABM，由等角对等边得出MA=MB=MD=AD=4，利用（1）的结论可求出BD；由平行于三角形一边得直线截其它截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△BMN∽△DCN，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DN的长.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
22．综合与实践
（1）【提出问题】
如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为_____；
（2）【类比探究】
如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．
①求的度数；
②当时，求的长；
（3）【迁移运用】
如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．

（3）或
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
（1）
解：∵菱形中，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）
解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
过点作于点G，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．
【分析】
（1）根据菱形的性质，再根据旋转性质，可证明是等边三角形，再根据全等三角形的判定SAS即可证明，进而得到．
（2）连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，证明，得到，结合解答即可．
②根据正方形的性质，得到，继而得到，
解答即可．
（3）首先求出的度数，再通过作辅助线，利用三角形相似的判定和性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可．
（1）解：∵菱形中，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
过点作于点G，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．
23．已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）若，当时，函数最大值为9，求a的值；
（3）已知函数图象经过、，且，求t的取值范围．
【答案】（1）解：将代入得，，
∴，
∴．

（2）解：把代入得，
∵对称轴，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴当时，，即，
解得．

（3）解：当时，，
∵，对称轴，
∴当时，，，
∴且，
∴离对称轴越近函数值越大，
∵，
∴，即
解得，
综上所述，且．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）将已知点利用待定系数法带入解析式求出a与b的关系，再代入对称轴的公式计算即可；
（2）根据开口方向和对称轴确定最大值点，代入函数式求解a即可；
（3）由题意可知当时，，则且，离对称轴越近函数值越大，根据列出不等式求解即可．
（1）解：将代入得，，
∴，
∴．
（2）解：把代入得，
∵对称轴，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴当时，，即，
解得．
（3）解：当时，，
∵，对称轴，
∴当时，，，
∴且，
∴离对称轴越近函数值越大，
∵，
∴，即
解得，
综上所述，且．
24．已知内接于，作外角的角平分线交于点A，连接，．
（1）如图1，求证：为等腰三角形．
（2）如图2，若过圆心O，、交于点，，求．
（3）如图3，作直径交于点G，若，且，求．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
由题意可得四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

（3）解：如图，连接，在上取点，使得，
∵，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∵为直径，由（2）可知，
∴，，
∴，
∵，
∴．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的外角等于内对角及角平分线定义证明，即可得出结论；
（2）利用直径所对的圆周角是直角，可得=90°，结合（1）中的AB=AC，利用等腰三角形三线合一的性质，可知OABC，由次可证AODB，进而利用相似三角形的性质可求出半径，最后利用勾股定理求出BC即可；
（3）通过作辅助线，使得，由，可得，进而可证明，则有，即，解得，再证明，则，求解得，则，再由勾股定理，求得，由，可得即可求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
由题意可得四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，在上取点，使得，
∵，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∵为直径，由（2）可知，
∴，，
∴，
∵，
∴．
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