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2026年湖南长沙市华益中学数学中考一模适应性练习卷
1．2026的相反数是（　　）
A．2026 B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．2025福州马拉松于12月14日激情开跑，本届赛事吸引35000跑者汇聚于冬日榕城．将数据35000用科学记数法表示为（　　）．
A． B． C． D．
4．年月日，第十五届全国运动会闭幕式在广东深圳举行，下列给出的运动图案中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知一组数据：，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A． B． C． D．
6．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，中，，边上的高为，点，，分别在边，，上，且．设点到的距离为，的面积为，则关于的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
11．因式分解 = 　 　．
12．不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是　 　．
13．如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，的半径长为，则隧道的高为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是　 　．
15．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击次，成绩的平均数（单位：环）和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
/环
根据表中数据，你认为应该推荐运动员　 　去参赛，更有把握赢得比赛．
16．高速公路某收费站出城方向有编号分别为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口20分钟通过小客车的数量都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量如下表所示：
收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A
通过小客车数/辆 125 150 140 170 115
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是　 　．
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中，，．
19．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．连接并延长交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的面积．
20．4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样共调查了________名学生，m的值为________；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？
21．如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表．
采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元
第一次购物 5 6 400
第二次购物 7 6 396
第三次购物 4 3 230
（1）分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价；
（2）求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？
23．如图，在中，D是边上一点，M是边的中点，连接并延长至点N，使得，连接，，，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求点A到边的距离．
24．我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线．
（1）抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
当时，；（　　）
当时，；（　　）
抛物线与轴可能只有一个交点；（　　）
（2）是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由；
（3）“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值．
25．已知为的直径，，点在上．连接，过点作，交于点．，垂足为．
（1）如图1，连接，当的延长线恰好交于点时，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，连接，，交半径于点，当时，求线段的长；
（3）如图3，连接，，，设面积为，四边形的面积为，，如果，求关于的函数解析式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2026是一个正数，根据相反数的定义，正数的相反数是在其前面添加负号的负数。因此，2026 的相反数就是 - 2026。
故答案为：B。
【分析】首先明确题目考查的是相反数的定义，即只有符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数。
对给定的正数 2026，只需改变其符号，即可得到它的相反数 - 2026。最后对照选项，选择正确答案。
2．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与次数不同，不是同类项，无法合并，结果应为，故此选项错误，不符合题意；
B、属于单项式乘以单项式，系数相乘（），变量部分指数相加（），结果为， 故此选项正确，符合题意；
C、属于单项式除以单项式，系数相除（），变量部分指数相减（），结果为，但选项写为， 故此选项错误，不符合题意；
D、属于幂的乘方，需对系数和变量分别乘方：系数为，变量为，结果应为，但选项写为，系数错误， 故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由单项式乘以单项式，把系数与相同字母的幂分别相乘的积作为积的一个因式，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，据此可判断B选项；由单项式除以单项式，把系数与相同字母的幂分别相除的商作为商的一个因式，对于只在被除式含有的字母，则连同指数作为商的一个因式，据此可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由科学记数法的要求可得，．
故选：B．
【分析】科学记数法要求形式为，其中，为整数．
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、自行车图案，沿任何直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、人物图案，沿任何直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
C、人物图案，沿中间竖直线折叠后，两边能完全重合，是轴对称图形，符合题意，
D、人物图案，沿任何直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意．
答案：C.
【分析】轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵数据为，其中出现了次，出现次数最多，
∴众数为，
把这组数据从小到大排列为：，这组数据共个数，个数为奇数，中间位置的数是第个数，为，
∴中位数为，
∴这组数据的众数和中位数分别是，．
故答案为：B
【分析】众数定义：一组数据中出现次数最多的数.中位数定义：把一组数据按从小到大或从大到小）排列后：数据个数为奇数，取最中间的那个数；数据个数为偶数：取中间两个数的平均数.根据定义可得答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴
∴
∴．
故答案为：B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，求出，然后求出的度数，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求解即可．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形内接于，
，
由圆周角定理可得：．
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的两组对角之和都是求出，根据同弧或等弧所对的圆周角，等于这条弧所对圆心角的一半即可计算出的度数 ．
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得；
解不等式②，得，
在数轴上表示为：
所以C符合题意．
故答案为：C
【分析】先根据不等式的性质，分别求出两个不等式的解集，，然后在数轴上表示出解集即可．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴将各点横坐标分别代入解析式得，，，，
∵，
∴．
故答案为：D
【分析】将，， 横坐标代入反比例函数求出对应纵坐标，再比较大小即可．
10．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，交于点，
∵边上的高为，点到的距离为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，点在上，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∴，
∵，
∴该函数图象是开口向下，顶点坐标为的抛物线， 当时，；当时，，观察选项，只有选项符合．
故选：A.
【分析】过点作于H，交于点．根据平行于三角形一边的直线，截另外两边，所得三角形与原三角形相似，可得，根据相似三角形，对应边成比例，求出的长，再根据三角形面积公式列出函数关系式，根据求出的函数关系式，判断图象．
11．【答案】m（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=m（m2-4）=m（m+2）（m-2）
【分析】先用提公因式法分解，然后利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，从这个袋子里任意摸出个球，摸出红球的概率为，
故答案为：．
【分析】用袋中红色小球的个数比上袋中小球的总个数即可求出从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率.
13．【答案】6
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是中弦的中点，经过圆心，且，
∴，，
∵的半径长为，
∴，
∴在中，，
∴．
故答案为：6.
【分析】连接，先根据垂径定理可得的长和，再利用勾股定理求出，再求出CD即可.
14．【答案】4
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵与位似，且点O是位似中心，
∴．
∵点，
∴，
∴，
则与的相似比为2，
∴与的面积比是4．
故答案为：4.
【分析】由题意得，再根据相似三角形对应边求出相似比，然后根据相似三角形得面积比 = 相似边比的平方，即可得出答案．
15．【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格数据可知，甲和乙的平均数均为环，大于丙和丁的平均数，说明甲和乙的平均成绩更高，
甲的方差为，小于乙的方差，说明甲的成绩比乙更稳定，
综合平均成绩和发挥稳定性，应该推荐运动员甲去参赛．
故答案为：甲.
【分析】先比较四名运动员的平均数，选择平均数较大的，即甲和乙的平均成绩更高的，再在甲和乙中比较方差，根据方差越小成绩越稳定，据此选出甲为参赛人选．
16．【答案】B
【知识点】不等式的性质；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设编号为，，，，的五个收费出口每20分钟通过小客车的数量分别为，，，，．
根据题意得，
由，得，则．
由，得，则．
由，得，则．
由，得，则．
由，得，则．
综上可得，
因此每20分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是．
故答案为：B.
【分析】根据表格数据得到五个出口每20分钟通过小客车数量列关系式，通过这些等式的差，比较出 A， B， C， D， E的大小关系，即可得到结果．
17．【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算负整数指数幂 ： (a0) ， 零指数幂 ： a0=1 (a0)， 特殊角三角函数值 ： cos30 =， 二次根式的化简：，再将各项结果代入原式进行加减运算，最终得到结果．
18．【答案】解：
，
当，时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 和平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2 计算，再合并，然后把，代入化简后的结果，即可求解．
19．【答案】（1）解：由作图过程可得，平分，∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴
（2）解：由（1）可得，，∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由作图过程可得，平分，根据三角形的内角和等于，求出，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，得到，即可求出答案；
（2）根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，再根据，即可求出答案．
（1）解：由作图过程可得，平分，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）50；30
（2）解∶补图如下∶
（3）解：（名）答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有600名
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次调查的学生人数为（人）；D类的人数为（人）．
，
∴．
故答案为：50；30.
【分析】（1）总人数 = A类的 人数 ÷ 对应百分比求出总人数；m=D类的人数总人数× 100%；
（2）根据（1）中所求D类的人数，即可补全条形统计图；
（3）最喜爱“文学艺术类”图书的学生=用学校总人数× 样本中喜欢B文学艺术类的学生所占的百分比．
（1）解：这次调查的学生人数为（人）；
D类的人数为（人）．
，
∴．
（2）解∶补图如下∶
（3）解：（名）
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有600名．
21．【答案】（1）证明：∵是的中点，∴．
∵，，
∴．
在和中：
∴，
∴
（2）解：由（1）知，∴．
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵是中点，
∴．
在中，，，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据是的中点，可得，根据 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ，证明，进而即可得证；
（2）由（1）可得，则是等边三角形，再求出，最后根据Rt△中，∠30° 对的直角边 =斜边，求解即可．
（1）证明：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴．
在和中：
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴．
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵是中点，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，
根据题意知第一、三次购物为原价，则，
解得：，
答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元
（2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，
由题意得，，
解得：．
答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，根据总价=单价×数量，列出方程组，求出x和y的值；
（2）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据总价=单价×数量×折扣，根据题意列出第二次购物的方程，求解即可．
（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，
根据题意知第一、三次购物为原价，则，
解得：，
答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元；
（2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，
由题意得，，
解得：．
答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的．
23．【答案】（1）证明：∵M是边的中点，∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，可得，再由，(两直线平行，同旁内角互补)可得，即可证明四边形是矩形；
（2）过点作于点，利用矩形对角线相等，矩形四个角都是直角可得，，由可得是等边三角形，则可得，进而得到，，根据勾股定理求得，，然后利用三角形的面积求出的长即可．
（1）证明：∵M是边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．【答案】（1）√；√；×；
（2）解：不存在，理由如下：由（1）可得抛物线，顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得：，整理得：
∵，是“同频”拋物线上的点，
∴，
得：，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴该抛物线的解析式为；
∵，
∴在直线上，
联立
消去得，
即
∴
∴不在抛物线上，故不存在
（3）解：由抛物线，∴顶点坐标为，
∵抛物线是“同频”拋物线，
∴，整理得：，
∴，
∵抛物线与直线交于，两点，
∴，
，
解得：，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴顶点到的距离等于，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，，
∴
；
当时，，
∴
；
综上可得：代数式的值为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：由抛物线，∴顶点坐标为，
根据“同频”拋物线可得：，整理得：，
当时，；
∵，，
∴；
由，
∴抛物线与轴没有交点，
故答案为：√；√；×；
【分析】（）先求出顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得，整理得，分别判断；当时，代入得；当时，推导出；抛物线与轴没有交点；
（2）由（1）得抛物线的顶点坐标为，，将，代入，则，得出，再结合，得，然后求出，再联立，得出无交点，可求出不在抛物线上，即可求解；
（）先求出抛物线的顶点坐标为，又抛物线是“同频”拋物线，则，整理得，所以，根据题意得，解得，，所以，又是等腰直角三角形，所以顶点到的距离等于，得，整理得，求得，然后分情况求解当时，=3，当时，=1.
（1）解：由抛物线，
∴顶点坐标为，
根据“同频”拋物线可得：，整理得：，
当时，；
∵，，
∴；
由，
∴抛物线与轴没有交点，
故答案为：√；√；×；
（2）解：不存在，理由如下：
由（1）可得抛物线，顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得：，整理得：
∵，是“同频”拋物线上的点，
∴，
得：，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴该抛物线的解析式为；
∵，
∴在直线上，
联立
消去得，
即
∴
∴不在抛物线上，故不存在
（3）解：由抛物线，
∴顶点坐标为，
∵抛物线是“同频”拋物线，
∴，整理得：，
∴，
∵抛物线与直线交于，两点，
∴，
，
解得：，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴顶点到的距离等于，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，，
∴
；
当时，，
∴
；
综上可得：代数式的值为或．
25．【答案】（1）证明：如图1
∵为的直径，，
∴∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形
（2）解：如图2
∵为的直径，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得
（3）解：如图3
∵，为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
，
即，
，
∵，
∴，
解得，
∴，
，
，
∴
【知识点】列二次函数关系式；菱形的判定；垂径定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据垂径定理 ，先推导出再根据，得，又根据两直线平行，内错角相等，得到，进而得到，则，根据一组对边平行且相等，推导出四边形为平行四边形，再由，根据 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得到四边形为菱形，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，得到，根据等边对等角得到，根据两直线平行，内错角相等，得到，进而可知，根据同圆的所有半径都相等，得到，根据（ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ），得到，所以，进而退出，得到，根据内错角相等，两直线平行，得到，根据 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例 ，得到，进而得到.
（3）先根据 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 ，推导出根据 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ，得到，即，进而推导出，，得到，即，再由，推导出，得到，解得，得到，即可解答．
（1）证明：如图1
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：如图2
∵为的直径，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得．
（3）解：如图3
∵，为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
，
即，
，
∵，
∴，
解得，
∴，
，
，
∴．
1 / 12026年湖南长沙市华益中学数学中考一模适应性练习卷
1．2026的相反数是（　　）
A．2026 B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2026是一个正数，根据相反数的定义，正数的相反数是在其前面添加负号的负数。因此，2026 的相反数就是 - 2026。
故答案为：B。
【分析】首先明确题目考查的是相反数的定义，即只有符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数。
对给定的正数 2026，只需改变其符号，即可得到它的相反数 - 2026。最后对照选项，选择正确答案。
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与次数不同，不是同类项，无法合并，结果应为，故此选项错误，不符合题意；
B、属于单项式乘以单项式，系数相乘（），变量部分指数相加（），结果为， 故此选项正确，符合题意；
C、属于单项式除以单项式，系数相除（），变量部分指数相减（），结果为，但选项写为， 故此选项错误，不符合题意；
D、属于幂的乘方，需对系数和变量分别乘方：系数为，变量为，结果应为，但选项写为，系数错误， 故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由单项式乘以单项式，把系数与相同字母的幂分别相乘的积作为积的一个因式，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，据此可判断B选项；由单项式除以单项式，把系数与相同字母的幂分别相除的商作为商的一个因式，对于只在被除式含有的字母，则连同指数作为商的一个因式，据此可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
3．2025福州马拉松于12月14日激情开跑，本届赛事吸引35000跑者汇聚于冬日榕城．将数据35000用科学记数法表示为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由科学记数法的要求可得，．
故选：B．
【分析】科学记数法要求形式为，其中，为整数．
4．年月日，第十五届全国运动会闭幕式在广东深圳举行，下列给出的运动图案中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、自行车图案，沿任何直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、人物图案，沿任何直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
C、人物图案，沿中间竖直线折叠后，两边能完全重合，是轴对称图形，符合题意，
D、人物图案，沿任何直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意．
答案：C.
【分析】轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
5．已知一组数据：，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵数据为，其中出现了次，出现次数最多，
∴众数为，
把这组数据从小到大排列为：，这组数据共个数，个数为奇数，中间位置的数是第个数，为，
∴中位数为，
∴这组数据的众数和中位数分别是，．
故答案为：B
【分析】众数定义：一组数据中出现次数最多的数.中位数定义：把一组数据按从小到大或从大到小）排列后：数据个数为奇数，取最中间的那个数；数据个数为偶数：取中间两个数的平均数.根据定义可得答案.
6．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴
∴
∴．
故答案为：B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，求出，然后求出的度数，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求解即可．
7．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形内接于，
，
由圆周角定理可得：．
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的两组对角之和都是求出，根据同弧或等弧所对的圆周角，等于这条弧所对圆心角的一半即可计算出的度数 ．
8．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得；
解不等式②，得，
在数轴上表示为：
所以C符合题意．
故答案为：C
【分析】先根据不等式的性质，分别求出两个不等式的解集，，然后在数轴上表示出解集即可．
9．已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴将各点横坐标分别代入解析式得，，，，
∵，
∴．
故答案为：D
【分析】将，， 横坐标代入反比例函数求出对应纵坐标，再比较大小即可．
10．如图，中，，边上的高为，点，，分别在边，，上，且．设点到的距离为，的面积为，则关于的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，交于点，
∵边上的高为，点到的距离为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，点在上，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∴，
∵，
∴该函数图象是开口向下，顶点坐标为的抛物线， 当时，；当时，，观察选项，只有选项符合．
故选：A.
【分析】过点作于H，交于点．根据平行于三角形一边的直线，截另外两边，所得三角形与原三角形相似，可得，根据相似三角形，对应边成比例，求出的长，再根据三角形面积公式列出函数关系式，根据求出的函数关系式，判断图象．
11．因式分解 = 　 　．
【答案】m（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=m（m2-4）=m（m+2）（m-2）
【分析】先用提公因式法分解，然后利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
12．不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，从这个袋子里任意摸出个球，摸出红球的概率为，
故答案为：．
【分析】用袋中红色小球的个数比上袋中小球的总个数即可求出从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率.
13．如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，的半径长为，则隧道的高为　 　．
【答案】6
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是中弦的中点，经过圆心，且，
∴，，
∵的半径长为，
∴，
∴在中，，
∴．
故答案为：6.
【分析】连接，先根据垂径定理可得的长和，再利用勾股定理求出，再求出CD即可.
14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是　 　．
【答案】4
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵与位似，且点O是位似中心，
∴．
∵点，
∴，
∴，
则与的相似比为2，
∴与的面积比是4．
故答案为：4.
【分析】由题意得，再根据相似三角形对应边求出相似比，然后根据相似三角形得面积比 = 相似边比的平方，即可得出答案．
15．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击次，成绩的平均数（单位：环）和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
/环
根据表中数据，你认为应该推荐运动员　 　去参赛，更有把握赢得比赛．
【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格数据可知，甲和乙的平均数均为环，大于丙和丁的平均数，说明甲和乙的平均成绩更高，
甲的方差为，小于乙的方差，说明甲的成绩比乙更稳定，
综合平均成绩和发挥稳定性，应该推荐运动员甲去参赛．
故答案为：甲.
【分析】先比较四名运动员的平均数，选择平均数较大的，即甲和乙的平均成绩更高的，再在甲和乙中比较方差，根据方差越小成绩越稳定，据此选出甲为参赛人选．
16．高速公路某收费站出城方向有编号分别为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口20分钟通过小客车的数量都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量如下表所示：
收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A
通过小客车数/辆 125 150 140 170 115
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是　 　．
【答案】B
【知识点】不等式的性质；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设编号为，，，，的五个收费出口每20分钟通过小客车的数量分别为，，，，．
根据题意得，
由，得，则．
由，得，则．
由，得，则．
由，得，则．
由，得，则．
综上可得，
因此每20分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是．
故答案为：B.
【分析】根据表格数据得到五个出口每20分钟通过小客车数量列关系式，通过这些等式的差，比较出 A， B， C， D， E的大小关系，即可得到结果．
17．计算：．
【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算负整数指数幂 ： (a0) ， 零指数幂 ： a0=1 (a0)， 特殊角三角函数值 ： cos30 =， 二次根式的化简：，再将各项结果代入原式进行加减运算，最终得到结果．
18．先化简，再求值：，其中，，．
【答案】解：
，
当，时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 和平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2 计算，再合并，然后把，代入化简后的结果，即可求解．
19．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．连接并延长交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：由作图过程可得，平分，∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴
（2）解：由（1）可得，，∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由作图过程可得，平分，根据三角形的内角和等于，求出，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，得到，即可求出答案；
（2）根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，再根据，即可求出答案．
（1）解：由作图过程可得，平分，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样共调查了________名学生，m的值为________；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？
【答案】（1）50；30
（2）解∶补图如下∶
（3）解：（名）答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有600名
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次调查的学生人数为（人）；D类的人数为（人）．
，
∴．
故答案为：50；30.
【分析】（1）总人数 = A类的 人数 ÷ 对应百分比求出总人数；m=D类的人数总人数× 100%；
（2）根据（1）中所求D类的人数，即可补全条形统计图；
（3）最喜爱“文学艺术类”图书的学生=用学校总人数× 样本中喜欢B文学艺术类的学生所占的百分比．
（1）解：这次调查的学生人数为（人）；
D类的人数为（人）．
，
∴．
（2）解∶补图如下∶
（3）解：（名）
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有600名．
21．如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的中点，∴．
∵，，
∴．
在和中：
∴，
∴
（2）解：由（1）知，∴．
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵是中点，
∴．
在中，，，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据是的中点，可得，根据 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ，证明，进而即可得证；
（2）由（1）可得，则是等边三角形，再求出，最后根据Rt△中，∠30° 对的直角边 =斜边，求解即可．
（1）证明：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴．
在和中：
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴．
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵是中点，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
22．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表．
采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元
第一次购物 5 6 400
第二次购物 7 6 396
第三次购物 4 3 230
（1）分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价；
（2）求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？
【答案】（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，
根据题意知第一、三次购物为原价，则，
解得：，
答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元
（2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，
由题意得，，
解得：．
答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，根据总价=单价×数量，列出方程组，求出x和y的值；
（2）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据总价=单价×数量×折扣，根据题意列出第二次购物的方程，求解即可．
（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，
根据题意知第一、三次购物为原价，则，
解得：，
答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元；
（2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，
由题意得，，
解得：．
答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的．
23．如图，在中，D是边上一点，M是边的中点，连接并延长至点N，使得，连接，，，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求点A到边的距离．
【答案】（1）证明：∵M是边的中点，∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，可得，再由，(两直线平行，同旁内角互补)可得，即可证明四边形是矩形；
（2）过点作于点，利用矩形对角线相等，矩形四个角都是直角可得，，由可得是等边三角形，则可得，进而得到，，根据勾股定理求得，，然后利用三角形的面积求出的长即可．
（1）证明：∵M是边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线．
（1）抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
当时，；（　　）
当时，；（　　）
抛物线与轴可能只有一个交点；（　　）
（2）是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由；
（3）“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值．
【答案】（1）√；√；×；
（2）解：不存在，理由如下：由（1）可得抛物线，顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得：，整理得：
∵，是“同频”拋物线上的点，
∴，
得：，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴该抛物线的解析式为；
∵，
∴在直线上，
联立
消去得，
即
∴
∴不在抛物线上，故不存在
（3）解：由抛物线，∴顶点坐标为，
∵抛物线是“同频”拋物线，
∴，整理得：，
∴，
∵抛物线与直线交于，两点，
∴，
，
解得：，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴顶点到的距离等于，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，，
∴
；
当时，，
∴
；
综上可得：代数式的值为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：由抛物线，∴顶点坐标为，
根据“同频”拋物线可得：，整理得：，
当时，；
∵，，
∴；
由，
∴抛物线与轴没有交点，
故答案为：√；√；×；
【分析】（）先求出顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得，整理得，分别判断；当时，代入得；当时，推导出；抛物线与轴没有交点；
（2）由（1）得抛物线的顶点坐标为，，将，代入，则，得出，再结合，得，然后求出，再联立，得出无交点，可求出不在抛物线上，即可求解；
（）先求出抛物线的顶点坐标为，又抛物线是“同频”拋物线，则，整理得，所以，根据题意得，解得，，所以，又是等腰直角三角形，所以顶点到的距离等于，得，整理得，求得，然后分情况求解当时，=3，当时，=1.
（1）解：由抛物线，
∴顶点坐标为，
根据“同频”拋物线可得：，整理得：，
当时，；
∵，，
∴；
由，
∴抛物线与轴没有交点，
故答案为：√；√；×；
（2）解：不存在，理由如下：
由（1）可得抛物线，顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得：，整理得：
∵，是“同频”拋物线上的点，
∴，
得：，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴该抛物线的解析式为；
∵，
∴在直线上，
联立
消去得，
即
∴
∴不在抛物线上，故不存在
（3）解：由抛物线，
∴顶点坐标为，
∵抛物线是“同频”拋物线，
∴，整理得：，
∴，
∵抛物线与直线交于，两点，
∴，
，
解得：，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴顶点到的距离等于，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，，
∴
；
当时，，
∴
；
综上可得：代数式的值为或．
25．已知为的直径，，点在上．连接，过点作，交于点．，垂足为．
（1）如图1，连接，当的延长线恰好交于点时，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，连接，，交半径于点，当时，求线段的长；
（3）如图3，连接，，，设面积为，四边形的面积为，，如果，求关于的函数解析式．
【答案】（1）证明：如图1
∵为的直径，，
∴∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形
（2）解：如图2
∵为的直径，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得
（3）解：如图3
∵，为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
，
即，
，
∵，
∴，
解得，
∴，
，
，
∴
【知识点】列二次函数关系式；菱形的判定；垂径定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据垂径定理 ，先推导出再根据，得，又根据两直线平行，内错角相等，得到，进而得到，则，根据一组对边平行且相等，推导出四边形为平行四边形，再由，根据 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得到四边形为菱形，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，得到，根据等边对等角得到，根据两直线平行，内错角相等，得到，进而可知，根据同圆的所有半径都相等，得到，根据（ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ），得到，所以，进而退出，得到，根据内错角相等，两直线平行，得到，根据 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例 ，得到，进而得到.
（3）先根据 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 ，推导出根据 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ，得到，即，进而推导出，，得到，即，再由，推导出，得到，解得，得到，即可解答．
（1）证明：如图1
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：如图2
∵为的直径，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得．
（3）解：如图3
∵，为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
，
即，
，
∵，
∴，
解得，
∴，
，
，
∴．
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