资源简介

湖南省怀化市部分学校2026年中考二模数学试卷
1．如图，数轴上表示3的点是（　　）
A．M B．N C．P D．Q
2．2026年 2 月 3 日，湖南省第十四届人民代表大会第四次会议在省人民会堂开幕.会议指出：2026年是“十五五”规划开局之年，做好全年工作意义重大.今年主要预期目标包含多项，其中粮食产量 61500 000 000斤左右.将数据 61500 000 000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，石鼓是中国古代文化的瑰宝.《说文解字》：“春分之音，万物郭皮甲而出，故谓之鼓.”所以石鼓象征万物丰茂、财丰物足.下列选项中，石鼓的俯视图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(-2，1)，则点M关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．(-2，-1) B．(2，-1) C．(-2，1) D．(2，1)
6．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 的对角线 BD 经过圆心O，若∠ABD=35°，则∠ACB的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．“湘”是湖南的简称.如图，将写有“三”“湘”“四”“水”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入不透明的袋中，从中随机抽取一张，抽取到的卡片上写有汉字“湘”的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数k的值为（　　）
A．3 B．3或-3 C．6 D．9
9．关于一次函数y=2x-4，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第二、四象限 B．函数值y随自变量x的增大而减小
C．当x=2时，函数值y=0 D．图象与y轴交于点(0，4)
10．中国结寓意团圆、美满.劳技课上小敏设计了一个菱形中国结饰件如图1，其示意图如图2，量得AB=10 cm，AC=12 cm，则该菱形的面积为（　　）
A． B． C．108 cm2 D．96 cm2
11．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　.
12．因式分解： 　 　.
13．气温变化对人身体与生活影响显著，相对稳定的温度，有利于平衡代谢、降低心血管疾病.甲、乙两地年平均气温基本相同，甲地年度气温的方差 乙地年度气温的方差 从宜居的角度来看，你认为　 　地更适合居住.(填“甲”或“乙”)
14．某款学生课桌实物如图1，侧面示意图如图2，其中AB∥CD，AE=BE.若∠BDC=40°，则∠AEB的度数为　 　.
15．如图，在△ABC中，D为边AB的中点，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，交AB于点M，N；分别以点M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，在△ABC 内交于点 P；作直线 DP 交 BC 于点 Q；连接AQ.若AQ=3QC=6，则BC=　 　.
16．已知△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.规定：
⑴若∠A=∠B=60°，则φ=　 　；
⑵下列结论正确的是　 　.(写出所有正确的结论)
①若 则
②若 则△ABC是等腰直角三角形；
③若 则-1<φ<1.
17． 计算：
18． 先化简，再求值：其中
19． 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，延长CB至点E，连接DE.已知AB∥CD，OB=OD.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；
（2）下面是两位同学的对话，请你选择一位同学的说法，并进行解答.
小星：若添加条件 的面积为8，则可计算 的面积 小红：若添加条件 的面积为2，则可计算 的面积
20．《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》优化了课程设置，将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来.某校七、八、九年级开展“我劳动，我成长”活动，并对学生在某一周内家务劳动的时间(用x表示，单位：h)进行了数据收集、整理与统计分析，整理出如下部分信息.
【收集、整理数据】
Ⅰ.八年级A 班50名学生该周家务劳动时间如下：
劳动时间(h) 0≤x<1.5 1.5≤x<3
学生人数(名) 10 15 20 5
Ⅱ.八年级 B班50名学生该周家务劳动时间(分4组)的频数分布直方图如图1；
Ⅲ.七、八、九年级的学生人数所占比例的扇形统计图如图2；
Ⅳ.全校七、八、九年级学生总数共计1 800名.
【问题解决】
根据整理的部分信息，解决问题：
（1）①补全上面的频数分布直方图；
②该校八年级学生共 ▲ 名；
（2）各班将该周家务劳动时间按从高到低的顺序排在前50%(含)的学生授予“班级劳动之星”称号，王芳与赵强为八年级A，B两班的学生，且两位同学该周家务劳动时间相同.若该周王芳被授予“班级劳动之星”称号，赵强未被授予该称号，请你根据这一信息，判断两位同学分别属于A，B哪一个班 为什么
（3）分析数据时陈华发现，八年级A班、B班在这周家务劳动时间不到1.5小时的人数都恰好占班级人数的 由此他得出结论：全校该周家务劳动时间不到1.5小时的学生人数约为360名.你支持他的结论吗 请说明理由.
21．“湘瓷”以其深厚的历史积淀和不断的工艺创新，当之无愧地成为与“湘绣”齐名的湖南省省级名片.某外贸公司计划采购甲、乙两种湘瓷工艺品销往国外，其采购方案与金额如下：
　 甲种湘瓷件数 乙种湘瓷件数 金额/元
方案一 3 1 1 100
方案二 2 4 1 400
（1）求甲、乙两种湘瓷工艺品的单价；
（2）该外贸公司计划采购这两种湘瓷工艺品共300件，总费用不超过80000元，问最多可购买甲种湘瓷工艺品多少件
22．某校数学第二课堂学习小组组织了一次户外学习活动，对校外公园一个创意型多边形大门进行了测量与计算.下表是他们的活动过程与测量结果的活动报告单.
活动主题 测量公园多边形大门数据
活动成员 数学第二课堂学习小组组员
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
实拍图
与几何
示意图 实拍图 几何示意图
绘测步骤 ①门框垂直于地面，抽象出的几何图形是五边形ABCDE(各顶点在同一平面，AB在水平地面上).②门框外观是轴对称图形(点C 对应点 E).
测量数据 ①用皮尺测得： ②用测角仪测得： ③用计算器计算得：
问题解决 ⑴求门框的宽度CE； ⑵求门框最高点 D到水平地面AB 的距离.(结果保留一位小数)
23．已知一次函数y=-2x+4的图象分别交x轴，y轴于点A，C，过A，C两点的二次函数 +c(a≠0)的图象与x轴交于另一点 B.
（1）求a，c的值及点 B的坐标；
（2）如图1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)为AC上方抛物线上两动点，分别过点P，Q作x轴的垂线，与线段 AC交于点M，N.若 探究线段 PN与 MQ 能否互相垂直且平分 若能互相垂直且平分，求出符合条件的点 P的坐标；若不能，请说明理由；
（3）如图2，点G在y轴正半轴上，连接AG，当OG=1时，在二次函数图象上存在点H使得∠OGH+∠OAG=180°，求点 H到y轴的距离.
24．【动手操作】将两块大小相等的直角三角形纸片ABC与EDC按如图1叠放，B与D分别是直角顶点，△DCE绕公共顶点 C进行旋转时，保持△DCE在直线BC上方，连接BD，AE.
（1）【初步探究】若 则在旋转过程中，AE 与 BD 总是保持怎样的数量关系
（2）【尝试进阶】如图2，∠BCD=90°，BD的延长线交AE于点 F，若AC=4，求EF的长；
（3）【问题解决】如图3，线段DE与AC交于点G，AB∥CE，CG=2AG=2，求DG的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：根据题图可知，数轴单位长度为1，
∴表示3的点是Q，
故答案为：D.
【分析】根据有理数在数轴上表示方法解答即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：61500000000=6.15×1010.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 石鼓的俯视图为
，
故答案为：A.
【分析】根据从上面看到的几何图形是俯视图解答即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：m2与m3不是同类项，不能合并，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，计算正确；
D：，原计算错误；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、单项式乘以单项式、积的乘方法则秩序爱能够判断解答即可.
5．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点M 关于y轴对称的点的坐标为(2，1).
故答案为：D.
【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可.
6．【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABD=35°，
∴∠ADB=90°-∠ABD=55°，
∴∠ACB=∠ADB=55°.
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠BAD=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABD的度数，再根据同弧所对的圆周角相等解答即可.
7．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽取到的卡片共有4种等可能结果，抽取到的卡片上写有汉字“湘”的有1种，
∴抽取到的卡片上写有汉字“湘”的概率是 ，
故答案为：B.
【分析】根据概率公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意，得
解得k=3.
故答案为：A.
【分析】根据方程根的情况得到，求出k的值解答即可.
9．【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得2>0，-4<0，
∴图象经过第一、三、四象限，函数值y随自变量x的增大而增大
，∴A，B选项错误；
当x=2时，y=2×2-4=0，
∴C选项正确；
当x=0时，y=-4，
∴图象与y轴交于点(0，-4)，
∴D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据2>0，-4<0，得到一次函数图象经过的象限和增减性判断A，B；把x=2代入求出y的值判断C；把x=0代入求出y的值判断D选项解答即可.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点 E，
∵ 四边形ABCD 为菱形，
故答案为：D.
【分析】连接BD交AC于点 E，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AE=6cm，BD=2BE，然后根据勾股定理求出BE长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件：
解得：
故答案为
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，列不等式即可.
12．【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
13．【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵甲、乙两地年平均气温基本相同，方差越小，气温波动越小，3.6<12.8，
∴乙地气温更稳定，更适合居住.
故答案为：乙.
【分析】根据方差越小，气温波动越小解答即可.
14．【答案】100°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC=40°，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA=40°，
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠ABD=∠BDC=40°，然后根据等边对等角得到∠EAB=∠EBA=40°，再根据三角形的内角和定理解答即可.
15．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图步骤可知，DQ⊥AB，
∵D为边AB的中点，
∴ DQ垂直平分边 AB，
∴AQ=BQ，
∵AQ=3QC=6，
∴QC=2，BQ=AQ=6，
∴BC=BQ+QC=8.
故答案为：8.
【分析】根据作图可得DQ垂直平分边 AB，即可得到AQ=BQ，求出QC和BQ长，再根据线段的和差解答即可.
16．【答案】；②③
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】(1)∵∠A=∠B=60°，
∴△ABC 为等边三角形，
；
故答案为：；
，
①错误；
=0，即
，
∴△ABC是等腰直角三角形，②正确；
，
∵a+b>c，即
即
即-1<φ<1，③正确.
故答案为：②③；
【分析】（1）得到△ABC是等边三角形，即a=b=c，然后整体代入计算即可；
（2）把代入整理得，然后分子按照平方差公式运算，再整体代入求出数值判断①；把代入得到即可得到△ABC的形状判断②；根据三角形的三边关系得到b的取值范围，然后根据条件得到，进而得到φ的取值范围判断③解答即可.
17．【答案】解：原式=2-1-1+3=3.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算算术平方根、零次幂、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18．【答案】解：原式：
，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；整体思想
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式的法则展开，合并同类项化简，然后根据条件得到，然后整体代入计算即可.
19．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABO 和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）解：选择小星，
如解图，过点 D 作DF⊥BC 于点 F，
则
∵BE=2BC，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
或选择小红，
如解图，过点 D 作DF⊥BC 于点 F，
∵S△ABO=2，四边形ABCD 是平行四边形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到∠BAC=∠DCA，然后根据AAS得到△ABO≌△CDO，即可得到AB=CD，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到结论即可；
（2）选择小星：过点 D 作DF⊥BC 于点 F，根据题意得到进而根据解答即可；选择小红：过点 D 作DF⊥BC 于点 F，得到，然后根据BE=2BC得到解答即可.
20．【答案】（1）解：①该周家务劳动时间在3≤x<4.5的学生人数为50-10-24-3=13(人).
补全频数分布直方图如解图；
②630；
（2）解：王芳属于B班，赵强属于A班；
理由如下：观察表格可发现，八年级A 班该周家务劳动时间在3小时及以上的学生有25人，恰好为全班同学的50%，而八年级 B 班该周家务劳动时间在3小时及以上的学生只有13+3=16(人)，低于全班同学的50%，
∵两位同学该周家务劳动时间相同，但授予称号情况不同，
∴两位同学分属两班，若王芳属于A班，赵强属于 B 班，根据A 班该周家务劳动时间信息，两位同学该周家务劳动时间大于等于3小时，则 B 班赵强同学也能被授予称号，不满足题意；若王芳属于 B 班，赵强属于A班，两位同学该周家务劳动时间在1.5≤x<3范围内，满足题意；
（3）解：不支持他的结论，
理由如下：样本不具有代表性，不能反映出七年级和九年级的情况.
【知识点】抽样调查的可靠性；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）②1800×(1-30%-35%)= 630(人)，
故答案为：630；
【分析】（1）①运用B班人数减去其它组的人数求出劳动时间在3≤x<4.5的学生人数，补全直方图即可；
②用全校人数乘以八年级人数占比解答即可；
（2）先得到全班50%的学生对应的家务劳动时间段，然后分别比较得到两人班级即可；
（3）根据抽取样本的代表性解答即可.
21．【答案】（1）解：设甲种湘瓷工艺品的单价为x元，乙种湘瓷工艺品的单价为y元，
根据题意，得
解得
答：甲种湘瓷工艺品的单价为300元，乙种湘瓷工艺品的单价为200元；
（2）解：设采购甲种湘瓷工艺品m件，则采购乙种湘瓷工艺品(300-m)件，
根据题意，得300m+200(300-m)≤80 000，解得m≤200，
∴m的最大值为200，
答：最多可采购200件甲种湘瓷工艺品.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种湘瓷工艺品的单价为x元，乙种湘瓷工艺品的单价为y元，根据表格数据列方程求出x和y的值解答即可；
（2）设采购甲种湘瓷工艺品m件，则采购乙种湘瓷工艺品(300-m)件，根据“ 两种湘瓷工艺品共300件，总费用不超过80000元 ”列不等式求出m的最大整数解即可.
22．【答案】解：⑴如图，过点 C作 CH⊥AB，交AB 的延长线于点 H，过点 D作 DM⊥AB 于点 M，连接CE 交DM于点 G，
∵五边形ABCDE 是轴对称图形，
∴M为AB的中点，∠A=∠ABC=130°，
则 40°，
在Rt△BCH中，∠H=90°，
∴四边形 CHMG 为矩形，
∴CG=MH=BM+BH=1+1.28=2.28(m)，
∴CE=2CG=4.56m≈4.6m，
答：门框的宽度CE 约为4.6m；
⑵∵四边形 CHMG 为矩形，
∵MH∥CG，
∴∠BCG=∠CBH=50°，
在 Rt△CGD中，∠CGD=90°，
DG=CG· tan 45°=2.28×1=2.28(m)，
∴DM=DG+GM=2.28+1.54≈3.8(m)，
答：门框最高点 D 到水平地面AB 的距离约为3.8m.
【知识点】矩形的判定与性质；轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点 C作 CH⊥AB，交AB 的延长线于点 H，过点 D作 DM⊥AB 于点 M，连接CE 交DM于点 G，根据轴对称性可得∠CBH=50°，即可得到∠BCH=40°，然后得到四边形 CHMG 为矩形，根据EC=2CG=2MH解答即可；
（2）根据余弦的定义求出CH长，然后根据平行线的性质和角的和差得到∠DCG=45°，进而根据正切的定义求出DG长，再根据线段的和差解答即可.
23．【答案】（1）解：∵一次函数y=-2x+4的图象与y轴交于点C，
∴点 C 的坐标为(0，4)，
当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，
∴点A的坐标为(2，0)，
∵二次函数 的图象过点A(2，0)，C(0，4)，
∴c=4，
将A(2，0)代入 中，得 解得a=-2，
∴二次函数图象的对称轴为直线
∵A，B为二次函数图象与x轴的交点，
∴点A 与点 B 关于直线 对称，
∴点 B的坐标为(-1，0)；
（2）解：PN与MQ 不能互相垂直且平分.
理由如下：
由(1)得，二次函数的表达式为
∵PM，QN均与x轴垂直，
∵PM∥QN，
∴当线段 PN 与 MQ 互相垂直且平分时，四边形PMNQ 为菱形，则PM=QN，
即 解得
此时 点M的坐标为( ，3)，点N的坐标为
∴PM≠MN，
∴四边形 PMNQ 不是菱形，
∴线段 PN 与 MQ 不能互相垂直且平分；
（3）解：如图，过点H作HE⊥y轴于点 E，则∠OGH+∠HGE=180°，
当∠OGH+∠OAG=180°时，∠HGE=∠OAG，
∵∠HEG=∠AOG=90°，
∴△AOG∽△GEH，
设点H的坐标为
则
如图1，当点H在y轴右侧时，EH=t，
解得
∵点H在y轴右侧，
∴点H到y轴的距离为
如图2，当点H在y轴左侧时，EH=-t，
解得
∵点H在y轴左侧，
∴点H到y轴的距离为
综上所述，当∠OGH+∠OAG=180°时，点H到y轴的距离为 或
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；相似三角形的判定-AA；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）求出一次函数与x轴和y轴的点点坐标，然后代入二次函数的额解析式求出a，c的值解，并求出抛物线的对称轴，根据对称性求出点B的坐标即可；
（2）把 x1， x1+1代入二次函数和一次函数的解析式，求出PM和QN的长，根据菱形的判定得到PM=QN，建立方程求出x的值，即可得到点M和N的坐标，根据两点间距离公式求出MN的长，得到PM≠MN，解答即可；
（3）过点H作HE⊥y轴于点 E，根据两角对应相等得到△AOG∽△GEH，即可得到，设点H的坐标为表示EG长，分为点H在y轴右侧或点H在y轴左侧两种情况，列方程求出t的值解答即可.
24．【答案】（1）解：∵△ABC≌△EDC，
∴BC=DC，AC=CE，∠DCE=∠BCA，
∴，∠ACE=∠BCD，
∴△BCD∽△ACE，
（2）解：如图1，过点A作AM∥BC交BF的延长线于点M，
∵∠BCD=90°，
∴∠ACE=90°，
∴△BCD 与△ACE均为等腰直角三角形，
∴∠DBC=45°，
∴∠ABM=45°，
∵AM∥BC，
∴∠MAB=∠ABC=90°，
∴△ABM为等腰直角三角形，
∴AM=AB=DE
∵AM∥BC∥DE，
∴∠M=∠FDE，
在△AFM与△EFD中，
∴△AFM≌△EFD(AAS)，
∴AF=EF，
（3）解：如解图2，延长ED交AB 于点 N，连接CN，
∵AB∥EC，
∴△ANG∽△CEG.
∵CG=2AG=2，∴AG=1，
∴CE=AC=AG+CG=3，
∵∠EDC=90°，∴∠NDC=90°，
在Rt△NBC和Rt△NDC中，
∴ Rt△NBC≌Rt△NDC(HL)，
∴NB=ND.
设BN=x，则
求解解得 (负值已舍去)，
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意，利用两边成比例且夹角相等得到△BCD∽△ACE，然后根据正弦的定义求出比值解答即可；
（2）过点A作AM∥BC交BF的延长线于点M，根据等腰直角三角形的性质得到△ABM为等腰直角三角形，然后利用AAS得到△AFM≌△EFD，即可得到AF=EF，然后根据正弦的定义解答即可；
（3）延长ED交AB 于点 N，连接CN，先根据平行线得到△ANG∽△CEG，根据对应边成比例求出AN长，然后根据HL得到Rt△NBC≌Rt△NDC，即可得到NB=ND，设BN=x，根据勾股定理得到，求出x的值解答即可.
1 / 1湖南省怀化市部分学校2026年中考二模数学试卷
1．如图，数轴上表示3的点是（　　）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：根据题图可知，数轴单位长度为1，
∴表示3的点是Q，
故答案为：D.
【分析】根据有理数在数轴上表示方法解答即可.
2．2026年 2 月 3 日，湖南省第十四届人民代表大会第四次会议在省人民会堂开幕.会议指出：2026年是“十五五”规划开局之年，做好全年工作意义重大.今年主要预期目标包含多项，其中粮食产量 61500 000 000斤左右.将数据 61500 000 000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：61500000000=6.15×1010.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．如图，石鼓是中国古代文化的瑰宝.《说文解字》：“春分之音，万物郭皮甲而出，故谓之鼓.”所以石鼓象征万物丰茂、财丰物足.下列选项中，石鼓的俯视图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 石鼓的俯视图为
，
故答案为：A.
【分析】根据从上面看到的几何图形是俯视图解答即可.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：m2与m3不是同类项，不能合并，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，计算正确；
D：，原计算错误；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、单项式乘以单项式、积的乘方法则秩序爱能够判断解答即可.
5．在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(-2，1)，则点M关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．(-2，-1) B．(2，-1) C．(-2，1) D．(2，1)
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点M 关于y轴对称的点的坐标为(2，1).
故答案为：D.
【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可.
6．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 的对角线 BD 经过圆心O，若∠ABD=35°，则∠ACB的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABD=35°，
∴∠ADB=90°-∠ABD=55°，
∴∠ACB=∠ADB=55°.
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠BAD=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABD的度数，再根据同弧所对的圆周角相等解答即可.
7．“湘”是湖南的简称.如图，将写有“三”“湘”“四”“水”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入不透明的袋中，从中随机抽取一张，抽取到的卡片上写有汉字“湘”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽取到的卡片共有4种等可能结果，抽取到的卡片上写有汉字“湘”的有1种，
∴抽取到的卡片上写有汉字“湘”的概率是 ，
故答案为：B.
【分析】根据概率公式计算即可.
8．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数k的值为（　　）
A．3 B．3或-3 C．6 D．9
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意，得
解得k=3.
故答案为：A.
【分析】根据方程根的情况得到，求出k的值解答即可.
9．关于一次函数y=2x-4，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第二、四象限 B．函数值y随自变量x的增大而减小
C．当x=2时，函数值y=0 D．图象与y轴交于点(0，4)
【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得2>0，-4<0，
∴图象经过第一、三、四象限，函数值y随自变量x的增大而增大
，∴A，B选项错误；
当x=2时，y=2×2-4=0，
∴C选项正确；
当x=0时，y=-4，
∴图象与y轴交于点(0，-4)，
∴D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据2>0，-4<0，得到一次函数图象经过的象限和增减性判断A，B；把x=2代入求出y的值判断C；把x=0代入求出y的值判断D选项解答即可.
10．中国结寓意团圆、美满.劳技课上小敏设计了一个菱形中国结饰件如图1，其示意图如图2，量得AB=10 cm，AC=12 cm，则该菱形的面积为（　　）
A． B． C．108 cm2 D．96 cm2
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点 E，
∵ 四边形ABCD 为菱形，
故答案为：D.
【分析】连接BD交AC于点 E，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AE=6cm，BD=2BE，然后根据勾股定理求出BE长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可.
11．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件：
解得：
故答案为
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，列不等式即可.
12．因式分解： 　 　.
【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
13．气温变化对人身体与生活影响显著，相对稳定的温度，有利于平衡代谢、降低心血管疾病.甲、乙两地年平均气温基本相同，甲地年度气温的方差 乙地年度气温的方差 从宜居的角度来看，你认为　 　地更适合居住.(填“甲”或“乙”)
【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵甲、乙两地年平均气温基本相同，方差越小，气温波动越小，3.6<12.8，
∴乙地气温更稳定，更适合居住.
故答案为：乙.
【分析】根据方差越小，气温波动越小解答即可.
14．某款学生课桌实物如图1，侧面示意图如图2，其中AB∥CD，AE=BE.若∠BDC=40°，则∠AEB的度数为　 　.
【答案】100°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC=40°，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA=40°，
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠ABD=∠BDC=40°，然后根据等边对等角得到∠EAB=∠EBA=40°，再根据三角形的内角和定理解答即可.
15．如图，在△ABC中，D为边AB的中点，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，交AB于点M，N；分别以点M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，在△ABC 内交于点 P；作直线 DP 交 BC 于点 Q；连接AQ.若AQ=3QC=6，则BC=　 　.
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图步骤可知，DQ⊥AB，
∵D为边AB的中点，
∴ DQ垂直平分边 AB，
∴AQ=BQ，
∵AQ=3QC=6，
∴QC=2，BQ=AQ=6，
∴BC=BQ+QC=8.
故答案为：8.
【分析】根据作图可得DQ垂直平分边 AB，即可得到AQ=BQ，求出QC和BQ长，再根据线段的和差解答即可.
16．已知△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.规定：
⑴若∠A=∠B=60°，则φ=　 　；
⑵下列结论正确的是　 　.(写出所有正确的结论)
①若 则
②若 则△ABC是等腰直角三角形；
③若 则-1<φ<1.
【答案】；②③
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】(1)∵∠A=∠B=60°，
∴△ABC 为等边三角形，
；
故答案为：；
，
①错误；
=0，即
，
∴△ABC是等腰直角三角形，②正确；
，
∵a+b>c，即
即
即-1<φ<1，③正确.
故答案为：②③；
【分析】（1）得到△ABC是等边三角形，即a=b=c，然后整体代入计算即可；
（2）把代入整理得，然后分子按照平方差公式运算，再整体代入求出数值判断①；把代入得到即可得到△ABC的形状判断②；根据三角形的三边关系得到b的取值范围，然后根据条件得到，进而得到φ的取值范围判断③解答即可.
17． 计算：
【答案】解：原式=2-1-1+3=3.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算算术平方根、零次幂、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18． 先化简，再求值：其中
【答案】解：原式：
，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；整体思想
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式的法则展开，合并同类项化简，然后根据条件得到，然后整体代入计算即可.
19． 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，延长CB至点E，连接DE.已知AB∥CD，OB=OD.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；
（2）下面是两位同学的对话，请你选择一位同学的说法，并进行解答.
小星：若添加条件 的面积为8，则可计算 的面积 小红：若添加条件 的面积为2，则可计算 的面积
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABO 和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）解：选择小星，
如解图，过点 D 作DF⊥BC 于点 F，
则
∵BE=2BC，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
或选择小红，
如解图，过点 D 作DF⊥BC 于点 F，
∵S△ABO=2，四边形ABCD 是平行四边形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到∠BAC=∠DCA，然后根据AAS得到△ABO≌△CDO，即可得到AB=CD，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到结论即可；
（2）选择小星：过点 D 作DF⊥BC 于点 F，根据题意得到进而根据解答即可；选择小红：过点 D 作DF⊥BC 于点 F，得到，然后根据BE=2BC得到解答即可.
20．《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》优化了课程设置，将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来.某校七、八、九年级开展“我劳动，我成长”活动，并对学生在某一周内家务劳动的时间(用x表示，单位：h)进行了数据收集、整理与统计分析，整理出如下部分信息.
【收集、整理数据】
Ⅰ.八年级A 班50名学生该周家务劳动时间如下：
劳动时间(h) 0≤x<1.5 1.5≤x<3
学生人数(名) 10 15 20 5
Ⅱ.八年级 B班50名学生该周家务劳动时间(分4组)的频数分布直方图如图1；
Ⅲ.七、八、九年级的学生人数所占比例的扇形统计图如图2；
Ⅳ.全校七、八、九年级学生总数共计1 800名.
【问题解决】
根据整理的部分信息，解决问题：
（1）①补全上面的频数分布直方图；
②该校八年级学生共 ▲ 名；
（2）各班将该周家务劳动时间按从高到低的顺序排在前50%(含)的学生授予“班级劳动之星”称号，王芳与赵强为八年级A，B两班的学生，且两位同学该周家务劳动时间相同.若该周王芳被授予“班级劳动之星”称号，赵强未被授予该称号，请你根据这一信息，判断两位同学分别属于A，B哪一个班 为什么
（3）分析数据时陈华发现，八年级A班、B班在这周家务劳动时间不到1.5小时的人数都恰好占班级人数的 由此他得出结论：全校该周家务劳动时间不到1.5小时的学生人数约为360名.你支持他的结论吗 请说明理由.
【答案】（1）解：①该周家务劳动时间在3≤x<4.5的学生人数为50-10-24-3=13(人).
补全频数分布直方图如解图；
②630；
（2）解：王芳属于B班，赵强属于A班；
理由如下：观察表格可发现，八年级A 班该周家务劳动时间在3小时及以上的学生有25人，恰好为全班同学的50%，而八年级 B 班该周家务劳动时间在3小时及以上的学生只有13+3=16(人)，低于全班同学的50%，
∵两位同学该周家务劳动时间相同，但授予称号情况不同，
∴两位同学分属两班，若王芳属于A班，赵强属于 B 班，根据A 班该周家务劳动时间信息，两位同学该周家务劳动时间大于等于3小时，则 B 班赵强同学也能被授予称号，不满足题意；若王芳属于 B 班，赵强属于A班，两位同学该周家务劳动时间在1.5≤x<3范围内，满足题意；
（3）解：不支持他的结论，
理由如下：样本不具有代表性，不能反映出七年级和九年级的情况.
【知识点】抽样调查的可靠性；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）②1800×(1-30%-35%)= 630(人)，
故答案为：630；
【分析】（1）①运用B班人数减去其它组的人数求出劳动时间在3≤x<4.5的学生人数，补全直方图即可；
②用全校人数乘以八年级人数占比解答即可；
（2）先得到全班50%的学生对应的家务劳动时间段，然后分别比较得到两人班级即可；
（3）根据抽取样本的代表性解答即可.
21．“湘瓷”以其深厚的历史积淀和不断的工艺创新，当之无愧地成为与“湘绣”齐名的湖南省省级名片.某外贸公司计划采购甲、乙两种湘瓷工艺品销往国外，其采购方案与金额如下：
　 甲种湘瓷件数 乙种湘瓷件数 金额/元
方案一 3 1 1 100
方案二 2 4 1 400
（1）求甲、乙两种湘瓷工艺品的单价；
（2）该外贸公司计划采购这两种湘瓷工艺品共300件，总费用不超过80000元，问最多可购买甲种湘瓷工艺品多少件
【答案】（1）解：设甲种湘瓷工艺品的单价为x元，乙种湘瓷工艺品的单价为y元，
根据题意，得
解得
答：甲种湘瓷工艺品的单价为300元，乙种湘瓷工艺品的单价为200元；
（2）解：设采购甲种湘瓷工艺品m件，则采购乙种湘瓷工艺品(300-m)件，
根据题意，得300m+200(300-m)≤80 000，解得m≤200，
∴m的最大值为200，
答：最多可采购200件甲种湘瓷工艺品.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种湘瓷工艺品的单价为x元，乙种湘瓷工艺品的单价为y元，根据表格数据列方程求出x和y的值解答即可；
（2）设采购甲种湘瓷工艺品m件，则采购乙种湘瓷工艺品(300-m)件，根据“ 两种湘瓷工艺品共300件，总费用不超过80000元 ”列不等式求出m的最大整数解即可.
22．某校数学第二课堂学习小组组织了一次户外学习活动，对校外公园一个创意型多边形大门进行了测量与计算.下表是他们的活动过程与测量结果的活动报告单.
活动主题 测量公园多边形大门数据
活动成员 数学第二课堂学习小组组员
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
实拍图
与几何
示意图 实拍图 几何示意图
绘测步骤 ①门框垂直于地面，抽象出的几何图形是五边形ABCDE(各顶点在同一平面，AB在水平地面上).②门框外观是轴对称图形(点C 对应点 E).
测量数据 ①用皮尺测得： ②用测角仪测得： ③用计算器计算得：
问题解决 ⑴求门框的宽度CE； ⑵求门框最高点 D到水平地面AB 的距离.(结果保留一位小数)
【答案】解：⑴如图，过点 C作 CH⊥AB，交AB 的延长线于点 H，过点 D作 DM⊥AB 于点 M，连接CE 交DM于点 G，
∵五边形ABCDE 是轴对称图形，
∴M为AB的中点，∠A=∠ABC=130°，
则 40°，
在Rt△BCH中，∠H=90°，
∴四边形 CHMG 为矩形，
∴CG=MH=BM+BH=1+1.28=2.28(m)，
∴CE=2CG=4.56m≈4.6m，
答：门框的宽度CE 约为4.6m；
⑵∵四边形 CHMG 为矩形，
∵MH∥CG，
∴∠BCG=∠CBH=50°，
在 Rt△CGD中，∠CGD=90°，
DG=CG· tan 45°=2.28×1=2.28(m)，
∴DM=DG+GM=2.28+1.54≈3.8(m)，
答：门框最高点 D 到水平地面AB 的距离约为3.8m.
【知识点】矩形的判定与性质；轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点 C作 CH⊥AB，交AB 的延长线于点 H，过点 D作 DM⊥AB 于点 M，连接CE 交DM于点 G，根据轴对称性可得∠CBH=50°，即可得到∠BCH=40°，然后得到四边形 CHMG 为矩形，根据EC=2CG=2MH解答即可；
（2）根据余弦的定义求出CH长，然后根据平行线的性质和角的和差得到∠DCG=45°，进而根据正切的定义求出DG长，再根据线段的和差解答即可.
23．已知一次函数y=-2x+4的图象分别交x轴，y轴于点A，C，过A，C两点的二次函数 +c(a≠0)的图象与x轴交于另一点 B.
（1）求a，c的值及点 B的坐标；
（2）如图1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)为AC上方抛物线上两动点，分别过点P，Q作x轴的垂线，与线段 AC交于点M，N.若 探究线段 PN与 MQ 能否互相垂直且平分 若能互相垂直且平分，求出符合条件的点 P的坐标；若不能，请说明理由；
（3）如图2，点G在y轴正半轴上，连接AG，当OG=1时，在二次函数图象上存在点H使得∠OGH+∠OAG=180°，求点 H到y轴的距离.
【答案】（1）解：∵一次函数y=-2x+4的图象与y轴交于点C，
∴点 C 的坐标为(0，4)，
当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，
∴点A的坐标为(2，0)，
∵二次函数 的图象过点A(2，0)，C(0，4)，
∴c=4，
将A(2，0)代入 中，得 解得a=-2，
∴二次函数图象的对称轴为直线
∵A，B为二次函数图象与x轴的交点，
∴点A 与点 B 关于直线 对称，
∴点 B的坐标为(-1，0)；
（2）解：PN与MQ 不能互相垂直且平分.
理由如下：
由(1)得，二次函数的表达式为
∵PM，QN均与x轴垂直，
∵PM∥QN，
∴当线段 PN 与 MQ 互相垂直且平分时，四边形PMNQ 为菱形，则PM=QN，
即 解得
此时 点M的坐标为( ，3)，点N的坐标为
∴PM≠MN，
∴四边形 PMNQ 不是菱形，
∴线段 PN 与 MQ 不能互相垂直且平分；
（3）解：如图，过点H作HE⊥y轴于点 E，则∠OGH+∠HGE=180°，
当∠OGH+∠OAG=180°时，∠HGE=∠OAG，
∵∠HEG=∠AOG=90°，
∴△AOG∽△GEH，
设点H的坐标为
则
如图1，当点H在y轴右侧时，EH=t，
解得
∵点H在y轴右侧，
∴点H到y轴的距离为
如图2，当点H在y轴左侧时，EH=-t，
解得
∵点H在y轴左侧，
∴点H到y轴的距离为
综上所述，当∠OGH+∠OAG=180°时，点H到y轴的距离为 或
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；相似三角形的判定-AA；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）求出一次函数与x轴和y轴的点点坐标，然后代入二次函数的额解析式求出a，c的值解，并求出抛物线的对称轴，根据对称性求出点B的坐标即可；
（2）把 x1， x1+1代入二次函数和一次函数的解析式，求出PM和QN的长，根据菱形的判定得到PM=QN，建立方程求出x的值，即可得到点M和N的坐标，根据两点间距离公式求出MN的长，得到PM≠MN，解答即可；
（3）过点H作HE⊥y轴于点 E，根据两角对应相等得到△AOG∽△GEH，即可得到，设点H的坐标为表示EG长，分为点H在y轴右侧或点H在y轴左侧两种情况，列方程求出t的值解答即可.
24．【动手操作】将两块大小相等的直角三角形纸片ABC与EDC按如图1叠放，B与D分别是直角顶点，△DCE绕公共顶点 C进行旋转时，保持△DCE在直线BC上方，连接BD，AE.
（1）【初步探究】若 则在旋转过程中，AE 与 BD 总是保持怎样的数量关系
（2）【尝试进阶】如图2，∠BCD=90°，BD的延长线交AE于点 F，若AC=4，求EF的长；
（3）【问题解决】如图3，线段DE与AC交于点G，AB∥CE，CG=2AG=2，求DG的长.
【答案】（1）解：∵△ABC≌△EDC，
∴BC=DC，AC=CE，∠DCE=∠BCA，
∴，∠ACE=∠BCD，
∴△BCD∽△ACE，
（2）解：如图1，过点A作AM∥BC交BF的延长线于点M，
∵∠BCD=90°，
∴∠ACE=90°，
∴△BCD 与△ACE均为等腰直角三角形，
∴∠DBC=45°，
∴∠ABM=45°，
∵AM∥BC，
∴∠MAB=∠ABC=90°，
∴△ABM为等腰直角三角形，
∴AM=AB=DE
∵AM∥BC∥DE，
∴∠M=∠FDE，
在△AFM与△EFD中，
∴△AFM≌△EFD(AAS)，
∴AF=EF，
（3）解：如解图2，延长ED交AB 于点 N，连接CN，
∵AB∥EC，
∴△ANG∽△CEG.
∵CG=2AG=2，∴AG=1，
∴CE=AC=AG+CG=3，
∵∠EDC=90°，∴∠NDC=90°，
在Rt△NBC和Rt△NDC中，
∴ Rt△NBC≌Rt△NDC(HL)，
∴NB=ND.
设BN=x，则
求解解得 (负值已舍去)，
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意，利用两边成比例且夹角相等得到△BCD∽△ACE，然后根据正弦的定义求出比值解答即可；
（2）过点A作AM∥BC交BF的延长线于点M，根据等腰直角三角形的性质得到△ABM为等腰直角三角形，然后利用AAS得到△AFM≌△EFD，即可得到AF=EF，然后根据正弦的定义解答即可；
（3）延长ED交AB 于点 N，连接CN，先根据平行线得到△ANG∽△CEG，根据对应边成比例求出AN长，然后根据HL得到Rt△NBC≌Rt△NDC，即可得到NB=ND，设BN=x，根据勾股定理得到，求出x的值解答即可.
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