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湖南省长沙市多校联考2026年中考二模数学试题
1．据长沙统计局发布，初步核算，2025年全市实现地区生产总值为 1 573 782 000 000元，数据1 573 782 000 000用科学记数法表示为（　　）
A．1.573782×1013 B．
C．1.573782×1011 D．157.3782×1010
2．如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（　　）
A． B． C． D．
3．中国是世界上最早使用正负数、并进行负数运算的国家.我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫仗正数和负数.若微信进账10元记为+10，那么微信支出6元应记为（　　）
A．+10 B．- 10 C．+6 D．- 6
4．下列运算正确的是（　　）
A．2a+3a=5a B． C． D．
5．劳动创造世界，劳动最光荣.九年级(一)班第一组7名同学一周内参加劳动的时间为：5，2，5，3，4，5，6(单位：小时)，则下列统计正确的是（　　）
A．中位数是3，众数是5 B．众数是5，平均数是5
C．中位数是5，平均数是5 D．中位数是5，众数是5
6．如图，AB∥CD，BE⊥CE于点E，∠B=30°，则∠C的度数为（　　）
A．90° B．120° C．135° D．150°
7．在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点 D 是劣弧 的中点，若CD=4，∠ACD=30°，则DE的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
9．如图，在 ABCD中，E为BC的中点，AE恰好平分∠BAD，若CE=3，则 ABCD的周长为（　　）
A．9 B．12 C．18 D．24
10．著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”.小明同学判断方程 实根的情况时，构造了一次函数y=x+2和反比例函数 然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程 有一个正实数根和一个负实数根.请用类似的方法判断方程 实根的情况，你的结论是（　　）
A．只有一个正实数根
B．有一个正实数根，两个负实数根
C．有两个正实数根，一个负实数根
D．有三个正实数根
11．二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
12．某校准备组织全校500名学生前往研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术术馆”的学生人数为　 　名.
13．若x=2是关于x的一元二次方程 的一个解，则1-2a-b的值为　 　.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，BD=1，则AD的长为　 　.
15．如图①是一种可折叠圆桌，图②是其折叠前后的桌面示意图(阴影部分表示可折叠部分)，已知折叠后的桌面是一个面积为1 m2的正方形，则可折叠部分的面积为　 　m2.
16．某公司有七台办公电脑，编号依次为①~⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修.已知维修①~⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，已知工作日每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失.若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为　 　元.
17．计算：
18．先化简，再求值： 其中x=2.
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，交AB 于点 M、交AC 于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线AP，以点 C为圆心，AC长为半径作弧，交射线AP 于点 D，连接CD.
（1）求∠ADC的度数；
（2）若AB=3，AD=4 ，求BC的长.
20．“珍爱生命，远离超速”.如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时.在道路旁边的点A 处建一个监测点，测得点A到公路的距离AO=60米.当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点，C处，此时，测得小汽车在监测点A 的东南方向.(参考数据：
（1）求 BC段的长度(结果保留整数)；
（2）判断小汽车在 BC段行驶时是否超速，并说明理由
21．为弘扬传统文化，传承国学经典，阳光中学举行了古诗文诵读大赛.其中，“木兰辞”，“满江红”，“少年中国说”，“沁园春·长沙”四个节目获得特等奖.学校打算在这四个节目中选择一个参加长沙市国学经典诵读大赛，校团委和学生会制定了调查问卷，并随机抽取了50份问卷，得到如下待完善的统计图表.(A代表“木兰辞”、B代表“满江红”、C代表“少年中国说”、D代表“沁园春·长沙”)
节目 频数 频率
A 10 0.2
B a 0.3
C 5 b
D 20 c
根据图表中所给信息，解答下列问题：
（1）表中a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）诸补全条形统计图；
（3）为方便节目的排练，陈老师打算从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为节目排练牵头人，请用列表法或画树状图法列举所有等可能的结果，并求甲、乙两位同学都被选中的概率.
22．近年来，我国的农业正在由传统农业向现代化农业转变.在科技兴农合作社，种田大户张叔叔购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；种田大户李伯伯购买2架A型无人机和4架 B 型无人机共用了32 000元.
（1）求1架A型无人机和1架B型无人机的价格分别为多少元
（2）经营农庄的小刘需要购买A，B两种型号的无人机共10架，计划投资不超过50 000元，那么A 型无人机最多能购买多少架
23．如图，已知四边形ABCD 是矩形，连接对角线BD，∠ADB的平分线交CB延长线于点E，交AB于点 F.
（1）求证：BD=BE；
（2）连接CF，若 求CF的长.
24． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点M，点P是DC延长线上一点，点E，F 是⊙O上的两点，连接PE，PF，PO，连接FE并延长交PO于点N，交BA延长线于点G，已知PE是⊙O的切线且PE=PF，BM=CD=8.
（1）求证：PF是⊙O的切线；
（2）令 ，，求y关于x的函数解析式；(不考虑自变量x的取值范围)
（3）在点 P 运动的过程中，MG是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
25．我们约定：在平面直角坐标系中，当x1，x2，y1，y2满足 且x1≠x2，则则称点 与点 为一对“归一点”，若某函数图象上至少存在一对“归一点”，则称该函数为“归一函数”.请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”)
①若点M(1，m)，N(n，2)是一对“归一点”，则m=-1，n=0 (　　)
②若点M与点N是一对“归一点”，则MN的值一定为 (　　)
③一次函数y=x+1一定是“归一函数” (　　)
（2）已知反比例函数 是“归一函数”.
①求k的取值范围；
②当k=-6时，求该函数图象上所有对“归一点”的坐标；
（3）若关于x的二次函数 是“归一函数”，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意；
B、球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意；
C、圆柱的主视图和左视图均是长方形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意；
D、四棱锥的主视图和左视图均是三角形，俯视图是长方形，故此选项不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据几何体的三视图逐项判断解答即可.
3．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：微信进账10元记为，进账与支出是意义相反的两个量，
微信支出6元应记为．
故答案为：D .
【分析】根据进账为正数，则支出即为负数解答即可．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，该项计算正确，符合题意；
B.，该项计算错误，不符合题意；
C.，该项计算错误，不符合题意；
D.，该项计算错误，不符合题意，
故答案为：A .
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方以及二次根式的减法法则逐项判断即可求解．
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意可知，出现次数最多的劳动时间为：5，
∴众数是：5；
平均数为：；
把7名同学的劳动时间从小到大的顺序排列：2、3、4、5、5、5、6，
∴中位数为：5，
故答案为： A.
【分析】根据平均数、中位数及众数的定义计算即可．
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点E作，
∵，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B .
【分析】过点E作，根据平行公理的推论可得，利用平行线的性质得出，，进而解答即可．
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如选项A所示．
故答案为：A .
【分析】先求出每个不等式的解集，在数轴上表示不等式组的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵点D是劣弧的中点，是的直径，
∴，
，
，
是的直径，，
，
在中，，
∴．
故答案为：B .
【分析】连接，根据垂径定理得到，然后根据余弦的定义解答即可．
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴的周长为．
故答案为：C .
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，然后根据等角对等边得到AB=AE，然后求出BC长解答即可．
10．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，原方程不成立，
∴，
将方程的常数项移到等式右边，得
，
变形整理得，
在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象如解图，
∵两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点，
∴方程有一个正实数根，两个负实数根．
故答案为：B .
【分析】原方程化为，在同一平面直角坐标系中作与的大致图象，根据两函数图象交点的位置解答即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为： .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
12．【答案】200
【知识点】条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由统计图可知，这50名同学中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为20名，（名），
∴估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为200名．
故答案为：200 .
【分析】根据样本中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数人数占比乘以500解答即可.
13．【答案】-1012
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-1012 .
【分析】把x=2代入方程得到，然后整体代入计算即可.
14．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=30°，
∴在Rt△BCD中， BC=2BD=2，
∴在Rt△ABC中，AB=2BC=4，
∴AD=AB-BD=4-1=3，
故答案为：3．
【分析】根据30°角的直角三角形的性质可分别求得BC和AB的长，然后根据线段的和差解答即可．
15．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如解图①，设圆形桌面的圆心为O，连接，
∵正方形的面积为，
∴，
∴为的直径，，
∴，
∴．
故答案为： .
【分析】设圆形桌面的圆心为O，连接，根据进行解答即可．
16．【答案】955
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解： 根据题意，使维修时间最短，且先维修时间短的，可以使得经济损失最小．当这七台电脑由一个人全部维修完的总时长为（分钟），当由三人同时维修时，平均每人维修的时间为（分钟），故需将这七台电脑分别分配给这三名维修人员，使得3人的维修时间等于43分钟或尽可能接近43分钟，可以使得维修时间最短．
第一人可以维修①⑥号，维修时间是（分钟），维修顺序为①⑥，此时损失最小，为（元）；
①号从故障到修好的时间为其维修时间，⑥号从故障到修好的时间是①号维修时间＋其维修时间．
第二人可以维修②⑤号，维修时间是（分钟），维修顺序为②⑤，此时损失最小，为（元）；
②号从故障到修好的时间为其维修时间，⑤号从故障到修好的时间是②号维修时间＋其维修时间．
第三人可以维修③④⑦号，维修时间是（分钟），维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为（元）；
③号从故障到修好的时间为其维修时间，⑦号从故障到修好的时间是③号维修时间＋其维修时间，④号从故障到修好的时间是③，⑦号维修时间之和＋其维修时间．
综上，七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为（元）．
故答案为：955 .
【分析】要使经济损失最小，则需要维修所需时间最短，然后合理分配人员维修以及维修顺序得到总经济损失最小值即可．
17．【答案】解：原式
=3
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算算术平方根、绝对值、零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，最后合并同类二次根式即可.
18．【答案】解：原式
当x=2时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把除法化为乘法，然后化简月份，再根据同分母分式的加减化简，然后代入x的值解答即可.
19．【答案】（1）解：由作图痕迹可知AP平分∠BAC，CA=CD、
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC=∠DAC=45°；
（2）解：由(1)可知∠ADC=∠DAC=45°，
∴∠ACD=180°-45°-45°=90°，即△ACD是等腰直角三角形，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
【知识点】等腰直角三角形；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据尺规作图可得平分，即可得到∠DAC的度数，然后根据等边对等角解答即可．
（2）先得到是等腰直角三角形，根据正弦的定义求出的长度，然后根据勾股定理求出的长解答即可．
20．【答案】（1）解：在Rt△ABO中，AO=60，∠BAO=53°，
在Rt△ACO中，∠CAO=45°，
∴∠ACO=∠CAO=45°，
∴CO=AO=60，
∴BC=BO+CO=80+60=140(米)，
答：BC段的长度约为140米；
（2）解：小汽车没有超速，理由如下：
小汽车行驶的速度 (米/秒)，
∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时，
∴小汽车在 BC段行驶时没有超速.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）在中根据正切的定义求出BO长，再在中根据等角对等边求出CO长，利用角的和差解答即可；
（2）根据时间和BC段的长度求出车速，判断即可．
21．【答案】（1）15；0.1；0.4
（2）解：补全条形统计图如解图；

（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 — 乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙 — 丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙 — 丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁 —
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学都被选中的结果有2种，
∴P(甲、乙两位同学都被选中)
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1），，．
故答案为：15；0.1；0.4；
【分析】（1）根据总数乘以频率求频数，频数除以总数求出频率解答即可．
（2）根据（1）中计算的数据补全条形统计图即可．
（3）列出表格得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
22．【答案】（1）解：设1架A 型无人机的价格为x元，1架B型无人机的价格为y元，
由题意得
解得
答：1架 A 型无人机的价格为8 000元，1 架 B 型无人机的价格为4000元；
（2）解：设购买A 型无人机m架，则购买 B 型无人机(10-m)架，
由题意得8000m+4 000(10-m)≤50000，
解得m≤2.5，
∵m 为正整数，
∴m最大可取2，
答：最多能购买2架A型无人机.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设1架A 型无人机的价格为x元，1架B型无人机的价格为y元，根据“购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元”列方程组，求出x，y的值解答即可；
（2）设购买A 型无人机m架，则购买 B 型无人机(10-m)架，根据“投资不超过50000元”列不等式求出m的最大整数解解答即可．
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠E，
∵ DE 平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE，
∴∠BDE=∠E，
∴BD=BE；
（2）解：由(1)可知∠ADE=∠E，
在 Rt△CDE中，∵∠DCE=90°，tanE= ，CD=4，
设 BC=x，则BE=BD=8-x，
在 Rt△BCD 中，由勾股定理得 即
解得：x=3，
∴BC=3，BE=8-3=5，
在 Rt△BEF中，
在 Rt△BCF中，由勾股定理得
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADE=∠E，利用角平分线的定义得到∠ADE=∠BDE，即可得到，根据等角对等边正经结论；
（2）根据正切的定义求出CE长，然后根据勾股定理求出BC长，进而求出BF的长，再在Rt△BCF中利用勾股定理计算即可．
24．【答案】（1）证明：如图，连接OE，OF，
在△OEP与△OFP中
∴△OEP≌△OFP(SSS)，
∴∠OEP=∠OFP，
∵PE是⊙O的切线，
∴∠OEP=90°，
∴∠OFP=90°，
∵OF是⊙O的半径，
∴PF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OC，OF，
∵AB⊥CD，CD=8，
设⊙O的半径为r，
∵BM=8，
∴OM=8-r，
在 Rt△OCM中，由勾股定理得 即 解得r=5，
∴OM=8-5=3，
设MP=a，
在 Rt△OPM中，由勾股定理得
在 Rt△OPF中，
（3）解：在点 P运动的过程中，MG为定值；如解图②，连接OE，
∵ PE=PF，
由（1）可得∠ENO=90°，
∴
∵
∴△OPM∽△OGN，
∴OP·ON=OM·OG，
∵，，
∴△OEP∽△ONE，
，
即 解得
∴在点P运动的过程中，MG为定值 .
【知识点】垂径定理；切线的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，，根据SSS得到△OEP≌△OFP，即可得到∠OEP=∠OFP=90°，然后得到结论即可；
（2）连接，，设的半径为r，根据垂径定理和勾股定理求出r的值，设，根据勾股定理求出OP2，用含a的式子表示x，y的值，然后得到x，y的关系式即可；
（3）连接，根据两角对应相等得到△OPM∽△OGN，△OEP∽△ONE，根据对应边成比例求出OG长，再根据线段的和差解答即可.
25．【答案】（1）解：①√，②×，③×
（2）解：①设点(x，y)与(-x+1，-y+1)是反比例函数y 图象上的一对“归一点”，
则xy=(-x+1)(-y+1)，
整理得x+y=1，
则y=1-x，
∴x(1-x)=k，
整理得
∵反比例函数 是“归一函数”，
∴x一定存在，
即关于x的方程 有实数根，
解得
当 时，原方程为 解得
当 时 与题设 矛盾，
综上所述，结合反比例函数特点可得 且k≠0；
②设点(x，y)与(-x+1，-y+1)是反比例函数y= 图象上的一对“归一点”，
由①可得
解得
当x=3时，y=-2，
则-x+1=-2，-y+1=3，
此时这对“归一点”的坐标为(3，-2)与(-2，3)；
当x=-2时，y=3，
则-x+1=3，-y+1=-2，
即此时这对“归一点”的坐标为(-2，3)与(3，-2).
综上所述，当k=-6时，该函数图象上所有对“归一点”的坐标为(3，-2)与(-2，3)；
（3）解：设点(x，y)与(-x+1，-y+1)是二次函数 -2ax+1图象上的一对“归一点”，
分别代入得 +1)+1，
整理并消去y得
①当方程有两个相等的解时， 解得
此时原方程为
解得
此时 与题设不符，
∴当 时，不符合要求；
②当方程有两个不相等的解时， 解得
综上所述，a的取值范围为 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：（1）①由题意，得，
解得，①正确；
②设点，，则，则，只有当时，的值才为，②错误；
③假设一次函数：是“归一函数”，点与是一次函数图象上的一对“归一点”，将与代入得
①＋②，得，这与矛盾，③错误．
故答案为：①√，②×，③×.
【分析】（1）根据新定义依次进行判断即可；
（2）①设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”，代入解析式得到y=1-x，即可得到方程有实数根，求出k的取值范围即可；
②解方程求出x和y的值，求出“归一点”的坐标即可．
（3）设点与是二次函数图象上的一对“归一点”，得到方程．分为方程有两个相等的解或方程有两个不相等的解两种情况求出a的取值范围即可．
1 / 1湖南省长沙市多校联考2026年中考二模数学试题
1．据长沙统计局发布，初步核算，2025年全市实现地区生产总值为 1 573 782 000 000元，数据1 573 782 000 000用科学记数法表示为（　　）
A．1.573782×1013 B．
C．1.573782×1011 D．157.3782×1010
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意；
B、球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意；
C、圆柱的主视图和左视图均是长方形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意；
D、四棱锥的主视图和左视图均是三角形，俯视图是长方形，故此选项不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据几何体的三视图逐项判断解答即可.
3．中国是世界上最早使用正负数、并进行负数运算的国家.我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫仗正数和负数.若微信进账10元记为+10，那么微信支出6元应记为（　　）
A．+10 B．- 10 C．+6 D．- 6
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：微信进账10元记为，进账与支出是意义相反的两个量，
微信支出6元应记为．
故答案为：D .
【分析】根据进账为正数，则支出即为负数解答即可．
4．下列运算正确的是（　　）
A．2a+3a=5a B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，该项计算正确，符合题意；
B.，该项计算错误，不符合题意；
C.，该项计算错误，不符合题意；
D.，该项计算错误，不符合题意，
故答案为：A .
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方以及二次根式的减法法则逐项判断即可求解．
5．劳动创造世界，劳动最光荣.九年级(一)班第一组7名同学一周内参加劳动的时间为：5，2，5，3，4，5，6(单位：小时)，则下列统计正确的是（　　）
A．中位数是3，众数是5 B．众数是5，平均数是5
C．中位数是5，平均数是5 D．中位数是5，众数是5
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意可知，出现次数最多的劳动时间为：5，
∴众数是：5；
平均数为：；
把7名同学的劳动时间从小到大的顺序排列：2、3、4、5、5、5、6，
∴中位数为：5，
故答案为： A.
【分析】根据平均数、中位数及众数的定义计算即可．
6．如图，AB∥CD，BE⊥CE于点E，∠B=30°，则∠C的度数为（　　）
A．90° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点E作，
∵，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B .
【分析】过点E作，根据平行公理的推论可得，利用平行线的性质得出，，进而解答即可．
7．在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如选项A所示．
故答案为：A .
【分析】先求出每个不等式的解集，在数轴上表示不等式组的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可.
8．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点 D 是劣弧 的中点，若CD=4，∠ACD=30°，则DE的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵点D是劣弧的中点，是的直径，
∴，
，
，
是的直径，，
，
在中，，
∴．
故答案为：B .
【分析】连接，根据垂径定理得到，然后根据余弦的定义解答即可．
9．如图，在 ABCD中，E为BC的中点，AE恰好平分∠BAD，若CE=3，则 ABCD的周长为（　　）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴的周长为．
故答案为：C .
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，然后根据等角对等边得到AB=AE，然后求出BC长解答即可．
10．著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”.小明同学判断方程 实根的情况时，构造了一次函数y=x+2和反比例函数 然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程 有一个正实数根和一个负实数根.请用类似的方法判断方程 实根的情况，你的结论是（　　）
A．只有一个正实数根
B．有一个正实数根，两个负实数根
C．有两个正实数根，一个负实数根
D．有三个正实数根
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，原方程不成立，
∴，
将方程的常数项移到等式右边，得
，
变形整理得，
在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象如解图，
∵两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点，
∴方程有一个正实数根，两个负实数根．
故答案为：B .
【分析】原方程化为，在同一平面直角坐标系中作与的大致图象，根据两函数图象交点的位置解答即可．
11．二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为： .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
12．某校准备组织全校500名学生前往研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术术馆”的学生人数为　 　名.
【答案】200
【知识点】条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由统计图可知，这50名同学中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为20名，（名），
∴估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为200名．
故答案为：200 .
【分析】根据样本中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数人数占比乘以500解答即可.
13．若x=2是关于x的一元二次方程 的一个解，则1-2a-b的值为　 　.
【答案】-1012
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-1012 .
【分析】把x=2代入方程得到，然后整体代入计算即可.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，BD=1，则AD的长为　 　.
【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=30°，
∴在Rt△BCD中， BC=2BD=2，
∴在Rt△ABC中，AB=2BC=4，
∴AD=AB-BD=4-1=3，
故答案为：3．
【分析】根据30°角的直角三角形的性质可分别求得BC和AB的长，然后根据线段的和差解答即可．
15．如图①是一种可折叠圆桌，图②是其折叠前后的桌面示意图(阴影部分表示可折叠部分)，已知折叠后的桌面是一个面积为1 m2的正方形，则可折叠部分的面积为　 　m2.
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如解图①，设圆形桌面的圆心为O，连接，
∵正方形的面积为，
∴，
∴为的直径，，
∴，
∴．
故答案为： .
【分析】设圆形桌面的圆心为O，连接，根据进行解答即可．
16．某公司有七台办公电脑，编号依次为①~⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修.已知维修①~⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，已知工作日每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失.若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为　 　元.
【答案】955
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解： 根据题意，使维修时间最短，且先维修时间短的，可以使得经济损失最小．当这七台电脑由一个人全部维修完的总时长为（分钟），当由三人同时维修时，平均每人维修的时间为（分钟），故需将这七台电脑分别分配给这三名维修人员，使得3人的维修时间等于43分钟或尽可能接近43分钟，可以使得维修时间最短．
第一人可以维修①⑥号，维修时间是（分钟），维修顺序为①⑥，此时损失最小，为（元）；
①号从故障到修好的时间为其维修时间，⑥号从故障到修好的时间是①号维修时间＋其维修时间．
第二人可以维修②⑤号，维修时间是（分钟），维修顺序为②⑤，此时损失最小，为（元）；
②号从故障到修好的时间为其维修时间，⑤号从故障到修好的时间是②号维修时间＋其维修时间．
第三人可以维修③④⑦号，维修时间是（分钟），维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为（元）；
③号从故障到修好的时间为其维修时间，⑦号从故障到修好的时间是③号维修时间＋其维修时间，④号从故障到修好的时间是③，⑦号维修时间之和＋其维修时间．
综上，七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为（元）．
故答案为：955 .
【分析】要使经济损失最小，则需要维修所需时间最短，然后合理分配人员维修以及维修顺序得到总经济损失最小值即可．
17．计算：
【答案】解：原式
=3
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算算术平方根、绝对值、零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，最后合并同类二次根式即可.
18．先化简，再求值： 其中x=2.
【答案】解：原式
当x=2时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把除法化为乘法，然后化简月份，再根据同分母分式的加减化简，然后代入x的值解答即可.
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，交AB 于点 M、交AC 于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线AP，以点 C为圆心，AC长为半径作弧，交射线AP 于点 D，连接CD.
（1）求∠ADC的度数；
（2）若AB=3，AD=4 ，求BC的长.
【答案】（1）解：由作图痕迹可知AP平分∠BAC，CA=CD、
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC=∠DAC=45°；
（2）解：由(1)可知∠ADC=∠DAC=45°，
∴∠ACD=180°-45°-45°=90°，即△ACD是等腰直角三角形，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
【知识点】等腰直角三角形；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据尺规作图可得平分，即可得到∠DAC的度数，然后根据等边对等角解答即可．
（2）先得到是等腰直角三角形，根据正弦的定义求出的长度，然后根据勾股定理求出的长解答即可．
20．“珍爱生命，远离超速”.如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时.在道路旁边的点A 处建一个监测点，测得点A到公路的距离AO=60米.当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点，C处，此时，测得小汽车在监测点A 的东南方向.(参考数据：
（1）求 BC段的长度(结果保留整数)；
（2）判断小汽车在 BC段行驶时是否超速，并说明理由
【答案】（1）解：在Rt△ABO中，AO=60，∠BAO=53°，
在Rt△ACO中，∠CAO=45°，
∴∠ACO=∠CAO=45°，
∴CO=AO=60，
∴BC=BO+CO=80+60=140(米)，
答：BC段的长度约为140米；
（2）解：小汽车没有超速，理由如下：
小汽车行驶的速度 (米/秒)，
∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时，
∴小汽车在 BC段行驶时没有超速.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）在中根据正切的定义求出BO长，再在中根据等角对等边求出CO长，利用角的和差解答即可；
（2）根据时间和BC段的长度求出车速，判断即可．
21．为弘扬传统文化，传承国学经典，阳光中学举行了古诗文诵读大赛.其中，“木兰辞”，“满江红”，“少年中国说”，“沁园春·长沙”四个节目获得特等奖.学校打算在这四个节目中选择一个参加长沙市国学经典诵读大赛，校团委和学生会制定了调查问卷，并随机抽取了50份问卷，得到如下待完善的统计图表.(A代表“木兰辞”、B代表“满江红”、C代表“少年中国说”、D代表“沁园春·长沙”)
节目 频数 频率
A 10 0.2
B a 0.3
C 5 b
D 20 c
根据图表中所给信息，解答下列问题：
（1）表中a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）诸补全条形统计图；
（3）为方便节目的排练，陈老师打算从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为节目排练牵头人，请用列表法或画树状图法列举所有等可能的结果，并求甲、乙两位同学都被选中的概率.
【答案】（1）15；0.1；0.4
（2）解：补全条形统计图如解图；

（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 — 乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙 — 丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙 — 丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁 —
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学都被选中的结果有2种，
∴P(甲、乙两位同学都被选中)
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1），，．
故答案为：15；0.1；0.4；
【分析】（1）根据总数乘以频率求频数，频数除以总数求出频率解答即可．
（2）根据（1）中计算的数据补全条形统计图即可．
（3）列出表格得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
22．近年来，我国的农业正在由传统农业向现代化农业转变.在科技兴农合作社，种田大户张叔叔购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；种田大户李伯伯购买2架A型无人机和4架 B 型无人机共用了32 000元.
（1）求1架A型无人机和1架B型无人机的价格分别为多少元
（2）经营农庄的小刘需要购买A，B两种型号的无人机共10架，计划投资不超过50 000元，那么A 型无人机最多能购买多少架
【答案】（1）解：设1架A 型无人机的价格为x元，1架B型无人机的价格为y元，
由题意得
解得
答：1架 A 型无人机的价格为8 000元，1 架 B 型无人机的价格为4000元；
（2）解：设购买A 型无人机m架，则购买 B 型无人机(10-m)架，
由题意得8000m+4 000(10-m)≤50000，
解得m≤2.5，
∵m 为正整数，
∴m最大可取2，
答：最多能购买2架A型无人机.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设1架A 型无人机的价格为x元，1架B型无人机的价格为y元，根据“购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元”列方程组，求出x，y的值解答即可；
（2）设购买A 型无人机m架，则购买 B 型无人机(10-m)架，根据“投资不超过50000元”列不等式求出m的最大整数解解答即可．
23．如图，已知四边形ABCD 是矩形，连接对角线BD，∠ADB的平分线交CB延长线于点E，交AB于点 F.
（1）求证：BD=BE；
（2）连接CF，若 求CF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠E，
∵ DE 平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE，
∴∠BDE=∠E，
∴BD=BE；
（2）解：由(1)可知∠ADE=∠E，
在 Rt△CDE中，∵∠DCE=90°，tanE= ，CD=4，
设 BC=x，则BE=BD=8-x，
在 Rt△BCD 中，由勾股定理得 即
解得：x=3，
∴BC=3，BE=8-3=5，
在 Rt△BEF中，
在 Rt△BCF中，由勾股定理得
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADE=∠E，利用角平分线的定义得到∠ADE=∠BDE，即可得到，根据等角对等边正经结论；
（2）根据正切的定义求出CE长，然后根据勾股定理求出BC长，进而求出BF的长，再在Rt△BCF中利用勾股定理计算即可．
24． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点M，点P是DC延长线上一点，点E，F 是⊙O上的两点，连接PE，PF，PO，连接FE并延长交PO于点N，交BA延长线于点G，已知PE是⊙O的切线且PE=PF，BM=CD=8.
（1）求证：PF是⊙O的切线；
（2）令 ，，求y关于x的函数解析式；(不考虑自变量x的取值范围)
（3）在点 P 运动的过程中，MG是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）证明：如图，连接OE，OF，
在△OEP与△OFP中
∴△OEP≌△OFP(SSS)，
∴∠OEP=∠OFP，
∵PE是⊙O的切线，
∴∠OEP=90°，
∴∠OFP=90°，
∵OF是⊙O的半径，
∴PF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OC，OF，
∵AB⊥CD，CD=8，
设⊙O的半径为r，
∵BM=8，
∴OM=8-r，
在 Rt△OCM中，由勾股定理得 即 解得r=5，
∴OM=8-5=3，
设MP=a，
在 Rt△OPM中，由勾股定理得
在 Rt△OPF中，
（3）解：在点 P运动的过程中，MG为定值；如解图②，连接OE，
∵ PE=PF，
由（1）可得∠ENO=90°，
∴
∵
∴△OPM∽△OGN，
∴OP·ON=OM·OG，
∵，，
∴△OEP∽△ONE，
，
即 解得
∴在点P运动的过程中，MG为定值 .
【知识点】垂径定理；切线的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，，根据SSS得到△OEP≌△OFP，即可得到∠OEP=∠OFP=90°，然后得到结论即可；
（2）连接，，设的半径为r，根据垂径定理和勾股定理求出r的值，设，根据勾股定理求出OP2，用含a的式子表示x，y的值，然后得到x，y的关系式即可；
（3）连接，根据两角对应相等得到△OPM∽△OGN，△OEP∽△ONE，根据对应边成比例求出OG长，再根据线段的和差解答即可.
25．我们约定：在平面直角坐标系中，当x1，x2，y1，y2满足 且x1≠x2，则则称点 与点 为一对“归一点”，若某函数图象上至少存在一对“归一点”，则称该函数为“归一函数”.请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”)
①若点M(1，m)，N(n，2)是一对“归一点”，则m=-1，n=0 (　　)
②若点M与点N是一对“归一点”，则MN的值一定为 (　　)
③一次函数y=x+1一定是“归一函数” (　　)
（2）已知反比例函数 是“归一函数”.
①求k的取值范围；
②当k=-6时，求该函数图象上所有对“归一点”的坐标；
（3）若关于x的二次函数 是“归一函数”，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：①√，②×，③×
（2）解：①设点(x，y)与(-x+1，-y+1)是反比例函数y 图象上的一对“归一点”，
则xy=(-x+1)(-y+1)，
整理得x+y=1，
则y=1-x，
∴x(1-x)=k，
整理得
∵反比例函数 是“归一函数”，
∴x一定存在，
即关于x的方程 有实数根，
解得
当 时，原方程为 解得
当 时 与题设 矛盾，
综上所述，结合反比例函数特点可得 且k≠0；
②设点(x，y)与(-x+1，-y+1)是反比例函数y= 图象上的一对“归一点”，
由①可得
解得
当x=3时，y=-2，
则-x+1=-2，-y+1=3，
此时这对“归一点”的坐标为(3，-2)与(-2，3)；
当x=-2时，y=3，
则-x+1=3，-y+1=-2，
即此时这对“归一点”的坐标为(-2，3)与(3，-2).
综上所述，当k=-6时，该函数图象上所有对“归一点”的坐标为(3，-2)与(-2，3)；
（3）解：设点(x，y)与(-x+1，-y+1)是二次函数 -2ax+1图象上的一对“归一点”，
分别代入得 +1)+1，
整理并消去y得
①当方程有两个相等的解时， 解得
此时原方程为
解得
此时 与题设不符，
∴当 时，不符合要求；
②当方程有两个不相等的解时， 解得
综上所述，a的取值范围为 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：（1）①由题意，得，
解得，①正确；
②设点，，则，则，只有当时，的值才为，②错误；
③假设一次函数：是“归一函数”，点与是一次函数图象上的一对“归一点”，将与代入得
①＋②，得，这与矛盾，③错误．
故答案为：①√，②×，③×.
【分析】（1）根据新定义依次进行判断即可；
（2）①设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”，代入解析式得到y=1-x，即可得到方程有实数根，求出k的取值范围即可；
②解方程求出x和y的值，求出“归一点”的坐标即可．
（3）设点与是二次函数图象上的一对“归一点”，得到方程．分为方程有两个相等的解或方程有两个不相等的解两种情况求出a的取值范围即可．
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