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章末过关检测(第17章平行四边形)
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的．)
1．下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD∥BC，AB∥CD B．AB∥CD，AB＝CD
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB＝DC，AD＝BC
2．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．AC＝BD B．OA＝OC
C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
3．如图是一个破损的平行四边形ABCD纸片，已知∠B＝80°，则破损的∠D的度数是( )
A．80° B．100°
C．85° D．95°
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，EB⊥BC于点B，ED⊥CD于点D.若∠E＝55°，则∠A的度数是( )
A．100° B．110°
C．125° D．135°
5．如图， ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．8 cm
6．如图，在腰长为8的等腰三角形ABC中，AB＝AC，E、M、F分别是AB、BC、AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是( )
A．8 B．10 C．12 D．16
7．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝( )
A．66° B．104°
C．114° D．124°
8．一个平行四边形的两条对角线的长分别为8和10，则这个平行四边形的边长不可能是( )
A．2 B．5 C．8 D．10
9．如图，点E在 ABCD的对角线BD上，若AB＝EB＝EC，∠A＝102°，则∠ADB等于( )
A．26° B．28°
C．30° D．36°
10．如图，已知 ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠B＝150°，则 ABCD的面积为( )
A．2 B．3
C．3 D．6
11．如图，在 ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE，DE.若 ABCD的面积为12，则△ADE的面积为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
　　　　　　
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为( )
A．6 B．8
C．2 D．4
二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)
13．已知，在平行四边形ABCD中，∠A－∠B＝30°，则∠C＝ ．
14．如图， ABCD的两条对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则 ABCD的两条对角线的长度之和是 ．
15．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：
①四边形ABDC是平行四边形；
②BE＝DF；
③S四边形ABDC＝S四边形BDFE；
④BD＝CE.
其中正确的有 ．(填序号)
16．如图，在 ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm.则 ABCD的周长为 _ ，面积为 _ .
三、解答题(本大题满分72分)
17．(12分)(1)如图，在 ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠B＝55°，求∠DAE的度数．
(2)一个平行四边形相邻两边的长分别是5 cm和3 cm，其中一条底边上的高是4 cm，求这个平行四边形的面积．
18．(10分)如图，点O为 ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E、F.求证：DE＝BF.
19．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在AD、BA的延长线上，CE∥BD，EF⊥AB，BC＝1，求EF的长．
20.(10分)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为点F.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE＝5，EF＝3，求BF和AD的长．
21．(15分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过A、C两点作AG⊥BD，CH⊥BD，垂足分别为M、N，且分别交CD、AB于点G、H.
(1)求证：四边形AHCG是平行四边形；
(2)若DG＝3，AH＝2，AC＝5，BD＝8，求AB的长及△AOB的周长.
22．(15分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位长度的速度运动．以CP、CO为邻边构造 PCOD.在线段OP延长线上一动点E，且满足PE＝AO.
(1)当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC是平行四边形；
(2)当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少．章末过关检测(第17章平行四边形)
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的．)
1．下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A.AD∥BC，AB∥CD B．AB∥CD，AB＝CD
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB＝DC，AD＝BC
2．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(B)
A．AC＝BD B．OA＝OC
C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
3．如图是一个破损的平行四边形ABCD纸片，已知∠B＝80°，则破损的∠D的度数是(A)
A．80° B．100°
C．85° D．95°
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，EB⊥BC于点B，ED⊥CD于点D.若∠E＝55°，则∠A的度数是(C)
A．100° B．110°
C．125° D．135°
5．如图， ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为(B)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．8 cm
6．如图，在腰长为8的等腰三角形ABC中，AB＝AC，E、M、F分别是AB、BC、AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是(D)
A．8 B．10 C．12 D．16
7．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝(C)
A．66° B．104°
C．114° D．124°
8．一个平行四边形的两条对角线的长分别为8和10，则这个平行四边形的边长不可能是(D)
A．2 B．5 C．8 D．10
9．如图，点E在 ABCD的对角线BD上，若AB＝EB＝EC，∠A＝102°，则∠ADB等于(A)
A．26° B．28°
C．30° D．36°
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠BCD＝102°，AD∥BC.∵BE＝CE，
∴设∠EBC＝∠ECB＝x，∴∠DEC＝2x.∵AB＝CD，AB＝CE，∴CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝2x，
∴x＋2x＝180°－∠BCD＝78°，∴x＝26°，∴∠CBD＝26°.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD＝26°.
10．如图，已知 ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠B＝150°，则 ABCD的面积为(B)
A．2 B．3
C．3 D．6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∠B＝150°，∴∠A＝30°，如图，过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ADE中，DE＝AD＝1，则S ABCD＝AB·DE＝3.
11．如图，在 ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE，DE.若 ABCD的面积为12，则△ADE的面积为(C)
A．3 B．4 C．6 D．8
　　　　　　
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为(D)
A．6 B．8
C．2 D．4
∵四边形PAQC是平行四边形，∴AQ＝PC，∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可．
∵∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP＝8×＝4.
二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)
13．已知，在平行四边形ABCD中，∠A－∠B＝30°，则∠C＝105°．
14．如图， ABCD的两条对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则 ABCD的两条对角线的长度之和是36．
15．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：
①四边形ABDC是平行四边形；
②BE＝DF；
③S四边形ABDC＝S四边形BDFE；
④BD＝CE.
其中正确的有①②③．(填序号)
16．如图，在 ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm.则 ABCD的周长为39_cm，面积为60_cm2.
∵BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠1＝∠3＝∠ABC，∠DCE＝∠BCE＝∠BCD.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠2＝∠3，∠BCE＝∠CED，∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠1＝∠2，∠DCE＝∠CED，∠3＋∠BCE＝90°，∴AB＝AE，CD＝DE，∠BEC＝90°，∴AE＝DE＝AD.
在直角三角形BCE中，根据勾股定理，得BC＝13 cm，
∴平行四边形的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝6.5＋13＋6.5＋13＝39(cm).
如图，作EF⊥BC于F.根据直角三角形的面积公式，得EF＝＝(cm)，所以平行四边形的面积＝×13＝60(cm2).
故答案为39 cm，60 cm2.
三、解答题(本大题满分72分)
17．(12分)(1)如图，在 ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠B＝55°，求∠DAE的度数．
(2)一个平行四边形相邻两边的长分别是5 cm和3 cm，其中一条底边上的高是4 cm，求这个平行四边形的面积．
(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∠B＝55°.
∴∠D＝∠B＝55°，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝90°－∠D＝35°.
(2)∵5＞4＞3，∴这条高是底边长是3 cm的边上的高．
∴平行四边形的面积为4×3＝12( cm2)，
答：这个平行四边形的面积是12 cm2.
18．(10分)如图，点O为 ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E、F.求证：DE＝BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，∴DE＝BF.
19．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在AD、BA的延长线上，CE∥BD，EF⊥AB，BC＝1，求EF的长．
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在AD的延长线上，∴AD＝BC＝1，DE∥BC.
∵CE∥BD，∴四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝1，∴AE＝AD＋DE＝2.
∵EF⊥AB交BA的延长线于点F，∴∠F＝90°.
∵∠FAE＝∠ABC＝60°，∴∠AEF＝90°－∠FAE＝30°，
∴AF＝AE＝1，∴EF＝＝＝，
∴EF的长为.
20.(10分)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为点F.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE＝5，EF＝3，求BF和AD的长．
(1)∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥BC.
∵AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形；
(2)由(1)，已知四边形AECD是平行四边形，∴EC＝AD.
∵AE平分∠BAC，且EF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴EF＝EC＝3，∴EF＝AD＝3.
在Rt△BEF中，由勾股定理，得
BF＝＝＝4.
21．(15分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过A、C两点作AG⊥BD，CH⊥BD，垂足分别为M、N，且分别交CD、AB于点G、H.
(1)求证：四边形AHCG是平行四边形；
(2)若DG＝3，AH＝2，AC＝5，BD＝8，求AB的长及△AOB的周长.
(1)∵AG⊥BD，CH⊥BD，
∴∠AMB＝90°，∠HNB＝90°，∴AG∥CH.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴四边形AHCG是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，四边形AHCG是平行四边形，∴AB＝CD，CG＝AH＝2.
∵DG＝3，∴AB＝CD＝DG＋CG＝3＋2＝5.
∵O为AC，BD的中点，
∴AO＝AC＝×5＝2.5，BO＝BD＝×8＝4，
∴△AOB的周长为AO＋BO＋AB＝2.5＋4＋5＝11.5.
22．(15分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位长度的速度运动．以CP、CO为邻边构造 PCOD.在线段OP延长线上一动点E，且满足PE＝AO.
(1)当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC是平行四边形；
(2)当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少．
(1)如图，
连结CD交AE于点F，∵四边形PCOD是平行四边形，∴CF＝DF，OF＝PF，
∵PE＝AO，∴AF＝EF，∴四边形ADEC是平行四边形．
(2)当点P运动的时间为秒时，OP＝，OC＝3，则OE＝，
由勾股定理得AC＝＝3，
CE＝＝，
∵四边形ADEC为平行四边形，
∴ ADEC的周长为(3＋)×2＝6＋3.
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的．)
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(D)
A.AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
　　
2．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于(C)
A．20 B．18 C．16 D．14
3．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为(D)
A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm
4．数学实践课上老师用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图1中菱形的对角线BD的长为(C)
　　　　　　　　　 　　图1　　　　　　　 图2
A．10 B．20 C．10 D．20
5．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD.
则下列推理正确的是(D)
A．②③ ⑥ B．①② ⑤
C．①③ ④ D．②⑤ ⑥
6．如图，E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若BE＝AC，∠ACB＝62.5°，则∠E的度数为(A)
A．55° B．65°
C．70° D．80°
　　　　
7．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”如果图中直角三角形的长直角边为8，短直角边为5，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为(B)
A． B． C．5 D．
9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F分别为AO、DO上的一点，且EF∥AD，连结AF、DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为(C)
A．80° B．90° C．105° D．115°
∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，∵OA＝OD，∴AE＝DF，在△AEF和△DFE中，
∵AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，∴△AEF≌△DFE，∴∠CAF＝∠FDE＝15°，
∴∠ADE＝∠ODA－∠FDE＝45°－15°＝30°，∴∠AED＝180°－∠OAD－∠ADE＝180°－45°－30°＝105°.
　　　　　　
10．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(B)
A．30 B．34 C．36 D．40
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，∴AH＝BE＝CF＝DG＝3，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，∴四边形EFGH的面积是×＝34.
11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是(D)
A．1 B．1－ C．0 D．3－2
如图，
过点C作AE的垂线，垂足为点F.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，AC平分∠DAB，AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°－∠ABC＝60°，∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∴AC＝2CF.∵∠ABC＝120°，∴∠CBF＝60°，
∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝1，∴CF＝＝＝，∴AC＝2CF＝2，
∴AE＝AC＝2.∵点E表示的数是3，∴点A表示的数是(3－2).
12．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，延长BC至点E，使CE＝2，连结DE，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC－CD－DA运动，设点Q的运动时间为t秒，当t为何值时，△ABQ和△DCE全等．(C)
A．1 B．1或3
C．1或 D．3或
(1)当△ABQ≌△DCE时，此时点Q在BC上，由题意，得BQ＝2t.∵△ABQ≌△DCE，∴BQ＝CE＝2，∴2t＝2，∴t＝1；(2)当△ABQ≌△CDE时，此时点Q在DA上，由题意，得DQ＝2t－8，∴AQ＝AD－DQ＝5－(2t－8)＝13－2t.∵△ABQ≌△CDE，∴AQ＝CE＝2，∴13－2t＝2，∴t＝.综上，当t的值为1或秒时，△ABQ和△DCE全等．
二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)
13．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为3.
　　　　　
14．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2，则它们的大小关系是S1＝ S2(填“＞”“＜”或“＝”).
15．如图，直线l1∥l2，等边三角形ABC和正方形BDEF在它们之间，点A、C在 l1上，点D、E在l2上，点B为公共顶点，则∠ABF的度数为120°．
　　　
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠DAB＝60°，在AD边上任取一点E，连结EG，在AB边上取一点F，使∠EGF＝120°.
(1)BD的长为 8；
(2)四边形AEGF的面积是 12．
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.
∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝8；
(2)如图，
过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AD于点N，
则∠GMA＝∠GMB＝∠GND＝∠GNA＝90°，∴∠MGN＋∠DAB＝360°－90°－90°＝180°，
∴∠MGN＝180°－∠DAB＝120°.∵∠EGF＝120°，
∴∠EGF－∠EGM＝∠MGN－∠EGM，即∠MGF＝∠NGE.
∵四边形ABCD是菱形，∴BG＝DG＝BD＝4，∠BAG＝∠DAG，∴GM＝GN，
∴△MGF≌△NGE(ASA)，∴S△MGF＝S△NGE，∴S四边形AEGF＝S四边形ANGM.
∵AG＝AG，GM＝GN，∴Rt△AGM≌Rt△AGN(HL)，
∴S△AGM＝S△AGN.由(1)，可知△ABD是等边三角形，∴∠ABG＝60°，∴∠BGM＝90°－∠ABG＝30°，
∴BM＝BG＝2，∴AM＝AB－BM＝8－2＝6，GM＝＝＝2，
∴S四边形AEGF＝S四边形ANGM＝2S△AGM＝2×AM·GM＝6×2＝12.
三、解答题(本大题满分72分)
17．(12分)如图，在菱形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，DF＝BE，连结AE、AF、CE.
(1)求证：△ADF≌△CBE；
(2)若BD＝6，∠BAD＝120°，且△AEF是等边三角形，求CE的长．
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CBE.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°.
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝30°，AB＝CB.
∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AE＝CE.
∵△AEF为等边三角形，∴∠AEF＝60°，AE＝EF＝AF，
∴∠BAE＝60°－∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝∠ABE，∴BE＝AE，
同理AF＝DF，∴BE＝EF＝DF.
∵BD＝6，∴CE＝BE＝BD＝2.
18．(10分)如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E、F.
(1)求证：∠CAB＝∠DAB；
(2)若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形.
(1)∵AB所在直线是CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，
又∵AB⊥CD，∴∠CAB＝∠DAB(等腰三角形的三线合一).
(2)∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD＝90°，
即∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形．
19．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE＝DF，连结AE、CF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形．
(2)连结AC，AC平分∠EAF.若AB＝4，BC＝8，AF＝5，求证：四边形ABCD是矩形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵BE＝DF，∴EC＝AF.又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵AF∥CE，∴∠FAC＝∠ACE.∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形，∴AF＝AE＝EC＝5.∵BC＝8，
∴BE＝BC－CE＝3.∵AB＝4，AE＝5，BE＝3，∴AB2＋BE2＝AE2，∴∠B＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
20．(10分)如图，已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠1＝∠2.
(1)求证： ABCD是菱形；
(2)F为AD上一点，连结BF交AC于点E，且AE＝AF，求证：AO＝(AF＋AB).
(1)在 ABCD中，AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形．
(2)在 ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE＝∠EBC，
又∵AF＝AE，∴∠AFE＝∠AEF＝∠BEC，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，
∴AC＝AE＋CE＝AF＋BC＝2OA，
∴OA＝(AF＋BC)，又∵AB＝BC，∴OA＝(AF＋AB).
21．(15分)四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，连结ME并延长交CD的延长线于点N，连结MD、AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)当AM＝AB时，四边形AMDN是什么特殊四边形？请说明理由．
(1)∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，
∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.
∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE.
在△NDE和△MAE中，
∴△NDE≌△MAE(AAS)，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形；
(2)四边形AMDN是矩形，理由如下：∵点E是AD边的中点，∴AE＝AD.∵AM＝AB，AD＝AB，∴AE＝AM.∵∠DAB＝60°，∴△EAM是等边三角形，
∴∠AEM＝60°，AE＝AM＝EM.∵四边形AMDN是平行四边形，
∴NE＝ME，DE＝AE，∴NE＝ME＝DE＝AE，∴AD＝MN，∴平行四边形AMDN是矩形．
22．(15分)如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F、G，正方形ABCD的周长是40 cm.
(1)求证：四边形BFEG是矩形；
(2)求四边形EFBG的周长；
(3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
(1)∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠B＝∠EGB＝∠EFB＝90°，
∴四边形BFEG是矩形．
(2)∵正方形ABCD的周长是40 cm，
∴AB＝40÷4＝10 (cm).∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAF＝45°，
∴∠AEF＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2(EF＋BF)＝2(AF＋BF)＝20 cm.
(3)若四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，∴AF＝BF，
∵AB＝10 cm，∴当AF＝5 cm时，四边形BFEG是正方形．

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