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章末过关检测(第18章 矩形菱形与正方形)
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的．)
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
A.AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
　　
2．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于( )
A．20 B．18 C．16 D．14
3．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( )
A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm
4．数学实践课上老师用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图1中菱形的对角线BD的长为( )
　　　　　　　　　 　　图1　　　　　　　 图2
A．10 B．20 C．10 D．20
5．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD.
则下列推理正确的是( )
A．②③ ⑥ B．①② ⑤
C．①③ ④ D．②⑤ ⑥
6．如图，E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若BE＝AC，∠ACB＝62.5°，则∠E的度数为( )
A．55° B．65°
C．70° D．80°
　　　　
7．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”如果图中直角三角形的长直角边为8，短直角边为5，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为( )
A． B． C．5 D．
9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F分别为AO、DO上的一点，且EF∥AD，连结AF、DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为( )
A．80° B．90° C．105° D．115°
∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，∵OA＝OD，∴AE＝DF，在△AEF和△DFE中，
∵AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，∴△AEF≌△DFE，∴∠CAF＝∠FDE＝15°，
∴∠ADE＝∠ODA－∠FDE＝45°－15°＝30°，∴∠AED＝180°－∠OAD－∠ADE＝180°－45°－30°＝105°.
　　　　　　
10．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )
A．30 B．34 C．36 D．40
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，∴AH＝BE＝CF＝DG＝3，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，∴四边形EFGH的面积是×＝34.
11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是( )
A．1 B．1－ C．0 D．3－2
如图，
过点C作AE的垂线，垂足为点F.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，AC平分∠DAB，AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°－∠ABC＝60°，∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∴AC＝2CF.∵∠ABC＝120°，∴∠CBF＝60°，
∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝1，∴CF＝＝＝，∴AC＝2CF＝2，
∴AE＝AC＝2.∵点E表示的数是3，∴点A表示的数是(3－2).
12．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，延长BC至点E，使CE＝2，连结DE，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC－CD－DA运动，设点Q的运动时间为t秒，当t为何值时，△ABQ和△DCE全等．( )
A．1 B．1或3
C．1或 D．3或
(1)当△ABQ≌△DCE时，此时点Q在BC上，由题意，得BQ＝2t.∵△ABQ≌△DCE，∴BQ＝CE＝2，∴2t＝2，∴t＝1；(2)当△ABQ≌△CDE时，此时点Q在DA上，由题意，得DQ＝2t－8，∴AQ＝AD－DQ＝5－(2t－8)＝13－2t.∵△ABQ≌△CDE，∴AQ＝CE＝2，∴13－2t＝2，∴t＝.综上，当t的值为1或秒时，△ABQ和△DCE全等．
二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)
13．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为3.
　　　　　
14．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2，则它们的大小关系是S1＝ S2(填“＞”“＜”或“＝”).
15．如图，直线l1∥l2，等边三角形ABC和正方形BDEF在它们之间，点A、C在 l1上，点D、E在l2上，点B为公共顶点，则∠ABF的度数为120°．
　　　
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠DAB＝60°，在AD边上任取一点E，连结EG，在AB边上取一点F，使∠EGF＝120°.
(1)BD的长为 8；
(2)四边形AEGF的面积是 12．
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.
∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝8；
(2)如图，
过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AD于点N，
则∠GMA＝∠GMB＝∠GND＝∠GNA＝90°，∴∠MGN＋∠DAB＝360°－90°－90°＝180°，
∴∠MGN＝180°－∠DAB＝120°.∵∠EGF＝120°，
∴∠EGF－∠EGM＝∠MGN－∠EGM，即∠MGF＝∠NGE.
∵四边形ABCD是菱形，∴BG＝DG＝BD＝4，∠BAG＝∠DAG，∴GM＝GN，
∴△MGF≌△NGE(ASA)，∴S△MGF＝S△NGE，∴S四边形AEGF＝S四边形ANGM.
∵AG＝AG，GM＝GN，∴Rt△AGM≌Rt△AGN(HL)，
∴S△AGM＝S△AGN.由(1)，可知△ABD是等边三角形，∴∠ABG＝60°，∴∠BGM＝90°－∠ABG＝30°，
∴BM＝BG＝2，∴AM＝AB－BM＝8－2＝6，GM＝＝＝2，
∴S四边形AEGF＝S四边形ANGM＝2S△AGM＝2×AM·GM＝6×2＝12.
三、解答题(本大题满分72分)
17．(12分)如图，在菱形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，DF＝BE，连结AE、AF、CE.
(1)求证：△ADF≌△CBE；
(2)若BD＝6，∠BAD＝120°，且△AEF是等边三角形，求CE的长．
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CBE.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°.
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝30°，AB＝CB.
∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AE＝CE.
∵△AEF为等边三角形，∴∠AEF＝60°，AE＝EF＝AF，
∴∠BAE＝60°－∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝∠ABE，∴BE＝AE，
同理AF＝DF，∴BE＝EF＝DF.
∵BD＝6，∴CE＝BE＝BD＝2.
18．(10分)如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E、F.
(1)求证：∠CAB＝∠DAB；
(2)若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形.
(1)∵AB所在直线是CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，
又∵AB⊥CD，∴∠CAB＝∠DAB(等腰三角形的三线合一).
(2)∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD＝90°，
即∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形．
19．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE＝DF，连结AE、CF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形．
(2)连结AC，AC平分∠EAF.若AB＝4，BC＝8，AF＝5，求证：四边形ABCD是矩形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵BE＝DF，∴EC＝AF.又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵AF∥CE，∴∠FAC＝∠ACE.∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形，∴AF＝AE＝EC＝5.∵BC＝8，
∴BE＝BC－CE＝3.∵AB＝4，AE＝5，BE＝3，∴AB2＋BE2＝AE2，∴∠B＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
20．(10分)如图，已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠1＝∠2.
(1)求证： ABCD是菱形；
(2)F为AD上一点，连结BF交AC于点E，且AE＝AF，求证：AO＝(AF＋AB).
(1)在 ABCD中，AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形．
(2)在 ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE＝∠EBC，
又∵AF＝AE，∴∠AFE＝∠AEF＝∠BEC，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，
∴AC＝AE＋CE＝AF＋BC＝2OA，
∴OA＝(AF＋BC)，又∵AB＝BC，∴OA＝(AF＋AB).
21．(15分)四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，连结ME并延长交CD的延长线于点N，连结MD、AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)当AM＝AB时，四边形AMDN是什么特殊四边形？请说明理由．
(1)∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，
∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.
∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE.
在△NDE和△MAE中，
∴△NDE≌△MAE(AAS)，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形；
(2)四边形AMDN是矩形，理由如下：∵点E是AD边的中点，∴AE＝AD.∵AM＝AB，AD＝AB，∴AE＝AM.∵∠DAB＝60°，∴△EAM是等边三角形，
∴∠AEM＝60°，AE＝AM＝EM.∵四边形AMDN是平行四边形，
∴NE＝ME，DE＝AE，∴NE＝ME＝DE＝AE，∴AD＝MN，∴平行四边形AMDN是矩形．
22．(15分)如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F、G，正方形ABCD的周长是40 cm.
(1)求证：四边形BFEG是矩形；
(2)求四边形EFBG的周长；
(3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
(1)∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠B＝∠EGB＝∠EFB＝90°，
∴四边形BFEG是矩形．
(2)∵正方形ABCD的周长是40 cm，
∴AB＝40÷4＝10 (cm).∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAF＝45°，
∴∠AEF＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2(EF＋BF)＝2(AF＋BF)＝20 cm.
(3)若四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，∴AF＝BF，
∵AB＝10 cm，∴当AF＝5 cm时，四边形BFEG是正方形．章末过关检测(第18章 矩形菱形与正方形)
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的．)
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(D)
A.AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
　　
2．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于(C)
A．20 B．18 C．16 D．14
3．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为(D)
A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm
4．数学实践课上老师用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图1中菱形的对角线BD的长为(C)
　　　　　　　　　 　　图1　　　　　　　 图2
A．10 B．20 C．10 D．20
5．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD.
则下列推理正确的是(D)
A．②③ ⑥ B．①② ⑤
C．①③ ④ D．②⑤ ⑥
6．如图，E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若BE＝AC，∠ACB＝62.5°，则∠E的度数为(A)
A．55° B．65°
C．70° D．80°
　　　　
7．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”如果图中直角三角形的长直角边为8，短直角边为5，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为(B)
A． B． C．5 D．
9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F分别为AO、DO上的一点，且EF∥AD，连结AF、DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为(C)
A．80° B．90° C．105° D．115°
∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，∵OA＝OD，∴AE＝DF，在△AEF和△DFE中，
∵AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，∴△AEF≌△DFE，∴∠CAF＝∠FDE＝15°，
∴∠ADE＝∠ODA－∠FDE＝45°－15°＝30°，∴∠AED＝180°－∠OAD－∠ADE＝180°－45°－30°＝105°.
　　　　　　
10．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(B)
A．30 B．34 C．36 D．40
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，∴AH＝BE＝CF＝DG＝3，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，∴四边形EFGH的面积是×＝34.
11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是(D)
A．1 B．1－ C．0 D．3－2
如图，
过点C作AE的垂线，垂足为点F.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，AC平分∠DAB，AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°－∠ABC＝60°，∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∴AC＝2CF.∵∠ABC＝120°，∴∠CBF＝60°，
∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝1，∴CF＝＝＝，∴AC＝2CF＝2，
∴AE＝AC＝2.∵点E表示的数是3，∴点A表示的数是(3－2).
12．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，延长BC至点E，使CE＝2，连结DE，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC－CD－DA运动，设点Q的运动时间为t秒，当t为何值时，△ABQ和△DCE全等．(C)
A．1 B．1或3
C．1或 D．3或
(1)当△ABQ≌△DCE时，此时点Q在BC上，由题意，得BQ＝2t.∵△ABQ≌△DCE，∴BQ＝CE＝2，∴2t＝2，∴t＝1；(2)当△ABQ≌△CDE时，此时点Q在DA上，由题意，得DQ＝2t－8，∴AQ＝AD－DQ＝5－(2t－8)＝13－2t.∵△ABQ≌△CDE，∴AQ＝CE＝2，∴13－2t＝2，∴t＝.综上，当t的值为1或秒时，△ABQ和△DCE全等．
二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)
13．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为3.
　　　　　
14．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2，则它们的大小关系是S1＝ S2(填“＞”“＜”或“＝”).
15．如图，直线l1∥l2，等边三角形ABC和正方形BDEF在它们之间，点A、C在 l1上，点D、E在l2上，点B为公共顶点，则∠ABF的度数为120°．
　　　
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠DAB＝60°，在AD边上任取一点E，连结EG，在AB边上取一点F，使∠EGF＝120°.
(1)BD的长为 8；
(2)四边形AEGF的面积是 12．
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.
∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝8；
(2)如图，
过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AD于点N，
则∠GMA＝∠GMB＝∠GND＝∠GNA＝90°，∴∠MGN＋∠DAB＝360°－90°－90°＝180°，
∴∠MGN＝180°－∠DAB＝120°.∵∠EGF＝120°，
∴∠EGF－∠EGM＝∠MGN－∠EGM，即∠MGF＝∠NGE.
∵四边形ABCD是菱形，∴BG＝DG＝BD＝4，∠BAG＝∠DAG，∴GM＝GN，
∴△MGF≌△NGE(ASA)，∴S△MGF＝S△NGE，∴S四边形AEGF＝S四边形ANGM.
∵AG＝AG，GM＝GN，∴Rt△AGM≌Rt△AGN(HL)，
∴S△AGM＝S△AGN.由(1)，可知△ABD是等边三角形，∴∠ABG＝60°，∴∠BGM＝90°－∠ABG＝30°，
∴BM＝BG＝2，∴AM＝AB－BM＝8－2＝6，GM＝＝＝2，
∴S四边形AEGF＝S四边形ANGM＝2S△AGM＝2×AM·GM＝6×2＝12.
三、解答题(本大题满分72分)
17．(12分)如图，在菱形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，DF＝BE，连结AE、AF、CE.
(1)求证：△ADF≌△CBE；
(2)若BD＝6，∠BAD＝120°，且△AEF是等边三角形，求CE的长．
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CBE.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°.
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝30°，AB＝CB.
∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AE＝CE.
∵△AEF为等边三角形，∴∠AEF＝60°，AE＝EF＝AF，
∴∠BAE＝60°－∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝∠ABE，∴BE＝AE，
同理AF＝DF，∴BE＝EF＝DF.
∵BD＝6，∴CE＝BE＝BD＝2.
18．(10分)如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E、F.
(1)求证：∠CAB＝∠DAB；
(2)若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形.
(1)∵AB所在直线是CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，
又∵AB⊥CD，∴∠CAB＝∠DAB(等腰三角形的三线合一).
(2)∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD＝90°，
即∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形．
19．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE＝DF，连结AE、CF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形．
(2)连结AC，AC平分∠EAF.若AB＝4，BC＝8，AF＝5，求证：四边形ABCD是矩形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵BE＝DF，∴EC＝AF.又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵AF∥CE，∴∠FAC＝∠ACE.∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形，∴AF＝AE＝EC＝5.∵BC＝8，
∴BE＝BC－CE＝3.∵AB＝4，AE＝5，BE＝3，∴AB2＋BE2＝AE2，∴∠B＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
20．(10分)如图，已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠1＝∠2.
(1)求证： ABCD是菱形；
(2)F为AD上一点，连结BF交AC于点E，且AE＝AF，求证：AO＝(AF＋AB).
(1)在 ABCD中，AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形．
(2)在 ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE＝∠EBC，
又∵AF＝AE，∴∠AFE＝∠AEF＝∠BEC，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，
∴AC＝AE＋CE＝AF＋BC＝2OA，
∴OA＝(AF＋BC)，又∵AB＝BC，∴OA＝(AF＋AB).
21．(15分)四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，连结ME并延长交CD的延长线于点N，连结MD、AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)当AM＝AB时，四边形AMDN是什么特殊四边形？请说明理由．
(1)∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，
∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.
∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE.
在△NDE和△MAE中，
∴△NDE≌△MAE(AAS)，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形；
(2)四边形AMDN是矩形，理由如下：∵点E是AD边的中点，∴AE＝AD.∵AM＝AB，AD＝AB，∴AE＝AM.∵∠DAB＝60°，∴△EAM是等边三角形，
∴∠AEM＝60°，AE＝AM＝EM.∵四边形AMDN是平行四边形，
∴NE＝ME，DE＝AE，∴NE＝ME＝DE＝AE，∴AD＝MN，∴平行四边形AMDN是矩形．
22．(15分)如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F、G，正方形ABCD的周长是40 cm.
(1)求证：四边形BFEG是矩形；
(2)求四边形EFBG的周长；
(3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
(1)∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠B＝∠EGB＝∠EFB＝90°，
∴四边形BFEG是矩形．
(2)∵正方形ABCD的周长是40 cm，
∴AB＝40÷4＝10 (cm).∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAF＝45°，
∴∠AEF＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2(EF＋BF)＝2(AF＋BF)＝20 cm.
(3)若四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，∴AF＝BF，
∵AB＝10 cm，∴当AF＝5 cm时，四边形BFEG是正方形．

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