资源简介

章末小结(第18章)
考点1?　矩形的性质与判定
1．(河北保定莲池区模拟)如图1是某种型号拉杆箱的实物图，如图2是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F、C、D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为85°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应( )
　　
A．减少20° B．减少10°
C．增加20° D．增加10°
2．(海南一模)如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
3．(海南临高县期末)如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF＝BE，连结AF、BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形．
(2)若AF平分∠DAB，且DF＝5，AE＝3，求DE的长．
考点2?　菱形的性质与判定
4．(海南定安县期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是( )
A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
5．(海南海口期末)如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，且AE⊥BC，BE＝2，连结AC，则△ACD的周长等于( )
A．8 B．9
C．12 D．16
6．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为4和8，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是 ．
7．(海南琼中县期中)如图，在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC＝2AB，延长AB至G，使BG＝AB，连结GO交BC于E，延长GO交AD于F，连结AE、CF.
求证：(1)△ABC≌△AOG；
(2)猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想.
8．(海南海口期末)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠OBC＝∠OCB，要使 ABCD为正方形还需增加一个条件．在条件①AB＝BC；②AC⊥BD；③AC＝BD；④∠ABC＝90°中，正确的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
9．(海南文昌期末)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF，若AE＝1，则EF的值为 .
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连结DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连结AF、CG.
(1)求证：AF＝BF；
(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．
考点4?　特殊多边形的性质与判定的综合应用
11．(海南文昌期中)下列说法正确的是( )
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
12．(海南儋州期末)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC＝BD时，它是正方形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC⊥BD时，它是菱形
13．(吉林辽源期末)我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的衣帽架变化为不同的形状．如图2，将一个边长为20 cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)变化成四边形ABCD.解决下列问题．
(1)四边形ABCD的形状是 ，理由是 ．
(2)若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36 cm时才会断裂，当∠BAD＝60°时，橡皮筋AC会不会断裂？请说明理由．(参考数据：≈1.732)
　　
14．(海南三亚海棠区期末)已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点．
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若AC＝CD，求证：四边形AMCN是矩形；
(3)若∠ACD＝90°，求证：四边形AMCN是菱形；
(4)若AC＝CD，∠ACD＝90°，求证：四边形AMCN是正方形．章末小结(第18章)
考点1?　矩形的性质与判定
1．(河北保定莲池区模拟)如图1是某种型号拉杆箱的实物图，如图2是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F、C、D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为85°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应(D)
　　
A．减少20° B．减少10°
C．增加20° D．增加10°
2．(海南一模)如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠A.
在△ABE和△FCB中，
∴△ABE≌△FCB(AAS)，∴FC＝AB＝2.
∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，
∴在Rt△FCB中，由勾股定理，得BF＝＝＝.
3．(海南临高县期末)如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF＝BE，连结AF、BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形．
(2)若AF平分∠DAB，且DF＝5，AE＝3，求DE的长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥BE.
∵DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF＝∠AFD.∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF＝5.∵∠AED＝90°，
∴DE＝＝＝4.
考点2?　菱形的性质与判定
4．(海南定安县期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是(C)
A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
5．(海南海口期末)如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，且AE⊥BC，BE＝2，连结AC，则△ACD的周长等于(C)
A．8 B．9
C．12 D．16
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD.∵E是BC的中点，且AE⊥BC，∴AB＝AC，BC＝2BE.∵BE＝2，∴BC＝4，∴AC＝CD＝AD＝4，∴△ACD的周长＝AD＋CD＋AC＝4×3＝12.
6．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为4和8，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是8．
7．(海南琼中县期中)如图，在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC＝2AB，延长AB至G，使BG＝AB，连结GO交BC于E，延长GO交AD于F，连结AE、CF.
求证：(1)△ABC≌△AOG；
(2)猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想.
(1)∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO＝AC.
∵AC＝2AB，BG＝AB，∴AB＝AO，AC＝AG.
在△ABC和△AOG中，
∴△ABC≌△AOG(SAS)；
(2)四边形AECF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE.
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(ASA)，∴OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵△ABC≌△AOG，
∴∠AOG＝∠ABC＝90°，
∴AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
考点3?　正方形的性质与判定
8．(海南海口期末)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠OBC＝∠OCB，要使 ABCD为正方形还需增加一个条件．在条件①AB＝BC；②AC⊥BD；③AC＝BD；④∠ABC＝90°中，正确的是(A)
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，OB＝OD.∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AO＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．∵AB＝BC，∴矩形ABCD为正方形，故①符合题意；∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴矩形ABCD为正方形，故②符合题意；当AC＝BD或∠ABC＝90°，四边形ABCD仍是矩形，故③④不符合题意．
9．(海南文昌期末)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF，若AE＝1，则EF的值为.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°，
∴∠DCF＝90°，∠ADE＋∠EDC＝90°.
∵DF⊥DE，∴∠EDC＋∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF.
又∵AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF＝1，
∵E是AB的中点，∴BE＝AE＝1，∴AB＝BC＝2，∴BF＝3.
在Rt△BEF中，EF＝＝.
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连结DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连结AF、CG.
(1)求证：AF＝BF；
(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．
(1)∵AD＝CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC，∴DE是线段AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠ACB.
在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，
得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°，
∴∠B＝∠BAF，
∴AF＝BF.
(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.
又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE.
在△AEG和△CEF中，
∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，
得BF＝CF.
即得点F是边BC的中点．
又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，∴∠AFC＝90°.
∴四边形AFCG是正方形．
考点4?　特殊多边形的性质与判定的综合应用
11．(海南文昌期中)下列说法正确的是(C)
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
12．(海南儋州期末)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是(B)
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC＝BD时，它是正方形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC⊥BD时，它是菱形
13．(吉林辽源期末)我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的衣帽架变化为不同的形状．如图2，将一个边长为20 cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)变化成四边形ABCD.解决下列问题．
(1)四边形ABCD的形状是菱形，理由是四条边相等的四边形是菱形．
(2)若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36 cm时才会断裂，当∠BAD＝60°时，橡皮筋AC会不会断裂？请说明理由．(参考数据：≈1.732)
　　
AC不会断裂，理由如下：
设扭动后对角线的交点为O，如图．
由题意，得
∠BAD＝60°，AD＝AB＝20 cm，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝20 cm.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝BD＝10 cm，AC⊥BD，
∴AO＝＝10 cm，
AC＝2AO＝20≈34.64(cm).
∵34.64＜36，∴AC不会断裂．
14．(海南三亚海棠区期末)已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点．
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若AC＝CD，求证：四边形AMCN是矩形；
(3)若∠ACD＝90°，求证：四边形AMCN是菱形；
(4)若AC＝CD，∠ACD＝90°，求证：四边形AMCN是正方形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵M，N分别是AD和BC的中点，
∴AM＝AD，CN＝BC，∴AM＝CN.
∵AM∥CN，AM＝CN，∴四边形AMCN是平行四边形；
(2)∵AC＝CD，M是AD的中点，
∴∠AMC＝90°.
∵由(1)，知四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是矩形；
(3)∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，
∴AM＝CM.
∵由(1)，知四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是菱形；
(4)∵AC＝CD，M是AD的中点，
∴∠AMC＝90°.
∵由(1)，知四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是矩形．
∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，
∴AM＝CM，
∴矩形AMCN是正方形．

展开更多......

收起↑