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15.1.2分式的基本性质
第1课时　分式的基本性质
1．分式的分子与分母都乘以(或都除以)同一个不等于0的 ，分式的值 ．用式子可表示为＝＝(C≠0)，其中A、B、C是整式．
2．对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，若改变其中任何两个，则分式的值不变；若改变其中任何一个或三个，则分式的值成为原分式的值的相反数．
考点1?　利用分式的基本性质变形
【典例1】(海南陵水县期末)下列式子从左到右变形一定正确的是( D )
A.＝　　 B．＝
C.＝－　 D．＝
解析：与不一定相等，故A不符合题意；
与不一定相等，故B不符合题意；
＝－，故C不符合题意；
＝，故D符合题意．
对于分式的变形问题，要先观察分析局部(分子或分母)的变化情况，推知整体(分式)的变化，注意分析问题的次序．
【变式训练】
1．若将中的x与y都扩大为原来的2倍，则这个代数式的值( )
A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.缩小为原来的
考点2?　利用分式的基本性质变号
【典例2】根据分式的基本性质，分式可变形为( C )
A. B．
C.－ D．－
分式的变号可以分子(分母)单独变号，此时需要分式的符号同时变号；分式的分子、分母也可以同时变号，此时分式的符号无需变号．
【变式训练】
2．对于分式，下列变形正确的是( )
A.－ B． C． D．
知识点　分式的基本性质
1．(海南海口琼山区月考)下列式子的变形正确的是( )
A.＝ B．＝a＋b
C.＝ D．＝－2n
2．与分式相等的是( )
A. B．
C.－ D．－
3．在下列各式中，x、y同时扩大2倍，式子的值不变的是( )
A. B．
C. D．
4．(河南平顶山郏县月考)下列计算中，错误的是( )
A.＝ B．＝
C.＝－1 D．＝(c≠0)
5．(河南洛阳孟津月考)不改变分式的值，把分式中分子、分母各项系数化成整数为 .
6．根据变化完成式子的变形：＝，(　　)中应填 ．
7．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
(1)－；
(2)；
(3)－.
易错易混点　分式的基本性质应用不熟练致错
8．下列从左到右的变形，不成立的是( )
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
9．下列等式：
①＝；
②＝；
③＝；
④＝.
成立的是( )
A.①② B．③④ C．①③ D．②④
10．(河南洛阳伊川期末)根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是( )
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
11．(海南海口期中)已知的值为5，若分式中的x、y均扩大为原来的2倍，则的值为 ．
12. 已知＝＝≠0，求代数式的值．
13．(1)不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数；
(2)不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数．
14．已知2a－3b＝0，求分式的值．
15.(应用意识)已知：x＋＝4，求的值．
第2课时　分式的约分与通分
1．与分数的约分类似，根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
2．如果一个分式的分子与分母没有相同的因式(1除外)，那么这个分式称为最简分式．
3．与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
考点1?　分式的约分与通分
【典例1】(海南海口月考)(1)约分：；
(2)通分：，.
约分时，对分子、分母分解因式，并找出公因式是解题的关键．通分的关键是熟知找公分母的方法，然后根据分式的基本性质将各分式转化成分母为最简公分母的等值分式．
【变式训练】
1．(1)通分：和；
(2)约分：.
考点2?　最简分式
【典例2】下列分式中，最简分式是( B )
A.　　　　　　B．
C. D．
最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再进行约分．判断的方法是把分子、分母进行因式分解，并且观察有无公因式或互为相反数的因式，这样的因式可以直接约分或通过符号变化为相同的因式从而进行约分．
【变式训练】
2．若表示的是一个最简分式，则☆可以是( )
A.2x B．x
C.x2 D．1
知识点1?　约分
1．(海南海口期末)约分的结果是( )
A.－　　B．－　　C．－x　　D．－
2．下列式子的化简结果为的是( )
A. B． C． D．
3．下列各式中，不能约分的分式是( )
A. B．
C. D．
4．(河南南阳镇平期末)请写出一个化简结果为的分式 .
5．化简下列分式．
(1)；(2)(3x2＋x)÷(x2－x).
知识点2?　通分
6．分式，的最简公分母是( )
A.54x2y B．18xy
C.9xy D．18x2y
7．(河南新乡原阳期末)分式，，通分过程中，不正确的是( )
A.最简公分母是(x－2)(x＋3)2
B.＝
C.＝
D.＝
8．(海南海口月考)通分，，的最简公分母为 ．
易错易混点　无法确定最简公因式导致约分错误
9．下列约分结果正确的是( )
A.＝ B．＝
C.＝－1 D．＝
10．(河北邢台襄都区期中)若将分式与分式通分后，分式的分母变为2(x－2)(x＋y)，则分式的分子应变为( )
A.6x2 B．x(x＋y)
C.x2 D．3x2(x＋y)
11．(河南南阳南召期中)如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是( )
A. B．
C. D．
12．(河南南阳社旗期末)分式，的最简公分母是 .
13．把，，通分后，各分式的分子之和为 ．
14．(1)约分：；
(2)通分：和.
15．已知分式，.若a是这两个分式分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且＝－6，试求这两个分式的值．
16．“约去”指数：
如＝，＝，…
你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：＝，试说明此猜想的正确性．(供参考：x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2))
17.(运算能力)在学习“约分和通分”时，小明和小华都遇到了“化简”这道题．
小明的解法：＝＝x－y.
小华的解法：＝＝＝x－y.
如果你与小明、小华在一个学习小组，请你发表一下自己的意见．15.1.2分式的基本性质
第1课时　分式的基本性质
1．分式的分子与分母都乘以(或都除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子可表示为＝＝(C≠0)，其中A、B、C是整式．
2．对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，若改变其中任何两个，则分式的值不变；若改变其中任何一个或三个，则分式的值成为原分式的值的相反数．
考点1?　利用分式的基本性质变形
【典例1】(海南陵水县期末)下列式子从左到右变形一定正确的是( D )
A.＝　　 B．＝
C.＝－　 D．＝
解析：与不一定相等，故A不符合题意；
与不一定相等，故B不符合题意；
＝－，故C不符合题意；
＝，故D符合题意．
对于分式的变形问题，要先观察分析局部(分子或分母)的变化情况，推知整体(分式)的变化，注意分析问题的次序．
【变式训练】
1．若将中的x与y都扩大为原来的2倍，则这个代数式的值(C)
A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.缩小为原来的
考点2?　利用分式的基本性质变号
【典例2】根据分式的基本性质，分式可变形为( C )
A. B．
C.－ D．－
解析：∵＝－，故C符合题意．
分式的变号可以分子(分母)单独变号，此时需要分式的符号同时变号；分式的分子、分母也可以同时变号，此时分式的符号无需变号．
【变式训练】
2．对于分式，下列变形正确的是(B)
A.－ B． C． D．
知识点　分式的基本性质
1．(海南海口琼山区月考)下列式子的变形正确的是(C)
A.＝ B．＝a＋b
C.＝ D．＝－2n
2．与分式相等的是(B)
A. B．
C.－ D．－
3．在下列各式中，x、y同时扩大2倍，式子的值不变的是(B)
A. B．
C. D．
4．(河南平顶山郏县月考)下列计算中，错误的是(A)
A.＝ B．＝
C.＝－1 D．＝(c≠0)
5．(河南洛阳孟津月考)不改变分式的值，把分式中分子、分母各项系数化成整数为.
6．根据变化完成式子的变形：＝，(　　)中应填y．
7．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
(1)－；
(2)；
(3)－.
(1)－＝；
(2)＝；
(3)－＝－.
易错易混点　分式的基本性质应用不熟练致错
8．下列从左到右的变形，不成立的是(C)
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
A.＝＝，故A不符合题意；B.＝，故B不符合题意；C.≠，故C符合题意；D.＝，故D不符合题意．
9．下列等式：
①＝；
②＝；
③＝；
④＝.
成立的是(D)
A.①② B．③④ C．①③ D．②④
10．(河南洛阳伊川期末)根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是(D)
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
A.分子、分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故该选项错误，不符合题意；B.＝，故该选项错误，不符合题意；C.＝，故该选项错误，不符合题意；D.＝＝，故该选项正确，符合题意．
11．(海南海口期中)已知的值为5，若分式中的x、y均扩大为原来的2倍，则的值为10．
12. 已知＝＝≠0，求代数式的值．
设＝＝＝k≠0，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，所以＝＝＝.
13．(1)不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数；
(2)不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数．
(1)原式＝.
(2)原式＝－.
14．已知2a－3b＝0，求分式的值．
由2a－3b＝0，得a＝b，∴＝＝.
15.(应用意识)已知：x＋＝4，求的值．
＝＝x2＋1＋＝(x＋)2－2＋1＝(x＋)2－1，
∵x＋＝4，∴＝42－1＝15，
∴＝.
第2课时　分式的约分与通分
1．与分数的约分类似，根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
2．如果一个分式的分子与分母没有相同的因式(1除外)，那么这个分式称为最简分式．
3．与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
考点1?　分式的约分与通分
【典例1】(海南海口月考)(1)约分：；
(2)通分：，.
解：(1)＝ ＝；
(2)∵和的最简公分母为
x(x＋1)(x－1)，
∴＝＝＝，＝＝＝.
约分时，对分子、分母分解因式，并找出公因式是解题的关键．通分的关键是熟知找公分母的方法，然后根据分式的基本性质将各分式转化成分母为最简公分母的等值分式．
【变式训练】
1．(1)通分：和；
(2)约分：.
(1)＝；
＝；
(2)原式＝＝.
考点2?　最简分式
【典例2】下列分式中，最简分式是( B )
A.　　　　　　B．
C. D．
解析：A.＝，则原分式不是最简分式，故此选项不符合题意；
B.是最简分式，故此选项符合题意；
C.＝＝，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
D.＝＝，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意．
最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再进行约分．判断的方法是把分子、分母进行因式分解，并且观察有无公因式或互为相反数的因式，这样的因式可以直接约分或通过符号变化为相同的因式从而进行约分．
【变式训练】
2．若表示的是一个最简分式，则☆可以是(A)
A.2x B．x
C.x2 D．1
A.☆为2x时，＝，原式为最简分式，故A选项符合题意；B.☆为x时，＝＝－1，原式不是最简分式，故B选项不符合题意；C.☆为x2时，＝＝－1－x，原式不是最简分式，故C选项不符合题意；D.☆为1时，＝＝0，原式不是分式，故D选项不符合题意．
知识点1?　约分
1．(海南海口期末)约分的结果是(B)
A.－　　B．－　　C．－x　　D．－
2．下列式子的化简结果为的是(C)
A. B． C． D．
3．下列各式中，不能约分的分式是(B)
A. B．
C. D．
4．(河南南阳镇平期末)请写出一个化简结果为的分式(答案不唯一).
5．化简下列分式．
(1)；(2)(3x2＋x)÷(x2－x).
(1)＝－.
(2)原式＝＝＝.
知识点2?　通分
6．分式，的最简公分母是(D)
A.54x2y B．18xy
C.9xy D．18x2y
7．(河南新乡原阳期末)分式，，通分过程中，不正确的是(D)
A.最简公分母是(x－2)(x＋3)2
B.＝
C.＝
D.＝
8．(海南海口月考)通分，，的最简公分母为6x2y2．
易错易混点　无法确定最简公因式导致约分错误
9．下列约分结果正确的是(B)
A.＝ B．＝
C.＝－1 D．＝
A.是最简分式，不能约分，本选项计算错误，不符合题意；B.＝，本选项约分正确，符合题意；C.是最简分式，不能约分，本选项计算错误，不符合题意；D.是最简分式，不能约分，本选项计算错误，不符合题意．
10．(河北邢台襄都区期中)若将分式与分式通分后，分式的分母变为2(x－2)(x＋y)，则分式的分子应变为(A)
A.6x2 B．x(x＋y)
C.x2 D．3x2(x＋y)
∵＝，
∴＝＝，
∴分式的分子应变为6x2.
11．(河南南阳南召期中)如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是(C)
A. B．
C. D．
A.＝＝，原分式不是最简分式，故此分式不是“和谐分式”；B.＝＝，原分式不是最简分式，故此分式不是“和谐分式”；C.是最简分式，且分母可以利用平方差公式进行因式分解，故此分式是“和谐分式”；D.是最简分式，但分子、分母均不能因式分解，故此分式不是“和谐分式”．
12．(河南南阳社旗期末)分式，的最简公分母是x(x＋1)(x－1).
13．把，，通分后，各分式的分子之和为2a2＋7a＋11．
14．(1)约分：；
(2)通分：和.
(1)＝－.
(2)＝＝，
＝＝.
15．已知分式，.若a是这两个分式分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且＝－6，试求这两个分式的值．
两个分式分母的公因式为a＝x－1，最简公分母为b＝3(x＋1)(x－1)，
∴＝＝3(x＋1)＝－6，
解得x＝－3，
∴＝＝，＝＝－.
16．“约去”指数：
如＝，＝，…
你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：＝，试说明此猜想的正确性．(供参考：x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2))
∵
＝
＝，
∴＝正确．
17.(运算能力)在学习“约分和通分”时，小明和小华都遇到了“化简”这道题．
小明的解法：＝＝x－y.
小华的解法：＝＝＝x－y.
如果你与小明、小华在一个学习小组，请你发表一下自己的意见．
小明的解法正确．小华的解法错误．
＝＝＝x－y.
这里分子、分母同时乘以(x－y)，若x－y＝0，则该方法不合适．

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