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15.2.2分式的加减
第1课时　分式的加减
1．同分母的分式相加减，分母 ，分子 .
2．异分母的分式相加减，先 ，变为 的分式，然后再加减．
考点1?　同分母分式的加减法
【典例1】计算－的结果是( A )
A.2－x　 B．x－2 C． D．
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，但需注意结果要化到最简．
【变式训练】
1．(贵州模拟)化简－的结果是( )
A． B．－
C．－ D．
考点2?　异分母分式的加减法
【典例2】化简：－.
异分母的分式相加减，要先通分，再按照同分母的分式加减法进行计算，计算结果要化为最简分式．
【变式训练】
2．化简－的结果是( )
A．－ B．
C．－ D．
知识点1?　同分母分式加减法
1．(海南海口琼山区三模)计算－的结果为( )
A． B．－ C．1 D．－1
2．(海南琼海月考)计算－的结果是( )
A．m＋1 B．m－1
C．m－2 D．－m－2
3．(河南洛阳汝阳期中)计算＋的结果是 .
知识点2?　异分母分式加减法
4．(河南平顶山宝丰期末)化简－的结果是( )
A． B． C．1 D．－1
5．＋的运算结果正确的是( )
A． B．
C． D．a＋b
6．(山东济南历城区模拟)化简＋的结果是( )
A．－2a＋b B．－2a－b
C．2a＋b D．2a－b
7．(河南南阳新野期末)计算－的结果是 .
易错易混点　整体思想应用不熟练致错
8．已知－＝3，则分式的值为( )
A．1 B．－1 C． D．－
9．(山东日照东港区期末)若把分式＋中的x、y同时扩大2倍，则分式的值( )
A．是原来的2倍 B．是原来的
C．是原来的 D．不变
10．化简－(a＋1)的结果为 ．
11．照相机成像时，照相机镜头的焦距为f，物体到镜头的距离为u，胶片(像)到镜头的距离为v，满足＝＋(v≠f).已知f、v，则u＝ ．
12．计算＋＋＋.
13．(河南濮阳期中)小明同学化简－的过程如下．
解：原式＝－　第一步
＝－第二步
＝　第三步
＝　第四步
＝　第五步
(1)小明同学化简的第一步是 ；(填“整式乘法”或“因式分解”)
(2)化简过程中第 步出现错误，出现错误的原因是 ；
(3)请你书写正确的化简过程及结果．
14.如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式M＝，N＝，M＋N＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1.
(1)已知分式A＝，B＝，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k.
(2)已知分式C＝，D＝，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4.
①求G；
②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为 ．
第2课时　分式的混合运算
分式的加减、乘除、乘方混合运算，与分数的加、减、乘、除、乘方混合运算一样，也是先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，若有括号，先算括号内的．
考点1?　分式的混合运算
【典例1】(海南期末)化简：÷－.
分式的混合运算要注意运算顺序，分子相加减时注意括号．
【变式训练】
1．化简·(a－)的结果是( )
A.a＋b B．
C．a－b D．
考点2?　分式的化简求值
【典例2】如图，若a＝6b，b＞0，则·(a－)的值在( )
A．第①段 B．第②段
C．第③段 D．第④段
分式的化简求值要注意先化简，再求值，必要时要用整体代入，选值代入的时候要注意代入的数值必须使得原分式有意义．
【变式训练】
2．(安徽六安金安区期末)先化简，再求值：÷(x－)，其中－＜x＜，且x是整数．
知识点1?　分式的混合运算
1．(海南模拟)计算：÷(1－)的结果为( )
A．x B．－
C． D．－
2．下列运算正确的是( )
A．＋＝ B．－＝0
C．1÷×＝ D．＝x＋y
3．对于代数式m、n，定义运算“?”：m?n＝，例如：4?2＝，若(x－1)?(x＋2)＝＋，则A＋3B＝ ．
4．(海南海口期末)计算：
(1)(－)·(a2－4)；
(2)(＋)÷.
知识点2?　分式的化简求值
5．当x＝6，y＝3时，代数式(＋)·的值是( )
A．2 B．3 C．6 D．9
6．已知A＝÷，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是( )
甲：A的计算结果为；
乙：当x＝－3时，A＝2；
丙：当0＜x＜3时，A的值为正数．
A．乙错，丙对 B．甲和乙都对
C．甲对，丙错 D．甲错，丙对
7．若a，b互为倒数，则代数式÷(＋)的值为 ．
8．(海南临高县期末)先化简，再求值：
(－)÷，其中x＝－.
易错易混点　对分式的二次整理不熟练致错
9．用替换分式中的n后，经过化简，结果是( )
A． B．2m C． D．
10．(海南海口秀英区月考)已知a＋＝5，则a2＋的值为( )
A．－5 B．27 C．23 D．25
11. 若a2＋5ab－b2＝0，则－的值为 ．
12. 若a1＝1－，a2＝1－，a3＝1－，…，则a2 020的值为 (用含m的代数式表示).
13．已知a＝b＋2 020，求代数式·÷的值．
14．(海南海口期中)先化简：(x－)÷，若－2≤x≤2，请你选择一个恰当的x值(x是整数)代入求值．
15．先化简－÷，然后从－3，－1，0，2中选择一个你喜欢的x值代入求值．
【母题P13T4】林林家与学校的距离为a km，林林骑自行车从家到学校需要b min，某天，林林从家骑自行车出发c min后，爸爸才从家骑自行车出发，结果爸爸与林林同时到达学校，爸爸每分钟比林林多骑多少千米？
【变式】某人沿一条河流顺流游泳L m，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为x m/h，水流速度为n m/h.求他来回一趟所需的时间t.
16.(创新意识)(河南南阳邓州期中)阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
(1)求x＋的值；
(2)求的值．15.2.2分式的加减
第1课时　分式的加减
1．同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.
2．异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
考点1?　同分母分式的加减法
【典例1】计算－的结果是( A )
A.2－x　 B．x－2 C． D．
解析：原式＝＝－＝－x＋2＝2－x.
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，但需注意结果要化到最简．
【变式训练】
1．(贵州模拟)化简－的结果是(D)
A． B．－
C．－ D．
考点2?　异分母分式的加减法
【典例2】化简：－.
解：－＝＋
＝＋＝.
异分母的分式相加减，要先通分，再按照同分母的分式加减法进行计算，计算结果要化为最简分式．
【变式训练】
2．化简－的结果是(A)
A．－ B．
C．－ D．
知识点1?　同分母分式加减法
1．(海南海口琼山区三模)计算－的结果为(C)
A． B．－ C．1 D．－1
2．(海南琼海月考)计算－的结果是(B)
A．m＋1 B．m－1
C．m－2 D．－m－2
3．(河南洛阳汝阳期中)计算＋的结果是1.
知识点2?　异分母分式加减法
4．(河南平顶山宝丰期末)化简－的结果是(D)
A． B． C．1 D．－1
5．＋的运算结果正确的是(C)
A． B．
C． D．a＋b
6．(山东济南历城区模拟)化简＋的结果是(C)
A．－2a＋b B．－2a－b
C．2a＋b D．2a－b
7．(河南南阳新野期末)计算－的结果是.
易错易混点　整体思想应用不熟练致错
8．已知－＝3，则分式的值为(B)
A．1 B．－1 C． D．－
∵－＝3，∴＝3，
∴y－x＝3xy，
∴＝＝－1.
9．(山东日照东港区期末)若把分式＋中的x、y同时扩大2倍，则分式的值(B)
A．是原来的2倍 B．是原来的
C．是原来的 D．不变
10．化简－(a＋1)的结果为．
11．照相机成像时，照相机镜头的焦距为f，物体到镜头的距离为u，胶片(像)到镜头的距离为v，满足＝＋(v≠f).已知f、v，则u＝．
12．计算＋＋＋.
原式＝＋＋＝＋＝.
13．(河南濮阳期中)小明同学化简－的过程如下．
解：原式＝－　第一步
＝－第二步
＝　第三步
＝　第四步
＝　第五步
(1)小明同学化简的第一步是因式分解；(填“整式乘法”或“因式分解”)
(2)化简过程中第三步出现错误，出现错误的原因是6没变号；
(3)请你书写正确的化简过程及结果．
(1)因式分解　(2)三　6没变号
(3)原式＝－＝＝.
14.如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式M＝，N＝，M＋N＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1.
(1)已知分式A＝，B＝，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k.
(2)已知分式C＝，D＝，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4.
①求G；
②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为1或2．
(1)∵A＋B＝＋＝＝＝3，
∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k＝3.
(2)①由题意，得＋＝4，
去分母，得(4x－2)(x＋3)＋G＝4(x＋3)(x－3)，
整理，得G＝－10x－30.
②∵G＝－10x－30，
∴D＝＝＝－.
∵分式D的值为正整数，
∴x－3＝－1或－2或－5或－10.
当x－3＝－1时，x＝2；
当x－3＝－2时，x＝1；
当x－3＝－5时，x＝－2(舍去)；
当x－3＝－10时，x＝－7(舍去)，
∴x值为1或2.
第2课时　分式的混合运算
分式的加减、乘除、乘方混合运算，与分数的加、减、乘、除、乘方混合运算一样，也是先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，若有括号，先算括号内的．
考点1?　分式的混合运算
【典例1】(海南期末)化简：÷－.
解：原式＝·－
＝－
＝
＝.
分式的混合运算要注意运算顺序，分子相加减时注意括号．
【变式训练】
1．化简·(a－)的结果是(A)
A.a＋b B．
C．a－b D．
考点2?　分式的化简求值
【典例2】如图，若a＝6b，b＞0，则·(a－)的值在( D )
A．第①段 B．第②段
C．第③段 D．第④段
解析：·(a－)＝·＝·＝.
当a＝6b时，原式＝＝＝.
∵＝，＝，＝，＝，
∴<<1.
∴·(a－)的值在第④段．
分式的化简求值要注意先化简，再求值，必要时要用整体代入，选值代入的时候要注意代入的数值必须使得原分式有意义．
【变式训练】
2．(安徽六安金安区期末)先化简，再求值：÷(x－)，其中－＜x＜，且x是整数．
÷(x－)
＝÷
＝·
＝.
∵－＜x＜，且x是整数，∴x＝1或－1或±2(舍去)，
当x＝1时，原式＝＝；
当x＝－1时，原式＝＝1.
知识点1?　分式的混合运算
1．(海南模拟)计算：÷(1－)的结果为(C)
A．x B．－
C． D．－
2．下列运算正确的是(C)
A．＋＝ B．－＝0
C．1÷×＝ D．＝x＋y
3．对于代数式m、n，定义运算“?”：m?n＝，例如：4?2＝，若(x－1)?(x＋2)＝＋，则A＋3B＝8．
4．(海南海口期末)计算：
(1)(－)·(a2－4)；
(2)(＋)÷.
(1)原式＝·(a＋2)(a－2)＝3a＋6－a＋2＝2a＋8.
(2)原式＝·＝·＝·＝.
知识点2?　分式的化简求值
5．当x＝6，y＝3时，代数式(＋)·的值是(C)
A．2 B．3 C．6 D．9
原式＝·＝，当x＝6，y＝3时，原式＝＝6.
6．已知A＝÷，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是(C)
甲：A的计算结果为；
乙：当x＝－3时，A＝2；
丙：当0＜x＜3时，A的值为正数．
A．乙错，丙对 B．甲和乙都对
C．甲对，丙错 D．甲错，丙对
7．若a，b互为倒数，则代数式÷(＋)的值为1．
8．(海南临高县期末)先化简，再求值：
(－)÷，其中x＝－.
原式＝(＋)·＝·＝x－1.当x＝－时，原式＝－－1＝－.
易错易混点　对分式的二次整理不熟练致错
9．用替换分式中的n后，经过化简，结果是(A)
A． B．2m C． D．
由题意，把n＝代入，得(－1)÷(＋1)＝()÷()＝×＝.
10．(海南海口秀英区月考)已知a＋＝5，则a2＋的值为(C)
A．－5 B．27 C．23 D．25
11. 若a2＋5ab－b2＝0，则－的值为5．
12. 若a1＝1－，a2＝1－，a3＝1－，…，则a2 020的值为1－(用含m的代数式表示).
a1＝，a2＝1－＝，a3＝1－(1－m)＝m，a4＝，a5＝，a6＝m，…，每三个一循环，2 020÷3＝673……1，故a2 020＝a1＝1－.
13．已知a＝b＋2 020，求代数式·÷的值．
原式＝··(a－b)(a＋b)＝2(a－b).
∵a＝b＋2 020，
∴a－b＝2 020，
∴原式＝2×2 020＝4 040.
14．(海南海口期中)先化简：(x－)÷，若－2≤x≤2，请你选择一个恰当的x值(x是整数)代入求值．
原式＝·＝·＝.在－2≤x≤2中，整数有－2，－1，0，1，2.由题意，得x≠0，－2，取x＝1时，原式＝＝－(答案不唯一).
15．先化简－÷，然后从－3，－1，0，2中选择一个你喜欢的x值代入求值．
原式＝－·
＝－
＝
＝－.
当x＝±2，±3时，分式无意义，
∴当x＝－1时，原式＝1.5.(或当x＝0时，
原式＝1).
【母题P13T4】林林家与学校的距离为a km，林林骑自行车从家到学校需要b min，某天，林林从家骑自行车出发c min后，爸爸才从家骑自行车出发，结果爸爸与林林同时到达学校，爸爸每分钟比林林多骑多少千米？
由题意，得林林的骑车速度为，爸爸所用时间为b－c，则爸爸的骑车速度为，
∴－＝.
答：爸爸每分钟比林林多骑千米．
【变式】某人沿一条河流顺流游泳L m，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为x m/h，水流速度为n m/h.求他来回一趟所需的时间t.
由题意，知此人顺流时速度为(x＋n) m/h，逆流时速度为(x－n) m/h，
∴t＝＋＝.
答：他来回一趟所需的时间为.
16.(创新意识)(河南南阳邓州期中)阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若＝，求代数式x＋的值．
解： ∵＝，∴＝4，∴＋＝4，即x＋＝4.
任务：已知＝.
(1)求x＋的值；
(2)求的值．
(1)∵＝，
∴＝2，
∴x－3＋＝2，
∴x＋＝5.
(2)∵＝x2＋2＋＝(x＋)2＝25，
∴＝.

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