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16．1　变量与函数
1．在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做 ，取值始终保持不变的量叫做 .
2．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有 与之对应，我们就说x是 ，y是 ，此时也称y是x的 ．
3．对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．
4．函数的表示方法有 、 、 ．
5．根据函数关系式的形式可以确定函数自变量的 ，在实际问题中，自变量的取值还会受到实际意义的限制．
考点1?　常量与变量
【典例1】甲以每小时20 km的速度行驶时，他所走的路程s(km)与时间t(h)之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是( C )
A.数20和s，t都是变量
B．s是常量，数20和t是变量
C．数20是常量，s和t是变量
D．t是常量，数20和s是变量
此题主要考查了常量与变量，掌握常量和变量的定义是解决此类问题的关键．
【变式训练】
1．如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是( )
A．金额 B．油量
C．单价 D．金额和油量
考点2?　函数的概念及关系式
【典例2】汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离．根据有关资料显示，在湿滑路面行驶时，某车的刹车距离s(m)与车速v(km/h)之间的关系为s＝v.
(1)写出上述关系中的自变量和因变量；
(2)当v＝30 km/h时，求相应的刹车距离s的值；
(3)若该车在限速40 km/h的公路上行驶时，当刹车距离为12 m时，通过计算说明该车是否超速．
判断某个问题中的两个变量是否为函数关系，必须具备两个基本条件：一、能用学过的数学知识来描述两个变量之间的关系；二、深刻理解函数的定义的三个要素：1.有两个变量；2.一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；3.自变量每确定一个值，函数都有唯一的值和它对应．
【变式训练】
2．为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格：
汽车行驶 时间t(小时) 0 1 2 3 …
油箱剩余 油量Q(升) 100 94 88 82 …
(1)如表反映的两个变量中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)根据表格可知，汽车行驶3小时后，该车油箱的剩余油量为 升，汽车每小时耗油 升；
(3)请直接写出两个变量之间的关系式(用t来表示Q).
考点3?　自变量的取值范围
【典例3】求下列函数自变量的取值范围：
(1)y＝2 025x－1；(2)y＝；
(3)y＝；(4).
函数自变量取值从表达式看有四种形式：①整式；②分式；③算术平方根；④分式与算术平方根的综合．其中①自变量取值为一切实数；②满足分母不等于0；③满足被开方数大于等于0；④既满足被开方数为非负数，又满足分母不为0.另外还要考虑与实际问题相符．
【变式训练】
3．求下列函数中自变量的取值范围．
(1)y＝2x－1；(2)y＝＋；
(3)y＝.
考点4?　函数值
【典例4】已知函数y＝2x－3.求当x＝－，x＝4时函数y的值．
本题考查了求函数值．注意：(1)当已知函数关系式时，求函数值就是求代数式的值；(2)一个自变量的值对应唯一的一个函数值；而一个函数值，可以对应多个自变量的值．
【变式训练】
4．(河北张家口宣化区期末)根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入的x的值为4时，输出的y的值为5.当输入x的值为3时，输出的y的值为( )
A．－6 B．6 C．－3 D．3
知识点1?　常量与变量
1．(河南周口扶沟期末)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是( )
A.2是变量 B．π是变量
C．r是变量 D．C是常量
2．(海南儋州期中)购买单价为3元的笔记本，总金额y(元)与笔记本数x(本)的关系为y＝3x，其中 是常量， 是变量．
3．分析并指出下列关系中的变量与常量：
(1)球的表面积S(cm2)与球的半径R (cm)的关系式是S＝4πR2；
(2)以固定的速度v0(米/秒)向上抛一个小球，小球的高度h(米)与小球运动的时间t(秒)之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式是h＝gt2(其中g取9.8 m/s2)；
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w(千克)与所付款x(元)之间的关系式是x＝1.8w.
知识点2?　函数的概念
4．下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝±x
C．|y|＝x＋1 D．y2＝x
知识点3?　函数关系式
5．(河南焦作月考)2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动．某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租赁后的前三天按每天0.6元收费，三天后按每天0.8元收费(不足一天按一天计算)，则租金y(元)和租赁天数x(x≥3)之间的关系式为( )
A．y＝0.6x B．y＝0.8x
C．y＝0.8x－0.6 D．y＝0.8x－4
6．长方形的周长为60 cm，其中一条边为x cm(其中x＞0)，面积为y cm2，则在这个长方形中，y与x的关系可以写为( )
A．y＝60x－2x2 B．y＝30x－x2
C．y＝0.5x2－60 D．y＝0.5x2－30
7．(河南洛阳偃师期末)使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是( )
A．x≠1且x≠0 B．x≠1
C．x＞1 D．x＜1
8．中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长度为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为 ．
易错易混点　抽象模型不熟练导致错误
9．如图，用一根长8 cm的铁丝围成一个长方形，小北发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数；②S是a的函数；③a是S的函数．其中所有正确的结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y＝kx，则这种国债的年利率为( )
A．k B． C．k－1 D．
11．元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：
纸环数x(个) 1 2 3 4 …
彩纸链长度y(cm) 19 36 53 70 …
(1)猜想x、y之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)教室天花板对角线长10 m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则至少需要用多少个纸环？
【母题P35T1】写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围：
(1)三角形的一边长为5 cm，它的面积S(cm2)是这边上的高h(cm)的函数；
(2)设直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β是α的函数；
(3)某种报纸的单价为1.50元，购买这种报纸x份的总价y(元)是x的函数．
【变式】分别写出下列函数的关系式，并确定其中自变量的取值范围．
(1)在时速为60 km的匀速运动中，运动路程s(km)是时间t(h)的函数；
(2)某校要在校园中辟出一块面积为64 m2的长方形土地做花圃，这个花圃的长y(m)是宽x(m)的函数．
(模型观念)(海南期末)如图，已知线段AB的长为4 cm，点C是线段AB上一动点(点C不与A、B重合)，分别以AC、BC为边，在AB同侧作正方形．设线段AC的长为变量x(cm)，两正方形的面积和为变量S(cm2)，其中0＜x＜4.
(1)两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为 ；
(2)根据(1)中的关系式完成下表，并分析S随x变化的规律(写出一个结论即可).变化规律为： ．
AC的长 x(cm) … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
两正方形面 积和S(cm2) … 12.5 10 8 8.5 12.5 …16．1　变量与函数
1．在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量.
2．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
3．对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．
4．函数的表示方法有图象法、列表法、解析法．
5．根据函数关系式的形式可以确定函数自变量的取值范围，在实际问题中，自变量的取值还会受到实际意义的限制．
考点1?　常量与变量
【典例1】甲以每小时20 km的速度行驶时，他所走的路程s(km)与时间t(h)之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是( C )
A.数20和s，t都是变量
B．s是常量，数20和t是变量
C．数20是常量，s和t是变量
D．t是常量，数20和s是变量
解析：在s＝20t中，数20是常量，s和t是变量．
此题主要考查了常量与变量，掌握常量和变量的定义是解决此类问题的关键．
【变式训练】
1．如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是(D)
A．金额 B．油量
C．单价 D．金额和油量
考点2?　函数的概念及关系式
【典例2】汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离．根据有关资料显示，在湿滑路面行驶时，某车的刹车距离s(m)与车速v(km/h)之间的关系为s＝v.
(1)写出上述关系中的自变量和因变量；
(2)当v＝30 km/h时，求相应的刹车距离s的值；
(3)若该车在限速40 km/h的公路上行驶时，当刹车距离为12 m时，通过计算说明该车是否超速．
解：(1)v是自变量，s是因变量．
(2)当v＝30 km/h时，s＝×30＝7.5 m.
(3)由题意，知
当s＝12 m时，12＝v，解得v＝48 km/h.
∵48＞40，∴该车超速了．
判断某个问题中的两个变量是否为函数关系，必须具备两个基本条件：一、能用学过的数学知识来描述两个变量之间的关系；二、深刻理解函数的定义的三个要素：1.有两个变量；2.一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；3.自变量每确定一个值，函数都有唯一的值和它对应．
【变式训练】
2．为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格：
汽车行驶 时间t(小时) 0 1 2 3 …
油箱剩余 油量Q(升) 100 94 88 82 …
(1)如表反映的两个变量中，自变量是汽车行驶时间t，因变量是汽车油箱的剩余油量Q；
(2)根据表格可知，汽车行驶3小时后，该车油箱的剩余油量为82升，汽车每小时耗油6升；
(3)请直接写出两个变量之间的关系式(用t来表示Q).
( 1 )汽车行驶时间t　汽车油箱的剩余油量Q
(2)82　6
(3)由表格，可知汽车一开始的油量为100升，每小时汽车耗油6升，则汽车油箱剩余油量和汽车行驶时间的关系为Q＝100－6t.
考点3?　自变量的取值范围
【典例3】求下列函数自变量的取值范围：
(1)y＝2 025x－1；(2)y＝；
(3)y＝；(4).
解：(1)x为一切实数；(2)由分式有意义的条件，得3x－1≠0，得x≠；(3)由二次根式有意义的条件，得1－3x≥0，∴分式和二次根式有意义的条件，得x≤；(4)由得x≥3且x≠4.
函数自变量取值从表达式看有四种形式：①整式；②分式；③算术平方根；④分式与算术平方根的综合．其中①自变量取值为一切实数；②满足分母不等于0；③满足被开方数大于等于0；④既满足被开方数为非负数，又满足分母不为0.另外还要考虑与实际问题相符．
【变式训练】
3．求下列函数中自变量的取值范围．
(1)y＝2x－1；(2)y＝＋；
(3)y＝.
(1)y＝2x－1中，自变量的取值范围是全体实数；
(2)由题意，得x－3≥0，5－x≥0，解得3≤x≤5；
(3)由题意，得4－2x＞0，解得x＜2.
考点4?　函数值
【典例4】已知函数y＝2x－3.求当x＝－，x＝4时函数y的值．
解：当x＝－时，y＝2×(－)－3＝－4.当x＝4时，y＝2×4－3＝5.
本题考查了求函数值．注意：(1)当已知函数关系式时，求函数值就是求代数式的值；(2)一个自变量的值对应唯一的一个函数值；而一个函数值，可以对应多个自变量的值．
【变式训练】
4．(河北张家口宣化区期末)根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入的x的值为4时，输出的y的值为5.当输入x的值为3时，输出的y的值为(A)
A．－6 B．6 C．－3 D．3
知识点1?　常量与变量
1．(河南周口扶沟期末)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是(C)
A.2是变量 B．π是变量
C．r是变量 D．C是常量
2．(海南儋州期中)购买单价为3元的笔记本，总金额y(元)与笔记本数x(本)的关系为y＝3x，其中3是常量，x，y是变量．
3．分析并指出下列关系中的变量与常量：
(1)球的表面积S(cm2)与球的半径R (cm)的关系式是S＝4πR2；
(2)以固定的速度v0(米/秒)向上抛一个小球，小球的高度h(米)与小球运动的时间t(秒)之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式是h＝gt2(其中g取9.8 m/s2)；
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w(千克)与所付款x(元)之间的关系式是x＝1.8w.
(1)常量是4π，变量是S，R；(2)常量是v0，4.9，变量是h，t；(3)常量是，g，变量是h，t；(4)常量是1.8，变量是x，w.
知识点2?　函数的概念
4．下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是(A)
A．y＝x2 B．y＝±x
C．|y|＝x＋1 D．y2＝x
知识点3?　函数关系式
5．(河南焦作月考)2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动．某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租赁后的前三天按每天0.6元收费，三天后按每天0.8元收费(不足一天按一天计算)，则租金y(元)和租赁天数x(x≥3)之间的关系式为(C)
A．y＝0.6x B．y＝0.8x
C．y＝0.8x－0.6 D．y＝0.8x－4
6．长方形的周长为60 cm，其中一条边为x cm(其中x＞0)，面积为y cm2，则在这个长方形中，y与x的关系可以写为(B)
A．y＝60x－2x2 B．y＝30x－x2
C．y＝0.5x2－60 D．y＝0.5x2－30
7．(河南洛阳偃师期末)使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是(B)
A．x≠1且x≠0 B．x≠1
C．x＞1 D．x＜1
8．中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长度为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为y＝5x＋1．
易错易混点　抽象模型不熟练导致错误
9．如图，用一根长8 cm的铁丝围成一个长方形，小北发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数；②S是a的函数；③a是S的函数．其中所有正确的结论的序号是(A)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
由题意，得2(a＋b)＝8，∴b＋a＝4，∴b＝4－a，∴b是a的函数，故①正确；∵S＝ab，∴S＝a(8－a)＝－a2＋8a，∴S是a的函数，故②正确；∵－a2＋8a＝S，∴a2－8a＝－S，∴a2－8a＋16＝16－S，∴(a－4)2＝16－S，∴a－4＝±，∴a＝4±，∴a不是S的函数，故③不正确；所以，所有正确的结论的序号是①②.
10．购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y＝kx，则这种国债的年利率为(D)
A．k B． C．k－1 D．
11．元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：
纸环数x(个) 1 2 3 4 …
彩纸链长度y(cm) 19 36 53 70 …
(1)猜想x、y之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)教室天花板对角线长10 m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则至少需要用多少个纸环？
(1)彩纸链的长度y(cm)与纸环数x(个)满足的函数关系式为y＝17x＋2.
(2)10 m＝1 000 cm，根据题意，得17x＋2≥1 000.
解得x≥58，59×2＝118(个).
答：至少需要用118个纸环．
【母题P35T1】写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围：
(1)三角形的一边长为5 cm，它的面积S(cm2)是这边上的高h(cm)的函数；
(2)设直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β是α的函数；
(3)某种报纸的单价为1.50元，购买这种报纸x份的总价y(元)是x的函数．
(1)根据题意，得S＝×5h，即S＝h(h＞0)；
(2)根据题意，得β＝90°－α(0°＜α＜90°)；
(3)根据题意，得y＝1.5x(x≥0).
【变式】分别写出下列函数的关系式，并确定其中自变量的取值范围．
(1)在时速为60 km的匀速运动中，运动路程s(km)是时间t(h)的函数；
(2)某校要在校园中辟出一块面积为64 m2的长方形土地做花圃，这个花圃的长y(m)是宽x(m)的函数．
(1)根据题意，得s＝60t，t≥0；
(2)根据题意，得y＝，0＜x＜64.
(模型观念)(海南期末)如图，已知线段AB的长为4 cm，点C是线段AB上一动点(点C不与A、B重合)，分别以AC、BC为边，在AB同侧作正方形．设线段AC的长为变量x(cm)，两正方形的面积和为变量S(cm2)，其中0＜x＜4.
(1)两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为S＝2x2－8x＋16；
(2)根据(1)中的关系式完成下表，并分析S随x变化的规律(写出一个结论即可).变化规律为：当2＜x＜4时，S随x的增大而增大(答案不唯一)．
AC的长 x(cm) … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
两正方形面 积和S(cm2) … 12.5 10 8.5 8 8.5 10 12.5 …
(1)设线段AC的长为变量x(cm).
∵线段AB的长为4 cm，
∴BC＝(4－x)cm，
∴两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为S＝x2＋(4－x)2＝x2＋x2－8x＋16＝2x2－8x＋16；
(2)当x＝1.5时，S＝2×1.52－8×1.5＋16＝8.5，当x＝3时，S＝2×32－8×3＋16＝10，
完成表如下，
AC的长 x(cm) … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
两正方形面 积和S(cm2) … 12.5 10 8.5 8 8.5 10 12.5 …
∴S随x变化的变化规律为：当2＜x＜4时，S随x的增大而增大．(答案不唯一)

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