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16.2.1平面直角坐标系
1．在平面上画两条互相 且具有公共 的数轴，就建立了平面直角坐标系．平面直角坐标系中的点和有序实数对 ．
2．各象限内点的坐标的符号特征：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．
3．坐标轴上的点的坐标特点：点在x轴上，纵坐标为 ，横坐标为任意实数；点在y轴上，横坐标为 ，纵坐标为任意实数．
4．各象限角平分线上点的坐标特点：若P(x，y)在第一、三象限角平分线上，则 ；若P(x，y)在第二、四象限角平分线上，则 .
5．点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标是 ；关于y轴对称的点的坐标是 ；关于坐标原点对称的点的坐标是 ．
考点1?　平面直角坐标系
【典例1】某市有A、B、C、D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大道两侧，如图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标．
建立坐标系描述点的坐标的大招
1．合理选择原点：根据问题的特点选择合适的位置作为原点，以便简化坐标的计算．如果问题涉及物体的运动，可以选择起始位置为原点．
2．确定坐标轴方向：坐标轴的方向应与问题中的主要方向一致．注意坐标轴的正方向，确保坐标的正负符合实际情况．
3．标注单位长度：在坐标轴上标注清晰的单位长度，以便准确读取点的坐标．单位长度的选择要适中，既不能过大导致精度不够，也不能过小使图形过于拥挤．
【变式训练】
1．写出图中A、B、C、D、E、F、G、H点的坐标，并观察点A和点C，点B和点D有什么关系？
考点2?　点的坐标
【典例2】(1)已知点P(－2a，a－6).
①当a＝－2时，点P在第_ __象限；
②当点P在x轴上时，a＝_ _；
③当点P在第三象限时，a的取值范围是_ _；
④当点P在第一、三象限的角平分线上时，a＝_ _；
(2)已知第二象限内的点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，则点P的坐标是_ _．
熟练掌握平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的特征是解决问题的关键．解答(2)题首先要知道点到y轴的距离是横坐标的绝对值，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，再根据各象限内的符号特征进一步确定坐标的值．
【变式训练】
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3a－5，a＋1)
(1)若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标．
(2)若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等；求a的值及点A的坐标．
知识点1?　点的坐标的确定
1．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为( )
A．(3，－2)
B．(－2，3)
C．(－3，2)
D．(2，－3)
2．点M(－3，－2)到y轴的距离是( )
A.3 B．2 C．－3 D．－2
知识点2?　坐标平面的划分
3．(海南琼海期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，5)，则点P在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知点P(x＋3，x－4)在x轴上，则x的值为( )
A．4 B．－4 C．－3 D．3
6．如果点P(x，y)满足xy＝0，那么点P必定在( )
A．原点上 B．x轴上
C．y轴上 D．坐标轴上
7．(海南儋州月考)点E(a，b)到x轴的距离是5，到y轴的距离是4，且点E在第三象限，则E点坐标 为 .
8．已知点M(a，b)，且ab＞0，a＋b＜0，则点M在第 象限．
易错易混点　数形结合不熟练导致坐标描述错误
9．在平面直角坐标系内有一点P(x，y)，若点P位于第二象限，并且点P到x轴和y轴的距离分别为5，2，则点P的坐标是( )
A．(5，2) B．(2，5)
C．(2，－5) D．(－2，5)
10．(海南澄迈县期中)在平面直角坐标系中，点P(3m＋3，2m－2)在x轴上，则m的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．3
11．(河南洛阳期末)已知点A(1，2)，过点A向y轴作垂线，垂足为M，则点M的坐标为( )
A．(1，2) B．(2，0)
C．(0，1) D．(0，2)
12．(四川泸州合江县期中)如图，在平面内，两条直线l1、l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1、l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点的个数有( )
A．2 B．3 C．4 D．5
13．已知AB∥x轴，点A的坐标为(－3，2)，并且AB＝4，则点B的坐标为 ．
14．(陕西西安高陵区期中)在平面直角坐标系中对于点P(x，y)，我们把点P1(y－1，－x－1)叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为点A2；点A2的友好点为点A3，点A3的友好点为点A4，这样依次得到各点，若点A1的坐标为(3，2)，则点A5的友好点的坐标是 ．
15．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－2，3)，B(－4，－1)，C(2，0)，将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，若点A1的坐标为(3，1)，则点C1的坐标为 .
16．如图，这是某学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若艺术楼的坐标为(2，a)，实验楼的坐标为(b，－1).
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)请在图中画出平面直角坐标系，并写出教学楼与体育馆的坐标．
17.(空间观念)(海南儋州期中)已知：点P(2m＋4，m－1).试分别根据下列条件，求出P点的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P在x轴上；
(3)点P的横坐标比纵坐标大1.16.2.1平面直角坐标系
1．在平面上画两条互相垂直且具有公共原点的数轴，就建立了平面直角坐标系．平面直角坐标系中的点和有序实数对一一对应．
2．各象限内点的坐标的符号特征：第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；第三象限(－，－)；第四象限(＋，－)．
3．坐标轴上的点的坐标特点：点在x轴上，纵坐标为0，横坐标为任意实数；点在y轴上，横坐标为0，纵坐标为任意实数．
4．各象限角平分线上点的坐标特点：若P(x，y)在第一、三象限角平分线上，则x＝y；若P(x，y)在第二、四象限角平分线上，则x＝－y.
5．点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标是(a，－b)；关于y轴对称的点的坐标是(－a，b)；关于坐标原点对称的点的坐标是(－a，－b)．
考点1?　平面直角坐标系
【典例1】某市有A、B、C、D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大道两侧，如图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标．
解：(答案不唯一)若建立如图所示的平面直角坐标系，则A、B、C、D的坐标分别为A(10，9)、B(6，－1)、C(－2，8)、D(0，0).
建立坐标系描述点的坐标的大招
1．合理选择原点：根据问题的特点选择合适的位置作为原点，以便简化坐标的计算．如果问题涉及物体的运动，可以选择起始位置为原点．
2．确定坐标轴方向：坐标轴的方向应与问题中的主要方向一致．注意坐标轴的正方向，确保坐标的正负符合实际情况．
3．标注单位长度：在坐标轴上标注清晰的单位长度，以便准确读取点的坐标．单位长度的选择要适中，既不能过大导致精度不够，也不能过小使图形过于拥挤．
【变式训练】
1．写出图中A、B、C、D、E、F、G、H点的坐标，并观察点A和点C，点B和点D有什么关系？
A(－3，4)，B(－3，－2)，C(3，－4)，D(3，2)，E(3，0)，F(－4，0)，G(0，3)，H(0，0)，点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称．
考点2?　点的坐标
【典例2】(1)已知点P(－2a，a－6).
①当a＝－2时，点P在第_四__象限；
②当点P在x轴上时，a＝_6_；
③当点P在第三象限时，a的取值范围是_0④当点P在第一、三象限的角平分线上时，a＝_2_；
(2)已知第二象限内的点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，则点P的坐标是_(－3，2)_．
解析：①当a＝－2时，点P坐标为(4，－8)，则点P在第四象限；②当点P在x轴上时，纵坐标a－6＝0，则a＝6；③当点P在第三象限时，－2a＜0，a－6＜0，则0＜a＜6；④当点P在第一、三象限的角平分线上时，横纵坐标相等，即－2a＝a－6，则a＝2；
(2)由点P在第二象限确定P点坐标的符号，再根据其坐标到x轴，y轴的距离分别是2和3，得出点P的坐标为(－3，2).
熟练掌握平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的特征是解决问题的关键．解答(2)题首先要知道点到y轴的距离是横坐标的绝对值，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，再根据各象限内的符号特征进一步确定坐标的值．
【变式训练】
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3a－5，a＋1)
(1)若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标．
(2)若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等；求a的值及点A的坐标．
(1)∵点A在y轴上，∴3a－5＝0，解得a＝，
∴a＋1＝，∴点A的坐标为(0，)；
(2)∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴|3a－5|＝|a＋1|，
①当3a－5＝a＋1时，解得a＝3，则点A(4，4)；
②当3a－5＋(a＋1)＝0时，解得a＝1，则点A(－2，2)；
所以a＝3，则点A(4，4)或a＝1，则点A(－2，2).
知识点1?　点的坐标的确定
1．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(A)
A．(3，－2)
B．(－2，3)
C．(－3，2)
D．(2，－3)
2．点M(－3，－2)到y轴的距离是(A)
A.3 B．2 C．－3 D．－2
知识点2?　坐标平面的划分
3．(海南琼海期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，5)，则点P在(B)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是(D)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知点P(x＋3，x－4)在x轴上，则x的值为(A)
A．4 B．－4 C．－3 D．3
6．如果点P(x，y)满足xy＝0，那么点P必定在(D)
A．原点上 B．x轴上
C．y轴上 D．坐标轴上
7．(海南儋州月考)点E(a，b)到x轴的距离是5，到y轴的距离是4，且点E在第三象限，则E点坐标 为(－4，－5).
8．已知点M(a，b)，且ab＞0，a＋b＜0，则点M在第三象限．
易错易混点　数形结合不熟练导致坐标描述错误
9．在平面直角坐标系内有一点P(x，y)，若点P位于第二象限，并且点P到x轴和y轴的距离分别为5，2，则点P的坐标是(D)
A．(5，2) B．(2，5)
C．(2，－5) D．(－2，5)
∵点P在第二象限内，∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数．∵点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，
∴x＝－2，y＝5，∴点P的坐标为(－2，5)，故D正确．
10．(海南澄迈县期中)在平面直角坐标系中，点P(3m＋3，2m－2)在x轴上，则m的值为(C)
A．－2 B．－1 C．1 D．3
11．(河南洛阳期末)已知点A(1，2)，过点A向y轴作垂线，垂足为M，则点M的坐标为(D)
A．(1，2) B．(2，0)
C．(0，1) D．(0，2)
12．(四川泸州合江县期中)如图，在平面内，两条直线l1、l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1、l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点的个数有(C)
A．2 B．3 C．4 D．5
13．已知AB∥x轴，点A的坐标为(－3，2)，并且AB＝4，则点B的坐标为(1，2)或(－7，2)．
在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上点的纵坐标相同，所以点B的纵坐标为2；当点B在点A左侧时，点B的横坐标为－7，当点B在点A右侧时，点B的横坐标为1，所以点B的坐标为(1，2)或(－7，2).
14．(陕西西安高陵区期中)在平面直角坐标系中对于点P(x，y)，我们把点P1(y－1，－x－1)叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为点A2；点A2的友好点为点A3，点A3的友好点为点A4，这样依次得到各点，若点A1的坐标为(3，2)，则点A5的友好点的坐标是(1，－4)．
15．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－2，3)，B(－4，－1)，C(2，0)，将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，若点A1的坐标为(3，1)，则点C1的坐标为(7，－2).
由点A(－2，3)平移后点A1的坐标为(3，1)，可得点A横坐标加5，纵坐标减2，则点C的坐标变化与点A的变化相同，故C1(2＋5，0－2)，即(7，－2).
16．如图，这是某学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若艺术楼的坐标为(2，a)，实验楼的坐标为(b，－1).
(1)a＝1，b＝2；
(2)请在图中画出平面直角坐标系，并写出教学楼与体育馆的坐标．
(1)1　2
(2)坐标系如图：
教学楼的坐标为(0，－2)，体育馆的坐标为(－1，2).
17.(空间观念)(海南儋州期中)已知：点P(2m＋4，m－1).试分别根据下列条件，求出P点的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P在x轴上；
(3)点P的横坐标比纵坐标大1.
(1)∵点P在y轴上，∴2m＋4＝0，解得m＝－2，
∴m－1＝－3，则P点坐标为(0，－3)；
(2)∵点P在x轴上，∴m－1＝0，解得m＝1，
∴2m＋4＝6，则P点坐标为(6，0)；
(3)∵点P的横坐标比纵坐标大1，
∴m－1＝(2m＋4)－1，解得m＝－4，
∴2m＋4＝－4，m－1＝－5，则点P的坐标为(－4，－5).

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