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16.2.2函数的图象
1．画函数图象的三个步骤为列表、描点、连线．
2．一般来说，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的．图象上每一点的坐标(x，y)表示函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与该自变量对应的函数值．
考点1?　实际问题中的函数图象分析
【典例1】(海南海口期中)中国无人机研发技术后来居上，世界领先，如图所示为某型无人机的飞行高度h(米)与操控无人机的时间t(分钟)之间的函数关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题：
(1)图中的自变量是_时间(或t)__，因变量是_高度(或h)__；
(2)无人机在75米高的上空停留的时间是_5__分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为_25__米/分；
(4)图中a表示的数是_2_；b表示的数是_15__；
(5)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
解：(1)由题图，可知图中的自变量是时间(或t)，因变量是高度(或h)；
(2)由题图，可知无人机在75米高的上空停留的时间为12－7＝5(分钟)；
(3)∵无人机上升和下降过程中速度相同，
由图，可知6～7分钟，无人机从50米上升到75米，
∴在上升或下降过程中，无人机的速度为＝25(米/分钟)；
(4)∵无人机从0上升到50米所需时间为＝2(分钟)，
∴图中a表示的数是2.
∵无人机从75米下降到0所需时间为75÷25＝3(分钟)，
∴b表示的数是12＋3＝15；
(5)第14分钟时无人机的飞行高度为75－25×(14－12)＝25(米)，
∴第14分钟时无人机的飞行高度是25米．
此题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．根据函数图象分析得出函数表示的实际意义，再结合实际意义得到正确的结论即可．
【变式训练】
1．小红帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图所示．
(1)根据函数的定义，变量h是(选填“是”或“不是”)关于t的函数，变量h的取值范围是0.5≤h≤1.5；
(2)结合图象回答：
①当t＝0.7 s时，h的值是0.5_m，它的实际意义是摆动时间为0.7_s时，秋千离地面的高度是0.5_m.；
②秋千摆动第二个来回需多少时间？
(1)由函数的定义，结合题图，可知变量h是关于t的函数，变量h的取值范围是0.5≤h≤1.5.
(2)①0.5 m　摆动时间为0.7 s时，秋千离地面的高度是0.5 m.
②从最高点开始向前和向后，再返回到最高点，为一个来回，由图象，可知秋千摆动第二个来回需要的时长为5.4－2.8＝2.6 s．
考点2?　函数图象
【典例2】根据画函数图象的一般步骤，画函数y＝x＋1的图象，并根据图象回答：
(1)x为何值时，y的值为0；
(2)y为何值时，x的值为0；
(3)x为何值时，y>0；
(4)x为何值时，y随x的增大而增大．
解：列表如下：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝x＋1 … －1 0 1 2 3 …
描点、图象如图所示．
(1)如图，当x＝－1时，y＝0.
(2)如图，当y＝1时，x＝0.
(3)如图，当x＞－1时，y＞0.
(4)如图，当x是任意实数时，y随x的增大而增大．
本题考查了用描点法画函数图象的一般步骤，然后结合函数的图象，研究函数值与自变量取值的关系，既考查了函数图象的画法，又考查了读图能力．根据函数的图象进一步理解“函数关系”，从而体会“数形结合”的数学思想．
【变式训练】
2．用“描点法”画出函数y＝3x－2的图象．
列表如下：
x … 0 1 …
y＝3x－2 … －2 1 …
描点、连线、画函数图象如图所示．
知识点1?　函数图象的画法
1．某学习小组在探究某未知函数的图象时，得到了如下表格．根据表格中的数据，画出此函数的图象应为(A)
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y … 1 2 4 8 …
2．画出函数y＝的图象．下面是小东的画图过程，请补充完整：
(1)填表；
x … －1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … 3 2 1 0 －1 －1 －1 －1 …
(2)根据(1)中的结果，请建立平面直角坐标系，并在其中画出函数y＝的图象．
(1)填表；
x … －1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … 3 2 __1__ __0__ －1 －1 －1 －1 …
(2)如图，建立平面直角坐标系画出函数y＝的图象如下．
知识点2?　函数图象的应用
3．(海南陵水县期末)如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序．
a．运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)；
b．一辆汽车在平直的公路上匀速运动(汽车行驶路程与时间的关系)；
c．一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加(弹簧的长度与所挂重物的质量的关系)；
d．小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回(小明离A地的距离与时间的关系).
正确的顺序是(D)
A．abcd B．abdc
C．acbd D．acdb
4．(海南儋州期中)某游客要爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶．游客爬山所用时间t与山高h间的函数关系用图形表示是(D)
易错易混点　无法确定函数的变化区间导致作图失误
5．(1)画出函数y＝|x－1|的图象．
(2)设P(x，0)是x轴上的一个动点，它与x轴上表示－3的点的距离为y，求y关于x的函数表达式，并画出这个函数的图象．
(1)当x≥1时，函数表达式为y＝x－1；
当x＜1时，函数表达式为y＝－x＋1，
故该函数的图象如图1所示．
图1
(2)由题意，得y＝|x＋3|，并画出此函数图象如图2所示．
图2
6．(河南郑州高新区模拟)海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐，早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h(m)随时间t(h)变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中不正确的是(C)
图1
信息窗： ①吃水深度是指船舶的底部至船体与水面相连处的垂直距离； ②该港口规定船舶进出港口时船底与港口水底间的距离不能少于2 m.
图2
A.当3＜t＜9时，水深h随着t的增大而减小
B．当t＝9时，该港口水深最浅
C．港口水深h＝6 m时，t＝5
D．某货船吃水深度为3 m，则它不可以在上午7时进出港口
由图1，可知当3＜t＜9时，水深h随着t的增大而减小．故A正确，不符合题意．当t＝9时，纵坐标值最小，该港口水深最浅．故B正确，不符合题意．由图1可以看出，当h＝6时，t＝1或t＝5.故C不正确，符合题意．该货船吃水深度为3 m，而且由图2信息窗可知，船舶进出港口时船底与港口水底间的距离不能少于2 m，故该货船进出港口时要求水深最少为3＋2＝5(m).而当t＝7时，h＝4，4＜5，故此时它不可以进出港口．故D正确，不符合题意．
7．小明在物理课上学习了物态变化相关知识后，自己在家中进行了“探究冰熔化时温度变化规律”的实验，并绘制了如图所示的此物质变化时的温度—时间图象．已知，冰在熔化过程中，温度不变．根据图象，下列说法错误的是(B)
A．冰的整个熔化过程持续了10 min
B．第20 min时，冰仍在熔化，处于固液共存的状态
C．由图象可知，冰在第15 min时全部熔化成水
D．由图象可知，冰的熔点是0 ℃
8．某数学兴趣小组研究函数y＝|x－1|的图象．首先根据式子结构采用分类的数学方法：当x≥1时，y＝x－1；当x＜1时，y＝1－x.然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图1所示．类似的，研究函数y＝x|x－2|的图象时，他们已经画出了x≤2时的图象，请补全此函数的大致图象．
　　
补全此函数的图象如下．
9．如图，A，B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按路线从A地出发驶往B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程s和时间t的关系．
根据图象回答下列问题：
(1)甲和乙哪一个出发得更早？早出发多长时间？
(2)甲和乙哪一个早到达B地？早多长时间？
(3)乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度分别是多少？
(4)请你根据图象上的数据，求出乙出发后多长时间就追上甲．
(1)甲下午1时出发，乙下午2时出发，所以甲出发得更早，早出发1小时．
(2)甲5时到达，乙3时到达，所以乙更早到达B地，早到2小时．
(3)乙骑摩托车的速度为＝50(千米/时)，
甲骑自行车的平均速度为＝12.5(千米/时).
(4)设乙出发后x小时就追上甲，
根据题意，得50x＝20＋10x，解得x＝0.5.
答：乙出发后0.5小时就追上甲．
10．李大爷按每千克2.1元批发了一批黄瓜到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出黄瓜千克数x与他手中持有的钱数y元(含备用零钱)的关系如图所示．
结合图象回答下列问题：
(1)李大爷自带的零钱是多少？
(2)降价前他每千克黄瓜出售的价格是多少？
(3)卖了几天，黄瓜卖相不好了，随后他按每千克下降1.6元将剩余的黄瓜售完，这时他手中的钱(含备用的钱)是530元，问他一共批发了多少千克黄瓜？
(4)请问李大爷亏了还是赚了？若亏(赚)了，亏(赚)多少钱？
(1)由图，可得李大爷自带的零钱为50元．
(2)(410－50)÷100＝360÷100＝3.6(元).
答：降价前他每千克黄瓜出售的价格是3.6元．
(3)(530－410)÷(3.6－1.6)＝120÷2＝60(千克)，100＋60＝160(千克).
答：他一共批发了160千克黄瓜．
(4)530－160×2.1－50＝144(元).
答：李大爷赚了，一共赚了144元．
11.(模型观念)(海南海口龙华区期中)如图①，在长方形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点P的速度为每秒1 cm，a s时点P改变速度，变为每秒b cm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S(cm2)与x(s)的关系图象．
　　
(1)当点P在AB上运动时，△APD的面积会增大，点P在BC上运动时，△APD的面积会 不变，点P在CD上运动时，△APD的面积会 减小；(选填“增大”“减小”或“不变”)
(2)根据图②提供的信息，求出a、b及图②中c的值；
(3)设点P离开点A的路程为y(cm)，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x(s)的关系式；
(4)当点P出发后几秒时，△APD的面积S是长方形ABCD面积的？
(1)当点P在AB上运动时，△APD的面积会增大，因为三角形高不变，底边增大，点P在BC上运动时，△APD的面积不变，因为此时三角形等底同高，点P在CD上运动时，△APD面积会减小．因为高不变，底边缩小．
　　
(2)由图象，可知当x＝a时，P在AB上，∴S＝24＝×8AP，∴AP＝6，∴a＝6，也就是P在AB上移动到了6 cm，
∴所剩部分为4 cm，∵当x＝8时，S为40，且面积不再发生变化，∴P点到B点用了2秒，距离是4 cm，∴b＝2 cm/s，
∴c＝18÷2＋8＝17(s)；
(3)由(2)，得y＝6＋2(x－6)＝2x－6；
(4)分两种情况：①当点P在AB边上时，根据题意判断此时P的速度为1 cm/s，∴×8×x＝×10×8，∴x＝5；
②当点P在CD边上时，根据题意，得×8×[10＋10＋8－(2x－6)]＝×10×8，∴x＝，
答：当点P出发后5 s或 s时，△APD的面积S是长方形ABCD面积的.16.2.2函数的图象
1．画函数图象的三个步骤为 、 、 ．
2．一般来说，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的．图象上每一点的坐标(x，y)表示函数的 ，它的横坐标x表示 的某一个值，纵坐标y表示与该自变量对应的 ．
考点1?　实际问题中的函数图象分析
【典例1】(海南海口期中)中国无人机研发技术后来居上，世界领先，如图所示为某型无人机的飞行高度h(米)与操控无人机的时间t(分钟)之间的函数关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题：
(1)图中的自变量是_ __，因变量是_ __；
(2)无人机在75米高的上空停留的时间是_ __分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为_ __米/分；
(4)图中a表示的数是_ _；b表示的数是_ __；
(5)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
此题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．根据函数图象分析得出函数表示的实际意义，再结合实际意义得到正确的结论即可．
【变式训练】
1．小红帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图所示．
(1)根据函数的定义，变量h (选填“是”或“不是”)关于t的函数，变量h的取值范围是 ；
(2)结合图象回答：
①当t＝0.7 s时，h的值是 _ ，它的实际意义是 _ _ ；
②秋千摆动第二个来回需多少时间？
考点2?　函数图象
【典例2】根据画函数图象的一般步骤，画函数y＝x＋1的图象，并根据图象回答：
(1)x为何值时，y的值为0；
(2)y为何值时，x的值为0；
(3)x为何值时，y>0；
(4)x为何值时，y随x的增大而增大．
本题考查了用描点法画函数图象的一般步骤，然后结合函数的图象，研究函数值与自变量取值的关系，既考查了函数图象的画法，又考查了读图能力．根据函数的图象进一步理解“函数关系”，从而体会“数形结合”的数学思想．
【变式训练】
2．用“描点法”画出函数y＝3x－2的图象．
知识点1?　函数图象的画法
1．某学习小组在探究某未知函数的图象时，得到了如下表格．根据表格中的数据，画出此函数的图象应为( )
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y … 1 2 4 8 …
2．画出函数y＝的图象．下面是小东的画图过程，请补充完整：
(1)填表；
x … －1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … 3 2 －1 －1 …
(2)根据(1)中的结果，请建立平面直角坐标系，并在其中画出函数y＝的图象．
知识点2?　函数图象的应用
3．(海南陵水县期末)如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序．
a．运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)；
b．一辆汽车在平直的公路上匀速运动(汽车行驶路程与时间的关系)；
c．一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加(弹簧的长度与所挂重物的质量的关系)；
d．小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回(小明离A地的距离与时间的关系).
正确的顺序是( )
A．abcd B．abdc
C．acbd D．acdb
4．(海南儋州期中)某游客要爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶．游客爬山所用时间t与山高h间的函数关系用图形表示是( )
易错易混点　无法确定函数的变化区间导致作图失误
5．(1)画出函数y＝|x－1|的图象．
(2)设P(x，0)是x轴上的一个动点，它与x轴上表示－3的点的距离为y，求y关于x的函数表达式，并画出这个函数的图象．
6．(河南郑州高新区模拟)海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐，早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h(m)随时间t(h)变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中不正确的是( )
图1
信息窗： ①吃水深度是指船舶的底部至船体与水面相连处的垂直距离； ②该港口规定船舶进出港口时船底与港口水底间的距离不能少于2 m.
图2
A.当3＜t＜9时，水深h随着t的增大而减小
B．当t＝9时，该港口水深最浅
C．港口水深h＝6 m时，t＝5
D．某货船吃水深度为3 m，则它不可以在上午7时进出港口
7．小明在物理课上学习了物态变化相关知识后，自己在家中进行了“探究冰熔化时温度变化规律”的实验，并绘制了如图所示的此物质变化时的温度—时间图象．已知，冰在熔化过程中，温度不变．根据图象，下列说法错误的是( )
A．冰的整个熔化过程持续了10 min
B．第20 min时，冰仍在熔化，处于固液共存的状态
C．由图象可知，冰在第15 min时全部熔化成水
D．由图象可知，冰的熔点是0 ℃
8．某数学兴趣小组研究函数y＝|x－1|的图象．首先根据式子结构采用分类的数学方法：当x≥1时，y＝x－1；当x＜1时，y＝1－x.然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图1所示．类似的，研究函数y＝x|x－2|的图象时，他们已经画出了x≤2时的图象，请补全此函数的大致图象．
　　
9．如图，A，B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按路线从A地出发驶往B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程s和时间t的关系．
根据图象回答下列问题：
(1)甲和乙哪一个出发得更早？早出发多长时间？
(2)甲和乙哪一个早到达B地？早多长时间？
(3)乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度分别是多少？
(4)请你根据图象上的数据，求出乙出发后多长时间就追上甲．
10．李大爷按每千克2.1元批发了一批黄瓜到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出黄瓜千克数x与他手中持有的钱数y元(含备用零钱)的关系如图所示．
结合图象回答下列问题：
(1)李大爷自带的零钱是多少？
(2)降价前他每千克黄瓜出售的价格是多少？
(3)卖了几天，黄瓜卖相不好了，随后他按每千克下降1.6元将剩余的黄瓜售完，这时他手中的钱(含备用的钱)是530元，问他一共批发了多少千克黄瓜？
(4)请问李大爷亏了还是赚了？若亏(赚)了，亏(赚)多少钱？
11.(模型观念)(海南海口龙华区期中)如图①，在长方形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点P的速度为每秒1 cm，a s时点P改变速度，变为每秒b cm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S(cm2)与x(s)的关系图象．
　　
(1)当点P在AB上运动时，△APD的面积会 ，点P在BC上运动时，△APD的面积会 ，点P在CD上运动时，△APD的面积会 ；(选填“增大”“减小”或“不变”)
(2)根据图②提供的信息，求出a、b及图②中c的值；
(3)设点P离开点A的路程为y(cm)，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x(s)的关系式；
(4)当点P出发后几秒时，△APD的面积S是长方形ABCD面积的？

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