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16.3.1．一次函数
一般地，形如 (k、b为常数，k≠0)的形式，叫做一次函数；当b＝ 时，一次函数y＝kx(k≠0)也叫 ．
考点1?　一次函数的定义
【典例1】已知函数y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4.
(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？
(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
掌握一次函数和正比例函数的定义是解决本题的关键，但注意正比例函数是特殊的一次函数，而一次函数不一定是正比例函数．
【变式训练】
1．函数y＝是一次函数吗？如果是，请写出k、b的值；如果不是，试说明理由．
考点2?　从实际问题中抽象一次函数模型
【典例2】一辆汽车油箱内有油48 L，从某地出发，每行2 km，耗油1.2 L，如果设剩油量为y(L)，行驶路程为x(km).
(1)写出y与x的关系式；
(2)这辆汽车行驶35 km时，剩油多少升？汽车剩油12 L时，行驶了多少千米？
(3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？
列函数关系式的关键是找出等量关系，在函数值的运算中一定要注意取值范围的界定．
【变式训练】
2．把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
碗的数量(只) 1 2 3 4 5 …
高度(cm) 4 5.2 6.4 7.6 8.8 …
(1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)求当碗的数量为7时，这摞碗的高度．
知识点1?　一次函数
1．(河南商丘期末)下列关于x的函数是一次函数的是( )
A.y＝ B．y＝
C．y＝x2－1 D．y＝3x
2．(海南琼海月考)下列函数关系式：①y＝－x；②y＝2x＋11；③y＝x2＋x＋1；④y＝.其中一次函数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知函数y＝(a＋1)x＋a2－1，当a 时，它是一次函数．
知识点2?　正比例函数
4．下列关系中的两个量成正比例的是( )
A．从甲地到乙地，所用的时间和速度
B．正方形的面积与边长
C．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量
D．人的体重与身高
5．(海南儋州期中)下列函数，是正比例函数的是( )
A．y＝ B．y＝x2
C．y＝2x D．y＝2x－1
6．(河南周口模拟)已知正比例函数为y＝mx|m+1|，则m的值为 .
7．写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1)每盒铅笔12支，售价2.4元，铅笔售价y(元)与铅笔支数x(支)之间的关系；
(2)汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，汽车距天津的路程y(千米)与行驶时间x(小时)的关系；
(3)一个长方形的面积是16 cm2，它的一边长y(cm)与邻边长x(cm)的关系．
8．已知y＋a与x－b成正比例关系(其中a、b都是常数).
(1)试说明y是x的一次函数；
(2)如果x＝－1时，y＝－15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的表达式．
9．(海南东方月考)若函数y＝(3－m)xm2－8是正比例函数，则常数m的值是( )
A．－ B．± C．±3 D．－3
10．已知函数y＝xa2－8＋3是一次函数，则a的值是( )
A．±3 B．3 C．－3 D．1
11．一次函数y＝kx＋3的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则k的值为( )
A．2 B．－2 C．－1 D．4
12．(河南商丘虞城期末)定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数，若特征数为[t，t＋3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 ．
13．一盘蚊香长105 cm，点燃时每小时缩短10 cm.
(1)请写出点燃后蚊香的长y(cm)与蚊香燃烧时间t(h)之间的函数关系式；
(2)该蚊香可燃烧多长时间？
14．(宁夏石嘴山大武口区期末)已知函数y＝(m－2)x3-|m|＋m＋7.
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3
15.(应用意识)某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费y元．
(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数关系式；
(2)若该城市某户4月份水费平均为每吨2.8元，求该户4月份用水多少吨．16.3.1．一次函数
一般地，形如y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的形式，叫做一次函数；当b＝0时，一次函数y＝kx(k≠0)也叫正比例函数．
考点1?　一次函数的定义
【典例1】已知函数y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4.
(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？
(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
解：(1)根据一次函数的定义，得2－|m|＝1，且m＋1≠0，解得m＝±1.
∴当m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，得
2－|m|＝1，n＋4＝0，
解得m＝1，n＝－4.
∴当m＝1，n＝－4时，这个函数是正比例函数．
掌握一次函数和正比例函数的定义是解决本题的关键，但注意正比例函数是特殊的一次函数，而一次函数不一定是正比例函数．
【变式训练】
1．函数y＝是一次函数吗？如果是，请写出k、b的值；如果不是，试说明理由．
函数y＝是一次函数．
理由：∵y＝＝x－1，
∴属于一次函数，其中k＝，b＝－1.
考点2?　从实际问题中抽象一次函数模型
【典例2】一辆汽车油箱内有油48 L，从某地出发，每行2 km，耗油1.2 L，如果设剩油量为y(L)，行驶路程为x(km).
(1)写出y与x的关系式；
(2)这辆汽车行驶35 km时，剩油多少升？汽车剩油12 L时，行驶了多少千米？
(3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？
解：(1)y＝－0.6x＋48.
(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，
∴这辆汽车行驶35 km时，剩油27 L.
当y＝12时，48－0.6x＝12，
解得x＝60.
∴汽车剩油12 L时，这辆汽车行驶了60 km.
(3)令y＝0，则0＝－0.6x＋48，
解得x＝80.故这辆汽车在中途不加油的情况下最远能行驶80 km.
列函数关系式的关键是找出等量关系，在函数值的运算中一定要注意取值范围的界定．
【变式训练】
2．把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
碗的数量(只) 1 2 3 4 5 …
高度(cm) 4 5.2 6.4 7.6 8.8 …
(1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)求当碗的数量为7时，这摞碗的高度．
(1)上述两个变量之间的关系中，碗的数量是自变量，高度是因变量．
(2)设这摞碗的数量为x，这摞碗的高度为y.
由表格，可知增加1只碗，高度增加1.2 cm，
∴y＝4＋1.2(x－1)＝2.8＋1.2x，
∴当x＝7时，y＝2.8＋1.2×7＝11.2(cm)，
∴当碗的数量为7时，这摞碗的高度是11.2 cm.
知识点1?　一次函数
1．(河南商丘期末)下列关于x的函数是一次函数的是(D)
A.y＝ B．y＝
C．y＝x2－1 D．y＝3x
2．(海南琼海月考)下列函数关系式：①y＝－x；②y＝2x＋11；③y＝x2＋x＋1；④y＝.其中一次函数的个数是(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知函数y＝(a＋1)x＋a2－1，当a≠－1时，它是一次函数．
知识点2?　正比例函数
4．下列关系中的两个量成正比例的是(C)
A．从甲地到乙地，所用的时间和速度
B．正方形的面积与边长
C．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量
D．人的体重与身高
5．(海南儋州期中)下列函数，是正比例函数的是(C)
A．y＝ B．y＝x2
C．y＝2x D．y＝2x－1
6．(河南周口模拟)已知正比例函数为y＝mx|m+1|，则m的值为－2.
7．写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1)每盒铅笔12支，售价2.4元，铅笔售价y(元)与铅笔支数x(支)之间的关系；
(2)汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，汽车距天津的路程y(千米)与行驶时间x(小时)的关系；
(3)一个长方形的面积是16 cm2，它的一边长y(cm)与邻边长x(cm)的关系．
(1)y＝0.2x，y是x的正比例函数；
(2)y＝120－40x，y是x的一次函数；
(3)y＝，y既不是x的一次函数，也不是x的正比例函数．
易错易混点　模型概念不熟练导致错误
8．已知y＋a与x－b成正比例关系(其中a、b都是常数).
(1)试说明y是x的一次函数；
(2)如果x＝－1时，y＝－15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的表达式．
(1)∵y＋a与x－b成正比例关系，
∴设比例系数为k，则y＋a＝k(x－b)，
整理，得y＝kx－kb－a，∴y是x的一次函数；
(2)把x＝－1时，y＝－15；x＝7时，y＝1分别代入y＝kx－kb－a，得
解得
则该一次函数的表达式为y＝2x－13.
9．(海南东方月考)若函数y＝(3－m)xm2－8是正比例函数，则常数m的值是(D)
A．－ B．± C．±3 D．－3
10．已知函数y＝xa2－8＋3是一次函数，则a的值是(B)
A．±3 B．3 C．－3 D．1
11．一次函数y＝kx＋3的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则k的值为(C)
A．2 B．－2 C．－1 D．4
当x＝a时，y＝ka＋3，当x＝a＋2时，y＝k(a＋2)＋3，∵ka＋3－[k(a＋2)＋3]＝2，∴ka＋3－(ka＋2k＋3)＝2，∴－2k＝2，∴k＝－1.
12．(河南商丘虞城期末)定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数，若特征数为[t，t＋3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为y＝－3x．
根据题意，特征数为[t，t＋3]的一次函数表达式为y＝tx＋(t＋3).因为此一次函数为正比例函数，所以t＋3＝0，解得t＝－3.故正比例函数为y＝－3x.
13．一盘蚊香长105 cm，点燃时每小时缩短10 cm.
(1)请写出点燃后蚊香的长y(cm)与蚊香燃烧时间t(h)之间的函数关系式；
(2)该蚊香可燃烧多长时间？
(1)∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴y＝105－10t.
(2)∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y＝0，
∴105－10t＝0，解得t＝10.5，
∴该蚊香可燃烧10.5 h．
14．(宁夏石嘴山大武口区期末)已知函数y＝(m－2)x3-|m|＋m＋7.
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3
(1)由y＝(m－2)x3-|m|＋m＋7是一次函数，得
解得m＝－2.
故当m＝－2时，y＝(m－2)x3-|m|＋m＋7是一次函数；
(2)当y＝3时，3＝－4x＋5，
解得x＝，故当x＝时，y的值为3.
15.(应用意识)某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费y元．
(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数关系式；
(2)若该城市某户4月份水费平均为每吨2.8元，求该户4月份用水多少吨．
(1)当x≤20时，y＝2.5x；当x＞20时，y＝3.3(x－20)＋50＝3.3x－16.
(2)∵该户4月份水费平均为每吨2.8元，
∴该户4月份用水超过20吨．设该户4月份用水a吨，得2.8a＝3.3a－16，解得a＝32.
答：该户4月份用水32吨．

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