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16.3.2一次函数的图象
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，通常也称为直线y＝kx＋b.特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过原点O(0，0)的一条直线．
2．一次函数图像与k、b的关系．
函数 字母取值 图象 所在象限
y＝kx＋b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三
k>0，b<0 一、三、四
y＝kx＋b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四
k<0，b<0 二、三、四
3.直线y＝kx＋b可以通过将直线y＝kx向上(b>0)或向下(b<0)平移得到；如果两直线平行，那么它们的一次项系数相等，反之也成立．
考点1?　一次函数的图象
【典例1】分别在如图1、图2的同一平面直角坐标系内画出下列各组直线，并指出两条直线的位置关系．
(1)y＝－2x－1，y＝－2x＋1；(2)y＝x－3，y＝－x－3.
　　
解：(1)直线y＝－2x－1与直线y＝－2x＋1如图1，直线y＝－2x－1与直线y＝－2x＋1平行．
(2)直线y＝x－3与直线y＝－x－3如图2，直线y＝x－3与直线y＝－x－3垂直．
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
【变式训练】
1．先填表，再根据表中的数据在坐标系中画出一次函数的图象．
(1)列表：
x 0 3
y＝2x－6 －6 0
(2)在坐标系中画出一次函数y＝2x－6的图象．
(1)－6　3
(2)函数图象如图所示：
考点2?　一次函数的图象与坐标轴的交点
【典例2】如图，直线y＝－x＋4与坐标轴分别交于点M、N.求M、N两点的坐标．
解：令y＝0，则－x＋4＝0，解得x＝.
令x＝0，则y＝4.
∴M、N两点的坐标分别是M(，0)、N(0，4).
本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法，根据坐标轴上的点的坐标的特征，只需令y＝0，求出x，即得一次函数的图象与x轴的交点坐标；只需令x＝0，求出y，即得一次函数的图象与y轴的交点坐标．
【变式训练】
2．画出函数y＝x－2的图象并求函数图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标以及三角形AOB的面积.
画出y＝x－2的图象如图所示：
在y＝x－2时，令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则x＝2；故A(2，0)，B(0，－2).
由图象，可知△AOB为直角三角形，其中OA＝OB＝2，
∴S△AOB＝OA·OB＝×2×2＝2.
知识点　一次函数的图象
1．(河南周口扶沟期末)在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋1的图象是(C)
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－k的图象大致是(B)
3．(海南澄迈县期末)一次函数y＝kx＋b(k≠0，k、b为常数)的图象如图所示，则k、b的取值范围是(C)
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0
C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＜0
4．若点A(m，n)在一次函数y＝3x＋b的图象上，且3m－n＞2，则b的取值范围为(D)
A.b＞2 B．b＞－2
C．b＜2 D．b＜－2
5．(海南临高县期末)将一次函数y＝2x＋2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为(B)
A．y＝2x＋5 B．y＝2x－1
C．y＝2x＋8 D．y＝2x－4
6．若正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，则k的值可以是－2.(任写一个即可)
7．(河南濮阳模拟)一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则b＝6.
8．(湖南怀化鹤城区期末)直线PA是一次函数y＝x＋1的图象，直线PB是一次函数y＝－2x＋4的图象．
(1)求A、B、P三点的坐标；
(2)求四边形PQOB的面积．
(1)在函数y＝x＋1中，当y＝0时，则有x＋1＝0，
解得x＝－1，∴点A的坐标为(－1，0)；
在函数y＝－2x＋4中，当y＝0时，则有－2x＋4＝0，
解得x＝2，∴点B的坐标为(2，0)；
联立，得解得
∴点P的坐标为(1，2)；
(2)在y＝x＋1中，当x＝0时，则有y＝1，
∴点Q的坐标为(0，1)，
则S四边形PQOB＝S△ABP－S△AOQ＝×(2＋1)×2－×1×1＝.
易错易混点　无法确定线与线的交点坐标导致面积求解错误
9．按要求完成下列问题．
(1)根据所学知识，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝|3x－1|与y＝x＋1的图象．
(2)求(1)中两函数图象所围成的图形的面积．
(1)在同一平面直角坐标系内作出函数y＝|3x－1|与y＝x＋1的图象如图1：
图1
(2)设两函数图象所围成的图形为△ABC，如图2所示：
图2
在y＝|3x－1|中，令y＝0，得x＝，∴C(，0).
当3x－1>0时，令3x－1＝x＋1，解得x＝0.8，此时x＋1＝1.4，
∴x＝0.8，此时x＋1＝1.4，∴B(0.8，1.4)；
当3x－1<0时，令－3x＋1＝x＋1，解得x＝0，此时x＋1＝1，∴A(0，1).
综上，可知OA＝1，OD＝0.8，OC＝，CD＝，BD＝1.4，
∴△ABC的面积为：×(1.4＋1)×0.8－×1×－××1.4＝0.47.
10．(江西上饶玉山县期末)在平面直角坐标系中，将直线y＝－x＋3沿y轴向下平移6个单位长度后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是(A)
A．(－2，0) B．(6，0)
C．(4，0) D．(0，－3)
11．(海南乐东县月考)两个y关于x的一次函数y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B)
函数 y＝ax＋b y＝bx＋a
a>0，b>0 一，二，三象限 一、二，三象限
a>0，b<0 一、三、四象限 一、二、四象限
a<0，b>0 一、二、四象限 一、三、四象限
a<0，b<0 二、三、四象限 二、三、四象限
由表，可得两个一次函数y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是B中的图象，故选B.
12．已知点P(1，2)关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y＝kx＋3上，把直线y＝kx＋3的图象向上平移2个单位长度，所得的直线表达式为y＝－5x＋5．
∵点P(1，2)关于x轴的对称点为P′，∴P′(1，－2)，∵P′在直线y＝kx＋3上，∴－2＝k＋3，解得k＝－5，则y＝－5x＋3，∴把直线y＝kx＋3的图象向上平移2个单位长度，所得的直线表达式为y＝－5x＋5.
13．已知一次函数y＝x＋5的图象经过点P(a，b)和Q(m，n)，则a(m－n)＋b(n－m)的值为25．
∵一次函数y＝x＋5的图象经过点P(a，b)和Q(m，n)，∴b＝a＋5，n＝m＋5，∴b－a＝5，n－m＝5，原式＝a×(－5)＋5b＝5(b－a)＝5×5＝25.
14．已知一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的图象如图所示，请你在平面直角坐标系中分别作一次函数的图象，并写出必要的标注与文字说明．
(1)y＝kx；
(2)y＝－2kx＋2b；
(3)y＝kx－2b.
(1)∵y＝kx的图象与y＝kx＋b的图象平行，且过坐标原点，
∴函数y＝kx的图象如图1所示．
图1
(2)根据函数y＝kx＋b的图象在坐标系中的位置，可知k＜0，b＞0，
与y轴的交点坐标为(0，b)，与x轴的交点坐标为(－，0)，
∴－2k＞0，2b＞0，
∴函数y＝－2kx＋2b的图象经过第一、二、三象限，
与y轴的交点坐标为(0，2b)，与x轴的交点坐标为(，0)，
∴函数y＝－2kx＋2b的图象如图2所示．
图2
(3)根据函数y＝kx＋b的图象在坐标系中的位置，可知k＜0，b＞0，
与y轴的交点坐标为(0，b)，与x轴的交点坐标为(－，0)，
∴－2b＜0，
∴函数y＝kx－2b的图象经过第二、三、四象限，与直线y＝kx＋b平行，且与y轴交于点(0，－2b)，
∴函数y＝kx－2b的图象如图3所示．
图3
15．如图，直线y＝(m＋1)x＋2(m－1)(m为常数)与x轴交于点A，与y轴交于点B，△ABC是等边三角形.(其中A、B、C为逆时针标注的三个点)
(1)当x＝－2时，求y的值；
(2)△ABC中的AB边不可能在第几象限？并说明理由．
(1)当x＝－2时，y＝－2(m＋1)＋2(m－1)＝－2m－2＋2m－2＝－4，
∴当x＝－2时，y＝－4；
(2)AB不可能在第一象限，理由如下：
若AB在第一象限，则
该不等式组无解，
即AB不可能在第一象限；
若AB在第二象限，则
解得m＞1，
即当m＞1时，AB在第二象限；
若AB在第三象限，则
解得m＜－1，
即当m＜－1时，AB在第三象限；
若AB在第四象限，则
解得－1＜m＜1，
即当－1＜m＜1时，AB在第四象限．
综上所述，AB边不可能在第一象限．
16．(创新意识)如图，直线l的表达式为y＝－x＋4，它与坐标轴分别交于A、B两点．
(1)求出A点的坐标；
(2)动点C从y轴上的点(0，12)出发，以每秒1 cm的速度向负半轴运动，求出点C运动过程中所有的时间t，使得△ABC为等腰三角形．
(1)令y＝0，得－x＋4＝0，解得x＝3.则A点的坐标为(3，0).
(2)令x＝0，得y＝4，则B点的坐标为(0，4)，
∴AB＝5，
①BA＝BC，t＝(12－4－5)÷1＝3(秒)或t＝(12－4＋5)÷1＝13(秒)；
②CB＝CA，(5÷2)×5÷4＝，t＝(12－4＋)÷1＝11(秒)；
③AB＝AC，(12＋4)÷1＝16(秒).
综上所述，点C运动所有的时间t分别是3秒或13秒或11秒或16秒．16.3.2一次函数的图象
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条 ，通常也称为直线y＝kx＋b.特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过 的一条直线．
2．一次函数图像与k、b的关系．
函数 字母取值 图象 所在象限
y＝kx＋b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三
k>0，b<0 一、三、四
y＝kx＋b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四
k<0，b<0 二、三、四
3.直线y＝kx＋b可以通过将直线y＝kx向上(b 0)或向下(b 0)平移得到；如果两直线平行，那么它们的 ，反之也成立．
考点1?　一次函数的图象
【典例1】分别在如图1、图2的同一平面直角坐标系内画出下列各组直线，并指出两条直线的位置关系．
(1)y＝－2x－1，y＝－2x＋1；(2)y＝x－3，y＝－x－3.
　　
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
【变式训练】
1．先填表，再根据表中的数据在坐标系中画出一次函数的图象．
(1)列表：
x 0
y＝2x－6 0
(2)在坐标系中画出一次函数y＝2x－6的图象．
考点2?　一次函数的图象与坐标轴的交点
【典例2】如图，直线y＝－x＋4与坐标轴分别交于点M、N.求M、N两点的坐标．
本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法，根据坐标轴上的点的坐标的特征，只需令y＝0，求出x，即得一次函数的图象与x轴的交点坐标；只需令x＝0，求出y，即得一次函数的图象与y轴的交点坐标．
【变式训练】
2．画出函数y＝x－2的图象并求函数图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标以及三角形AOB的面积.
知识点　一次函数的图象
1．(河南周口扶沟期末)在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋1的图象是( )
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－k的图象大致是( )
3．(海南澄迈县期末)一次函数y＝kx＋b(k≠0，k、b为常数)的图象如图所示，则k、b的取值范围是( )
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0
C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＜0
4．若点A(m，n)在一次函数y＝3x＋b的图象上，且3m－n＞2，则b的取值范围为( )
A.b＞2 B．b＞－2
C．b＜2 D．b＜－2
5．(海南临高县期末)将一次函数y＝2x＋2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为( )
A．y＝2x＋5 B．y＝2x－1
C．y＝2x＋8 D．y＝2x－4
6．若正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，则k的值可以是 .(任写一个即可)
7．(河南濮阳模拟)一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则b＝ .
8．(湖南怀化鹤城区期末)直线PA是一次函数y＝x＋1的图象，直线PB是一次函数y＝－2x＋4的图象．
(1)求A、B、P三点的坐标；
(2)求四边形PQOB的面积．
易错易混点　无法确定线与线的交点坐标导致面积求解错误
9．按要求完成下列问题．
(1)根据所学知识，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝|3x－1|与y＝x＋1的图象．
(2)求(1)中两函数图象所围成的图形的面积．
10．(江西上饶玉山县期末)在平面直角坐标系中，将直线y＝－x＋3沿y轴向下平移6个单位长度后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是( )
A．(－2，0) B．(6，0)
C．(4，0) D．(0，－3)
11．(海南乐东县月考)两个y关于x的一次函数y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
12．已知点P(1，2)关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y＝kx＋3上，把直线y＝kx＋3的图象向上平移2个单位长度，所得的直线表达式为 ．
13．已知一次函数y＝x＋5的图象经过点P(a，b)和Q(m，n)，则a(m－n)＋b(n－m)的值为 ．
14．已知一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的图象如图所示，请你在平面直角坐标系中分别作一次函数的图象，并写出必要的标注与文字说明．
(1)y＝kx；
(2)y＝－2kx＋2b；
(3)y＝kx－2b.
15．如图，直线y＝(m＋1)x＋2(m－1)(m为常数)与x轴交于点A，与y轴交于点B，△ABC是等边三角形.(其中A、B、C为逆时针标注的三个点)
(1)当x＝－2时，求y的值；
(2)△ABC中的AB边不可能在第几象限？并说明理由．
16．(创新意识)如图，直线l的表达式为y＝－x＋4，它与坐标轴分别交于A、B两点．
(1)求出A点的坐标；
(2)动点C从y轴上的点(0，12)出发，以每秒1 cm的速度向负半轴运动，求出点C运动过程中所有的时间t，使得△ABC为等腰三角形．

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