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16.3.3一次函数的性质
1．k决定一次函数y＝kx＋b(k≠0)的增减性：(1)若k>0，y随x增大而 ，这时函数的图象从左到右 ；
(2)若k<0，y随x增大而 ，这时函数的图象从左到右 ．
2．b决定直线y＝kx＋b(k≠0)与y轴交点位置：当b＞0时，直线交y轴于 半轴；当b＜0时，直线交y轴于 半轴；当b＝0时，直线过原点．
考点　一次函数的性质
【典例】已知一次函数y＝(1－2m)x＋m＋1，求当m为何值时．
(1)y随x的增大而增大？
(2)图象经过第一、二、四象限？
(3)图象只经过第一、三象限？
(4)图象与y轴的交点在x轴的上方？
本题考查的是一次函数图象的性质，k值的正负决定了直线的倾斜方向，也就决定了函数的增减情况；b值的正负决定了直线与y轴交点的位置；k、b值的正负共同决定了图象所经过的象限．
【变式训练】
已知一次函数y＝(4－k)x－2k2＋32.
(1)k为何值时，它的图象经过原点；
(2)k为何值时，它的图象经过点(0，－2)；
(3)k为何值时，它的图象平行于直线y＝－x；
(4)k为何值时，y随x的增大而减小．
知识点　一次函数的性质
1．(海南澄迈县期末)若点A(－5，y1)、B(1，y2)都在直线y＝2x＋7上，则y1与y2的大小关系是( )
A.y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．无法比较大小
2．已知一次函数y＝(1＋2k)x－5的图象经过点M(x1，y1)和点N(x2，y2)，若当x1＞x2时，y1＜y2，则k的值可能是( )
A．－ B．0 C．－1 D．
3．(河南南阳桐柏方树泉中学月考)已知在正比例函数y＝kx中，y随x的增大而增大，则一次函数y＝－kx＋k的图象所经过的象限是( )
A．一、二、三 B．一、二、四
C．一、三、四 D．二、三、四
4．已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是( )
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0
C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0
5．(海南东方期末)一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
6．已知一次函数y＝－5x＋2，当x 时，函数的值y为非负数．
易错易混点　缺乏数形结合能力导致解答错误
7．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题．
(1)在平面直角坐标系中，画出函数y＝|x|的图象：
①列表：完成表格
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … …
②画出y＝|x|的图象；
(2)结合所画函数图象，写出y＝|x|的两条不同类型的性质；
(3)写出函数y＝|x|与y＝|x－2|图象的平移关系．
8．(海南乐东县期末)一次函数y＝kx＋3中，y随x的增大而减小，那么它的图象经过( )
A．第二、三、四象限
B．第一、二、三象限
C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
9．(河南南阳淅川期中)在平面直角坐标系中，点A(－5，－1)关于原点对称的点的坐标为A′(a，b)，关于x轴对称的点的坐标为B(c，d)，则一次函数y＝(a－c)x－(b＋d)的图象不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．将2×2的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上．若直线y＝kx(k≠0)与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围是( )
A．k≤2 B．k≥0.5
C．0.5≤k≤2 D．0.5＜k＜2
11．(河南开封模拟)已知点M(m，y1)、N(－1，y2)在直线y＝－x＋1上，且y1>y2，则m的取值范围是 ．
12．在正比例函数y＝－3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则点P(m，5)在第 象限．
13．若x＋y＋z＝30，3x＋y－z＝50，且x、y、z均为非负数，则M＝x＋3y＋2z的最大值为 ．
14．已知函数y＝ax＋b.
(1)当点P(a，b)在第二象限时，直线y＝ax＋b经过哪几个象限？
(2)若ab＜0，且y随x增大而增大，则函数的图象不经过哪些象限？
【母题P52练习T2】已知点(－1，a)和点(，b)都在直线y＝x＋3上，试比较a与b的大小，你能想出几种判断方法？
【变式】若点A(x1，－1)、B(x2，－2)、C(x3，3)在一次函数y＝－2x＋m(m是常数)的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是( )
A.x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3
C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
15.(模型观念)(河南信阳模拟)这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．
小强根据学习函数的经验，对函数y＝|x＋1|的图象与性质进行了探究．下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)在函数y＝|x＋1|中，自变量x的取值范围是 ；
下表是y与x的几组对应值．
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 3 2 1 0 1 m 3 4 …
①求m的值；
②如图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；
(2)结合函数图象，写出该函数的一条性质．16.3.3一次函数的性质
1．k决定一次函数y＝kx＋b(k≠0)的增减性：(1)若k>0，y随x增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
(2)若k<0，y随x增大而减小，这时函数的图象从左到右下降．
2．b决定直线y＝kx＋b(k≠0)与y轴交点位置：当b＞0时，直线交y轴于正半轴；当b＜0时，直线交y轴于负半轴；当b＝0时，直线过原点．
考点　一次函数的性质
【典例】已知一次函数y＝(1－2m)x＋m＋1，求当m为何值时．
(1)y随x的增大而增大？
(2)图象经过第一、二、四象限？
(3)图象只经过第一、三象限？
(4)图象与y轴的交点在x轴的上方？
解：(1)∵y随x的增大而增大，
∴1－2m＞0，解得m＜.
(2)∵图象经过第一、二、四象限，
∴解得m＞.
(3)∵图象只经过第一、三象限，
∴解得m＝－1.
(4)∵一次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴
解得m＞－1且m≠.
本题考查的是一次函数图象的性质，k值的正负决定了直线的倾斜方向，也就决定了函数的增减情况；b值的正负决定了直线与y轴交点的位置；k、b值的正负共同决定了图象所经过的象限．
【变式训练】
已知一次函数y＝(4－k)x－2k2＋32.
(1)k为何值时，它的图象经过原点；
(2)k为何值时，它的图象经过点(0，－2)；
(3)k为何值时，它的图象平行于直线y＝－x；
(4)k为何值时，y随x的增大而减小．
(1)∵一次函数y＝(4－k)x－2k2＋32的图象经过原点，∴－2k2＋32＝0，4－k≠0，解得k＝－4；
(2)∵一次函数y＝(4－k)x－2k2＋32的图象经过(0，－2)，
∴－2k2＋32＝－2，4－k≠0，解得k＝±；
(3)∵一次函数y＝(4－k)x－2k2＋32的图象平行于直线y＝－x，∴4－k＝－1，∴k＝5；
(4)∵一次函数y＝(4－k)x－2k2＋32中y随x的增大而减小，∴4－k＜0，∴k＞4.
知识点　一次函数的性质
1．(海南澄迈县期末)若点A(－5，y1)、B(1，y2)都在直线y＝2x＋7上，则y1与y2的大小关系是(A)
A.y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．无法比较大小
2．已知一次函数y＝(1＋2k)x－5的图象经过点M(x1，y1)和点N(x2，y2)，若当x1＞x2时，y1＜y2，则k的值可能是(C)
A．－ B．0 C．－1 D．
3．(河南南阳桐柏方树泉中学月考)已知在正比例函数y＝kx中，y随x的增大而增大，则一次函数y＝－kx＋k的图象所经过的象限是(B)
A．一、二、三 B．一、二、四
C．一、三、四 D．二、三、四
4．已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是(A)
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0
C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0
∵一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，∴k－2＜0，－m＜0，∴k＜2，m＞0.
5．(海南东方期末)一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 m＜3．
6．已知一次函数y＝－5x＋2，当x≤时，函数的值y为非负数．
易错易混点　缺乏数形结合能力导致解答错误
7．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题．
(1)在平面直角坐标系中，画出函数y＝|x|的图象：
①列表：完成表格
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 3 2 1 0 1 2 3 …
②画出y＝|x|的图象；
(2)结合所画函数图象，写出y＝|x|的两条不同类型的性质；
(3)写出函数y＝|x|与y＝|x－2|图象的平移关系．
(1)①填表如下：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 3 2 1 0 1 2 3 …
②画出图象，如图所示：
(2)①y＝|x|的图象位于第一、二象限，在第一象限内y随x的增大而增大，在第二象限内y随x的增大而减小，②函数有最小值，最小值为0；
(3)函数y＝|x|图象向右平移2个单位得到函数y＝|x－2|的图象．
8．(海南乐东县期末)一次函数y＝kx＋3中，y随x的增大而减小，那么它的图象经过(D)
A．第二、三、四象限
B．第一、二、三象限
C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
9．(河南南阳淅川期中)在平面直角坐标系中，点A(－5，－1)关于原点对称的点的坐标为A′(a，b)，关于x轴对称的点的坐标为B(c，d)，则一次函数y＝(a－c)x－(b＋d)的图象不经过的象限是(B)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．将2×2的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上．若直线y＝kx(k≠0)与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围是(C)
A．k≤2 B．k≥0.5
C．0.5≤k≤2 D．0.5＜k＜2
由题意，得点A的坐标为(1，2)，点C的坐标为(2，1)，∵当正比例函数图象经过点A时，k＝2，当经过点C时，k＝0.5，∴直线y＝kx(k≠0)与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是0.5≤k≤2.
11．(河南开封模拟)已知点M(m，y1)、N(－1，y2)在直线y＝－x＋1上，且y1>y2，则m的取值范围是m<－1．
12．在正比例函数y＝－3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则点P(m，5)在第二象限．
13．若x＋y＋z＝30，3x＋y－z＝50，且x、y、z均为非负数，则M＝x＋3y＋2z的最大值为70．
解方程组
把y、z用含x的代数式表示出来，得
∵x、y、z均为非负数，∴
解得10≤x≤20，
∴M＝x＋3(－2x＋40)＋2(x－10)＝－3x＋100.
∵－3＜0，∴M随着x的增大而减小．
又∵10≤x≤20，
∴当x＝10时，M有最大值，最大值是M＝－3x＋100＝－3×10＋100＝70.
14．已知函数y＝ax＋b.
(1)当点P(a，b)在第二象限时，直线y＝ax＋b经过哪几个象限？
(2)若ab＜0，且y随x增大而增大，则函数的图象不经过哪些象限？
(1)∵点P(a，b)在第二象限，∴a＜0，b＞0，
∴直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限．
(2)∵ab＜0，且y随x的增大而增大，∴a＞0，b＜0，
∴函数y＝ax＋b的图象经过第一、三、四象限，
∴函数y＝ax＋b的图象不经过第二象限．
【母题P52练习T2】已知点(－1，a)和点(，b)都在直线y＝x＋3上，试比较a与b的大小，你能想出几种判断方法？
(方法一)∵在直线y＝x＋3中，
k＝＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵－1＜，∴a＜b.
(方法二)∵点(－1，a)和点(，b)都在直线y＝x＋3上，
∴a＝×(－1)＋3＝，b＝×＋3＝.
∵＜，∴a＜b.
【变式】若点A(x1，－1)、B(x2，－2)、C(x3，3)在一次函数y＝－2x＋m(m是常数)的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是(B)
A.x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3
C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
15.(模型观念)(河南信阳模拟)这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．
小强根据学习函数的经验，对函数y＝|x＋1|的图象与性质进行了探究．下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)在函数y＝|x＋1|中，自变量x的取值范围是任意实数；
下表是y与x的几组对应值．
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 3 2 1 0 1 m 3 4 …
①求m的值；
②如图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；
(2)结合函数图象，写出该函数的一条性质．
(1)任意实数　①当x＝1时，m＝|1＋1|＝2，即m的值是2；
②如图所示：
(2)由函数图象，可得当x<－1时，y随x的增大而减小；
当x>－1时，y随x的增大而增大．

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