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16.3.4求一次函数的表达式
用待定系数法求一次函数的表达式，先设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，再根据条件列出方程或方程组，求出未知数，从而写出一次函数的表达式．
考点1?　待定系数法求一次函数的表达式
【典例1】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(－1，1)和点(1，－5).
(1)求一次函数的表达式．
(2)求一次函数的图象与x轴的交点坐标．
解：(1)把(－1，1)和(1，－5)代入y＝kx＋b，得解得
∴一次函数的表达式为y＝－3x－2.
(2)当y＝0时，由－3x－2＝0，
解得x＝－，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为(－，0).
待定系数法求一次函数表达式的步骤：(1)确定两点坐标；(2)设一次函数表达式的一般形式y＝kx＋b(k≠0)；(3)将两点坐标代入一次函数表达式；(4)解关于k、b的二元一次方程组；(5)回答一次函数表达式．
【变式训练】
1．如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝4x－5上，过点A的另一条直线交y轴于点B(0，6)，其中点C为直线y＝4x－5与y轴的交点．
(1)求直线AB的函数表达式．
(2)求△ABC的面积．
(1)∵点A(2，m)在直线y＝4x－5上，
∴m＝4×2－5＝3，
∴点A的坐标为(2，3).
设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b.
将点A(2，3)，点B(0，6)代入，得
解得
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋6；
(2)过点A作AD⊥x轴于点D，如图．
∵点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(0，6)，
∴AD＝2，OB＝6.
对于函数y＝4x－5，当x＝0时，y＝5，
∴点C的坐标为(0，－5)，∴OC＝5，
∴BC＝OB＋OC＝6＋5＝11，
∴S△ABC＝BC·AD＝×11×2＝11.
考点2?　一次函数的实际应用
【典例2】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题：
(1)A，B两城相距_300_km；
(2)求乙车出发后几小时追上甲车？
解：(1)由图可知，A、B两城相距300 km；
(2)设甲对应的函数表达式为：y＝kx(k≠0)，把(5，300)代入解析式，得300＝5k，解得k＝60.
即甲对应的函数表达式为y＝60x(0≤x≤5).
设乙对应的函数表达式为y＝mx＋n(m≠0)，
把(1，0)，(4，300)代入解析式，得则
解得
即乙对应的函数表达式为y＝100x－100(1≤x≤4).
令60x＝100x－100，解得x＝2.5.
2．5－1＝1.5(h)，即乙车出发后1.5 h追上甲车．
行程问题有点难，函数图象来帮忙．
时间横轴路程纵，坐标体系先搭好．
匀速直线是斜线，斜率速度要记牢．
变速分段来绘制，转折之处细思量．
交点相遇关键处，特殊点也有妙方．
信息读取要准确，计算推理不能慌．
检验答案保无误，解题口诀常回想．
【变式训练】
2．(重庆模拟)为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)甲无人机的速度是6米/秒，乙无人机的速度是3米/秒；
(2)求线段PQ对应的函数表达式；
(3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间．
(1)甲无人机的速度是36÷6＝6(米/秒)，乙无人机的速度是(72－12)÷20＝3(米/秒)；
(2)甲无人机飞行PQ段用时(72－36)÷6＝6(秒)，20－6＝14(秒)，
∴点P的坐标为(14，36).
设线段PQ对应的函数表达式为y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)，
将点P(14，36)，Q(20，72)分别代入y＝kx＋b，得
解得
∴线段PQ对应的函数表达式为y＝6x－48(14≤x≤20)；
(3)设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y＝k′x＋b′，
将点(0，12)，(20，72)代入，得
解得
∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y＝3x＋12(0≤x≤20).
当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，14≤x≤20，
由与乙无人机的高度差为9米，得3x＋12－(6x－48)＝9，
解得x＝17，
∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒．
知识点　求一次函数的表达式
1．(河南平顶山期中)已知y－3与x成正比例，且经过点(2，7)，那么y与x的关系式为(B)
A.y＋3＝2x B．y＝2x＋3
C．y＝x＋5 D．y＝3x＋1
2．一次函数的图象如图所示，这个一次函数的表达式是(D)
A．y＝－x＋1
B．y＝x－1
C．y＝－x－1
D．y＝x＋1
3．如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在边CD上留一个1 m宽的门．若设AB的长为y m，BC的长为x m，则y与x之间的函数表达式为(C)
A．y＝12－x B．y＝12－x
C．y＝13－x D．y＝13－x
4．(海南乐东县月考)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的表达式为(D)
A．y＝－x－2 B．y＝－x－6
C．y＝－x－1 D．y＝－x＋10
5．(安徽合肥模拟)在“探索一次函数y＝kx＋b的系数k、b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：A(0，－1)、B(2，3)、C(3，2).同学们经过其中任意两点可画出一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，其中k＋b最大的值为(B)
A．5 B．4 C．2 D．0
6．(河南南阳淅川月考)直线y＝kx＋3与x轴的交点是(1，0)，则k的值是－3.
7．写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式y＝－x＋2(写出一个即可) .
(1)y随x的增大而减小；
(2)图象经过点(0，2).
设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵y 随x的增大而减小，∴k＜0.令k＝－1，则函数表达式为y＝－x＋b，又∵点(0，2)在一次函数y＝－x＋b的图象上，∴2＝b，∴一次函数的表达式为y＝－x＋2.(答案不唯一).
8．(河南南阳方城模拟)已知点(－4，2)在正比例函数y＝kx的图象上．
(1)求该正比例函数的表达式；
(2)若点(－1，m)在该函数的图象上，求出m的值．
(1)∵点(－4，2)在正比例函数y＝kx的图象上，
∴2＝－4k，∴k＝－，
∴该正比例函数的表达式为y＝－x.
(2)∵点(－1，m)在函数y＝－x的图象上，
∴m＝－×(－1)＝.
易错易混点　忽略分类讨论导致漏解
9．一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当－2≤x≤2时，－3≤y≤5，则kb＝2或－2．
∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当－2≤x≤2时，－3≤y≤5，∴下面两种情况讨论：
①当k＞0时，y随x的增大而增大，
则x＝－2时，y＝－3，x＝2时，y＝5，
∴
解得∴kb＝2×1＝2；
②当k＜0时，y随x的增大而减小，
即x＝－2时，y＝5，x＝2时，y＝－3，
∴解得
∴kb＝(－2)×1＝－2；即kb＝2或－2.
10．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(3，1)，AB＝OB，∠ABO＝90°，则直线AB对应的函数表达式是y＝－3x＋10．
如图，过点A作AC∥x轴交y轴于点C，过点B作BD∥y轴交x轴于点D，两条直线相交于点E.
∵CE∥x轴，ED∥y轴，
∴CE⊥ED，
∴∠E＝90°，
∴∠ACO＝∠E＝∠BDO＝90°，CE＝OD.
又∵∠ABO＝90°，
∴∠DOB＋∠OBD＝90°，∠ABE＋∠OBD＝90°，∠BAE＋∠ABE＝90°，
∴∠BOD＝∠ABE，∠OBD＝∠BAE.
∵点B的坐标为(3，1)，∴OD＝3，BD＝1.
在△ABE与△BOD中，
∴△ABE≌△BOD(ASA)，
∴AE＝BD＝1，BE＝OD＝3，
∴AC＝CE－AE＝OD－BD＝3－1＝2，DE＝BD＋BE＝1＋3＝4，
∴点A的坐标为(2，4).
设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点A(2，4)，点B(3，1)代入，得
解得
∴直线AB的表达式为y＝－3x＋10.
11．(海南海口期中)将直线y＝x－3沿y轴向上平移2个单位，得直线的函数表达式为y＝x－1.
12. 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，某弹簧不挂物体时长15 cm，当所挂物体质量为3 kg时，弹簧长16.8 cm.写出弹簧长度L(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数表达式：L＝0.6x＋15．
设弹簧总长度L(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合的一次函数关系式为L＝kx＋15(k≠0).由题意，得16.8＝3k＋15，解得k＝0.6，所以该一次函数表达式为L＝0.6x＋15.
13．有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第5个有序数对为(25，26)；若在平面直角坐标系中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为y＝x＋1．
∵第1个有序数对是(1，2)，1＝12，2＝12＋1；第2个有序数对是(4，5)，4＝22，5＝22＋1；第3个有序数对是(9，10)，9＝32，10＝32＋1；第4个有序数对是(16，17)，16＝42，17＝42＋1，∴第5个有序数对为(25，26).设这条直线的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵直线过点(1，2)，(4，5)，
∴解得故这条直线的表达式为y＝x＋1.
14．已知A，B是直线y＝x＋3上的两点，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为1，点B关于原点的对称点为B1.试求：
(1)直线AB1的表达式；
(2)△ABB1的面积．
(1)在y＝x＋3中，令x＝1，得y＝4，则点A的坐标是(1，4)；在y＝x＋3中，令y＝1，得x＋3＝1，解得x＝－2，则点B的坐标是(－2，1)，则点B1的坐标是(2，－1).设直线AB1的表达式是y＝kx＋b，则解得则直线AB1的表达式是y＝－5x＋9.
(2)过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，过B1作x轴、y轴的平行线，分别相交于点C，D，E.则点C的坐标是(－2，4)，点D的坐标是(－2，－1)，点E的坐标是(2，4).则S△ABC＝BC·AC＝×3×3＝，S△BB1D＝BD·B1D＝×2×4＝4，S△AB1E＝B1E·AE＝×5×1＝，S长方形CDB1E＝4×5＝20，则S△ABB1＝20－－4－＝9.
15．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－1，－1)和点B(1，－3)，求：
(1)一次函数的表达式；
(2)直线AB与坐标轴围成的三角形的面积；
(3)请在x轴上找到一点P，使得PA＋PB最小，并写出点P的坐标．
(1)把点A(－1，－1)，B(1，－3)代入y＝kx＋b，得解得
∴一次函数的表达式为y＝－x－2；
(2)如图，设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D.
把y＝0代入y＝－x－2，解得x＝－2，
∴OC＝2.
把x＝0代入y＝－x－2，
解得y＝－2，∴OD＝2，
∴S△COD＝×OC×OD＝×2×2＝2；
(3)作点A与A1关于x轴对称，连结A1B交x轴于点P，则点P即为所求．
由对称，知点A1的坐标为(－1，1).
设直线A1B的表达式为y＝ax＋c，将点A1(－1，1)，B(1，－3)代入，得
解得∴y＝－2x－1.
令y＝0，得－2x－1＝0，
解得x＝－，∴点P的坐标为(－，0).
【母题P56T9】小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加100 m，气温下降0.6 ℃，小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为34 ℃，试写出山上气温T(℃)与该处距山脚垂直高度h(m)之间的函数关系式，当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为29.8 ℃，求山高．
(1)根据题意，得h＝×100＝－T＋，
当T＝29.8时，h＝－×29.8＋，
解得h＝700，
∴此山高大约700 m．
【变式】王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本2元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买x(x＞10)本练习本，甲商店的费用为y1，乙商店的费用为y2.
(1)分别求出y1、y2与x之间的关系式；
(2)王华买了25本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由．
(1)y1＝10×2＋2×0.8(x－10)＝1.6x＋4，
y2＝2×0.85x＝1.7x；
(2)甲商店的费用为y1＝1.6x＋4＝1.6×25＋4＝44(元)，
乙商店的费用为y2＝1.7x＝1.7×25＝42.5(元).
∵42.5<44，∴买25本练习本选择到乙商店购买更优惠．
16.(模型观念)(海南海口期末)已知A、B两地相距4 800米，甲从A地出发步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为y1米、y2米，y1，y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出y1、y2与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？
(1)设y1＝k1x(k1≠0)，由题意，代入点(60，4 800)，得
60k1＝4 800，解得k1＝80，∴y1＝80x.
设 y2＝k2x＋b(k2≠0)，由题意，代入点(20，4 800)，(60，0)，得
解得
∴y2＝－120x＋7 200.
答：y1＝80x，其中自变量x的取值范围是0≤x≤60，
y2＝－120x＋7 200，其中自变量x的取值范围是20≤x≤60；
(2)由题意，可知y1＝y2，即80x＝－120x＋7 200，
解得x＝36，∴y2＝－120×36＋7 200＝2 880.
答：甲出发后36分钟两人相遇，相遇时乙离A地2 880米．16.3.4求一次函数的表达式
用待定系数法求一次函数的表达式，先设一次函数的表达式为 ，再根据条件列出 ，求出未知数，从而写出一次函数的表达式．
考点1?　待定系数法求一次函数的表达式
【典例1】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(－1，1)和点(1，－5).
(1)求一次函数的表达式．
(2)求一次函数的图象与x轴的交点坐标．
待定系数法求一次函数表达式的步骤：(1)确定两点坐标；(2)设一次函数表达式的一般形式y＝kx＋b(k≠0)；(3)将两点坐标代入一次函数表达式；(4)解关于k、b的二元一次方程组；(5)回答一次函数表达式．
【变式训练】
1．如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝4x－5上，过点A的另一条直线交y轴于点B(0，6)，其中点C为直线y＝4x－5与y轴的交点．
(1)求直线AB的函数表达式．
(2)求△ABC的面积．
考点2?　一次函数的实际应用
【典例2】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题：
(1)A，B两城相距_ _km；
(2)求乙车出发后几小时追上甲车？
行程问题有点难，函数图象来帮忙．
时间横轴路程纵，坐标体系先搭好．
匀速直线是斜线，斜率速度要记牢．
变速分段来绘制，转折之处细思量．
交点相遇关键处，特殊点也有妙方．
信息读取要准确，计算推理不能慌．
检验答案保无误，解题口诀常回想．
【变式训练】
2．(重庆模拟)为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)甲无人机的速度是 米/秒，乙无人机的速度是 米/秒；
(2)求线段PQ对应的函数表达式；
(3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间．
知识点　求一次函数的表达式
1．(河南平顶山期中)已知y－3与x成正比例，且经过点(2，7)，那么y与x的关系式为( )
A.y＋3＝2x B．y＝2x＋3
C．y＝x＋5 D．y＝3x＋1
2．一次函数的图象如图所示，这个一次函数的表达式是( )
A．y＝－x＋1
B．y＝x－1
C．y＝－x－1
D．y＝x＋1
3．如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在边CD上留一个1 m宽的门．若设AB的长为y m，BC的长为x m，则y与x之间的函数表达式为( )
A．y＝12－x B．y＝12－x
C．y＝13－x D．y＝13－x
4．(海南乐东县月考)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的表达式为( )
A．y＝－x－2 B．y＝－x－6
C．y＝－x－1 D．y＝－x＋10
5．(安徽合肥模拟)在“探索一次函数y＝kx＋b的系数k、b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：A(0，－1)、B(2，3)、C(3，2).同学们经过其中任意两点可画出一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，其中k＋b最大的值为( )
A．5 B．4 C．2 D．0
6．(河南南阳淅川月考)直线y＝kx＋3与x轴的交点是(1，0)，则k的值是 .
7．写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式 (写出一个即可) .
(1)y随x的增大而减小；
(2)图象经过点(0，2).
8．(河南南阳方城模拟)已知点(－4，2)在正比例函数y＝kx的图象上．
(1)求该正比例函数的表达式；
(2)若点(－1，m)在该函数的图象上，求出m的值．
易错易混点　忽略分类讨论导致漏解
9．一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当－2≤x≤2时，－3≤y≤5，则kb＝ ．
10．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(3，1)，AB＝OB，∠ABO＝90°，则直线AB对应的函数表达式是 ．
11．(海南海口期中)将直线y＝x－3沿y轴向上平移2个单位，得直线的函数表达式为 .
12. 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，某弹簧不挂物体时长15 cm，当所挂物体质量为3 kg时，弹簧长16.8 cm.写出弹簧长度L(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数表达式： ．
13．有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第5个有序数对为 ；若在平面直角坐标系中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为 ．
14．已知A，B是直线y＝x＋3上的两点，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为1，点B关于原点的对称点为B1.试求：
(1)直线AB1的表达式；
(2)△ABB1的面积．
15．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－1，－1)和点B(1，－3)，求：
(1)一次函数的表达式；
(2)直线AB与坐标轴围成的三角形的面积；
(3)请在x轴上找到一点P，使得PA＋PB最小，并写出点P的坐标．
【母题P56T9】小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加100 m，气温下降0.6 ℃，小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为34 ℃，试写出山上气温T(℃)与该处距山脚垂直高度h(m)之间的函数关系式，当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为29.8 ℃，求山高．
【变式】王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本2元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买x(x＞10)本练习本，甲商店的费用为y1，乙商店的费用为y2.
(1)分别求出y1、y2与x之间的关系式；
(2)王华买了25本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由．
16.(模型观念)(海南海口期末)已知A、B两地相距4 800米，甲从A地出发步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为y1米、y2米，y1，y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出y1、y2与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？

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