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16.4.1．反比例函数
1．一般地，形如y＝(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．
2．如果两个变量是反比例函数关系，就可以用待定系数法设这个函数的函数关系为y＝(k是常数，k≠0)，再根据条件列出方程求出待定系数k的值，就求出了两个变量之间的函数关系．
考点1?　反比例函数的概念
【典例1】已知y＝(m2＋2m)x|m|-3是关于x的反比例函数，求(m－2)2 026的值．
解：因为y＝(m2＋2m)x|m|-3是关于x的反比例函数，
所以
解得，
所以m＝2，所以(m－2)2 026＝(2－2)2 026＝0.
这是一个由反比例函数定义求待定字母的值的题目，给出的函数表达式是反比例函数，就是要紧扣反比例函数的定义求待定字母的值，应当符合y＝(k是常数，k≠0)的形式，不过它还有两个变形的形式，就是y＝kx-1(k≠0)或xy＝k(k≠0)的形式．列出方程组(可能有方程、也可能有不等式)来解决问题．
【变式训练】
1．已知函数y＝(m－1)xm2－2是反比例函数，则m的值为 －1．
考点2?　待定系数法求反比例函数表达式
【典例2】已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求：
(1)y与x之间的函数表达式．
(2)当y＝2时，x的值．
解：(1)∵变量y与x成反比例，∴可设y＝(k是常数，k≠0).
∵当x＝2时，y＝－6，∴k＝2×(－6)＝－12，
∴y与x之间的函数关系式是y＝－.
(2)当y＝2时，y＝－＝2，解得x＝－6.
此题考查利用待定系数法求反比例函数的表达式和已知函数值求自变量的值，用待定系数法求出函数的表达式是解题的关键．
【变式训练】
2．已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数．
(1)当z＝－时，y＝6.当x＝6时，z＝4.求y与x之间的函数关系式；
(2)证明y是x的反比例函数．
(1)∵y是z的反比例函数，∴设y＝(a≠0).
∵当z＝－时，y＝6，
∴a＝6×(－)＝－4，∴y＝－，①
∵z是x的正比例函数，∴设z＝bx(b≠0).
又∵当x＝6时，z＝4，∴b＝＝，∴z＝x，②
将②代入①，得y＝－；
(2)由(1)，得y＝(a≠0)，z＝bx(b≠0)，
∴y＝(a≠0，b≠0)，
∴y是x的反比例函数．
知识点1?　反比例函数的定义
1．(河南平顶山宝丰期末)下列函数中，表示y是x的反比例函数的是(D)
A.x(y＋1)＝1 B．y＝
C．y＝ D．y＝
2．下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是(D)
A．正方形的面积S与边长a的关系
B．正方形的周长L与边长a的关系
C．长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系
3．若函数y＝x2m+1为反比例函数，则m的值是(D)
A．1 B．0 C．0.5 D．－1
知识点2?　确定反比例函数表达式
4．已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为(D)
A．y＝ B．y＝
C．y＝－ D．y＝或y＝－
5．根据下表中反比例函数的自变量x与函数值y的对应关系，可得p的值为(D)
x －2 1
y 3 p
A.3 B．1 C．－2 D．－6
6．已知y与成反比例，当y＝1时，x＝4，则当x＝2时，y＝．
易错易混点　基本概念与模型观念不匹配导致错误
7．列出下列问题中的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数．
(1)某农场的粮食总产量为1 500 t，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食量x(t)的函数表达式；
(2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式；
(3)小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式．
(1)由平均数的概念，得x＝，
∴y＝，y＝是反比例函数；
(2)由单价乘油量等于总价，得
y＝4.75x，y＝4.75x是正比例函数不是反比例函数．
(3)由路程与时间的关系，得t＝，t＝是反比例函数．
8．(海南保亭县期中)函数y＝是反比例函数，则m必须满足(D)
A.m≠0 B．m≠－1
C．m≠－1或m≠0 D．m≠－1且m≠0
9．(海南海口琼山区模拟)近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，则y与x的函数表达式为(C)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
10. 已知函数y＝(k＋1)x|k|-3是反比例函数，且正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则k的值为2．
∵y＝(k＋1)x|k|-3是反比例函数，且正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，
∴∴k＝2.
11．(河南南阳宛城月考)如果A×B＝4.5，那么A和B成反比例关系；如果x÷y＝42÷3.5，那么x和y成正比例关系；如果m∶1.2＝1.5∶n，那么m和n成反比例关系．
如果A×B＝4.5，那么A和B成反比例关系；如果x÷y＝42÷3.5，即x÷y＝12，那么x和y成正比例关系；如果m∶1.2＝1.5∶n，即mn＝1.8，那么m和n成反比例关系．
12．已知，某个反比例函数的图象经过点M(－2，1).
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当y＝时，求x的值．
(1)设反比例的表达式为y＝(k为常数，k≠0)，
把M(－2，1)代入得k＝－1×2＝－2，
∴反比例函数的表达式为y＝－.
(2)当y＝时，－＝，解得x＝－3.
13．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x＋2成反比例，且当x＝－1时，y＝3；当x＝3时，y＝7.求x＝－3时，y的值．
∵y1与x成正比例，∴设y1＝kx.
∵y2与x＋2成反比例，∴设y2＝.
∵y＝y1＋y2，∴y＝kx＋.
∵当x＝－1时，y＝3；当x＝3时，y＝7，
∴解得
∴y＝2x＋.
当x＝－3时，y＝2×(－3)＋＝－11.
14.如图，分别位于反比例函数y＝，y＝在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且＝.求反比例函数y＝的表达式．
设点A的坐标为(a，)，则OA2＝a2＋，
设直线OA的表达式为y＝mx(x＞0).
由条件，可知＝ma，解得m＝，
∴y＝x.
由于直线OA与y＝交于点B，
∴联立解得x＝a(负值已舍去)，
∴y＝，即点B的坐标为(a，)，
∴OB2＝(a)2＋()2＝k(a2＋).
∵＝，∴OB2＝9OA2，
即k(a2＋)＝9(a2＋).
∵a2＋>0，∴k＝9，
∴反比例函数y＝的表达式为y＝.
2．反比例函数的图象和性质
1．反比例函数y＝的图象是双曲线．反比例函数的图象是中心对称图形也是轴对称图形，坐标原点(0，0)是它的对称中心．
2．反比例函数y＝的性质：
(1)若k>0，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而减小；
(2)若k<0，函数图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而增大．
考点1?　反比例函数的图象
【典例1】正比例函数y＝kx(k≠0)和反比例函数y＝(m为常数，m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则点(m，k)所在的象限是( D )
A.第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：根据函数的图象，得k＜0，m＞0，
故(m，k)在第四象限．
由反比例函数y＝(k≠0)的系数k的正负，就可确定其图象的两个分支所位于的象限；反之由反比例函数y＝的图象的两个分支所位于的象限就可以确定系数k的正负．需注意的是它的系数k，包含了分式前面的符号．反比例函数y＝(k≠0)的图象，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
【变式训练】
1．反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是(D)
考点2?　反比例函数的性质
【典例2】反比例函数y＝的图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是( C )
A．k≤－3 B．k≥－3
C．k＞－3 D．k＜－3
解析：根据题意，可得k＋3＞0，解得k＞－3.
本题考查了反比例函数图象的性质：反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
【变式训练】
2．(河南新乡原阳期中)已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是(D)
A．图象位于第一、三象限
B．图象必经过点(4，)
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小
知识点1?　反比例函数的图象
1．(海南海口期末)在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋k(k是常数，k≠0)，与y＝(k≠0)的图象大致为(A)
2．三角形面积为7 cm2，底边上的高y(cm)与底边x(cm)之间的函数关系的图象大致是(B)
3．如图是函数y＝－1的图象，则关于x的分式方程＝3的解是(D)
A．x＝6
B．x＝0.5
C．x＝2
D．x＝1
由图象，可得点(1，2)在函数图象上，把点(1，2)代入y＝－1得2＝a－1，解得a＝3.＝3，解得x＝1，经检验，x＝1是分式方程的解．
4．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标是(2，3)，则另一个交点的坐标是(D)
A．(2，3) B．(3，2)
C．(－2，3 ) D．(－2，－3)
∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点(2，3)关于原点对称，∴该点的坐标为(－2，－3).
5．若直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝的交点分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则2x1y2－5x2y1的值为6．
知识点2?　反比例函数的性质
6．(河南新乡原阳期中)已知反比例函数y＝，当x<0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y＝－kx＋k的图象经过第(B)
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
7．若函数y＝mx|m|-3是反比例函数，且它的图象在第二、四象限，则m的值为(B)
A．－4 B．－2
C．2 D．2或－2
8．已知反比例函数的图象经过点P(2，－3)，则在每个象限中，其函数值y随x的增大而增大.
设反比例函数的表达式为y＝(k≠0)，∵反比例函数图象过点(2，－3)，∴把(2，－3)代入得－6＝k＜0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内，y随x的增大而增大．
易错易混点　新定义函数变换规律不熟练导致错误
9．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数y＝的图象可能为(D)
10．已知点A(－2，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)均在反比例函数y＝－的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是(B)
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
11．如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝－的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是(D)
A．2 B．4 C．6 D．8
12．已知反比例函数y＝(k＞0)，当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当－2≤x≤－1时，函数y有(B)
A．最大值－2a B．最小值－2a
C．最小值－a D．最大值－
13．(海南海口期末)如图，已知点A(3，3)、B(3，1)，反比例函数y＝(k≠0)图象的一支与线段AB有交点，则k的取值范围为 3≤k≤9．
由图，可知k＞0.∵反比例函数y＝(k＞0)的图象与线段AB有交点，且点A(3，3)，B(3，1)，把B (3，1)代入y＝，得k＝3，把A(3，3)代入y＝得，k＝3×3＝9，∴满足条件的k值的范围是3≤k≤9.
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象分别交于点A、B，连结OA、OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝4．
∵反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象均在第一象限内，∴k1＞0，k2＞0.
∵AP⊥x轴，∴S△OAP＝k1，S△OBP＝k2.
∴S△OAB＝S△OAP－S△OBP＝(k1－k2)＝2，
∴k1－k2＝4.
15．已知反比例函数y＝(k为常数，k≠1).
(1)若点A(1，2)在这个函数的图象上，求k的值；
(2)若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
(3)若k＝13，试判断点B(3，4)、C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．
(1)∵点A(1，2)在这个函数的图象上，∴k－1＝1×2，解得k＝3.
(2)∵在函数y＝图象的每一分支上，y随x的增大而增大，∴k－1＜0，解得k＜1.
(3)∵k＝13，∴k－1＝12，∴该反比例函数的表达式为y＝.将点B的坐标代入y＝，可知点B的坐标满足函数关系式，∴点B在函数y＝的图象上；将点C的坐标代入y＝，由5≠6，可知点C的坐标不满足函数关系式，∴点C不在函数y＝的图象上．
16.(创新意识)数学李老师给学生出了这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小斌根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小斌的探究过程，请补充完成．
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是x≠－1．
(2)根据下表所列出y与x的几组对应值，请直接写出m的值，m＝3；
x … －5 －4 －3 －2 － － 0 1 2 m 4 5 …
y … 2 3 －1 0 …
(3)请在平面直角坐标系中，描出以上表中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，写出函数y＝的一条性质．
(1)x＋1≠0，x≠－1.
(2)当y＝＝时，x＝3.
(3)描点，连线，画出图象如图所示．
(4)观察函数图象发现：函数y＝在x＜－1和x＞－1上均随x的增大而增大．16.4.1．反比例函数
1．一般地，形如 (k是 ，k≠0)的函数叫做反比例函数．
2．如果两个变量是反比例函数关系，就可以用 设这个函数的函数关系为y＝(k是常数，k≠0)，再根据条件列出方程求出待定系数 的值，就求出了两个变量之间的函数关系．
考点1?　反比例函数的概念
【典例1】已知y＝(m2＋2m)x|m|-3是关于x的反比例函数，求(m－2)2 026的值．
这是一个由反比例函数定义求待定字母的值的题目，给出的函数表达式是反比例函数，就是要紧扣反比例函数的定义求待定字母的值，应当符合y＝(k是常数，k≠0)的形式，不过它还有两个变形的形式，就是y＝kx-1(k≠0)或xy＝k(k≠0)的形式．列出方程组(可能有方程、也可能有不等式)来解决问题．
【变式训练】
1．已知函数y＝(m－1)xm2－2是反比例函数，则m的值为 ．
考点2?　待定系数法求反比例函数表达式
【典例2】已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求：
(1)y与x之间的函数表达式．
(2)当y＝2时，x的值．
此题考查利用待定系数法求反比例函数的表达式和已知函数值求自变量的值，用待定系数法求出函数的表达式是解题的关键．
【变式训练】
2．已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数．
(1)当z＝－时，y＝6.当x＝6时，z＝4.求y与x之间的函数关系式；
(2)证明y是x的反比例函数．
知识点1?　反比例函数的定义
1．(河南平顶山宝丰期末)下列函数中，表示y是x的反比例函数的是( )
A.x(y＋1)＝1 B．y＝
C．y＝ D．y＝
2．下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是( )
A．正方形的面积S与边长a的关系
B．正方形的周长L与边长a的关系
C．长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系
3．若函数y＝x2m+1为反比例函数，则m的值是( )
A．1 B．0 C．0.5 D．－1
知识点2?　确定反比例函数表达式
4．已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝－ D．y＝或y＝－
5．根据下表中反比例函数的自变量x与函数值y的对应关系，可得p的值为( )
x －2 1
y 3 p
A.3 B．1 C．－2 D．－6
6．已知y与成反比例，当y＝1时，x＝4，则当x＝2时，y＝ ．
易错易混点　基本概念与模型观念不匹配导致错误
7．列出下列问题中的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数．
(1)某农场的粮食总产量为1 500 t，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食量x(t)的函数表达式；
(2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式；
(3)小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式．
8．(海南保亭县期中)函数y＝是反比例函数，则m必须满足( )
A.m≠0 B．m≠－1
C．m≠－1或m≠0 D．m≠－1且m≠0
9．(海南海口琼山区模拟)近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，则y与x的函数表达式为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
10. 已知函数y＝(k＋1)x|k|-3是反比例函数，且正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则k的值为 ．
11．(河南南阳宛城月考)如果A×B＝4.5，那么A和B成 比例关系；如果x÷y＝42÷3.5，那么x和y成 比例关系；如果m∶1.2＝1.5∶n，那么m和n成 比例关系．
12．已知，某个反比例函数的图象经过点M(－2，1).
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当y＝时，求x的值．
13．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x＋2成反比例，且当x＝－1时，y＝3；当x＝3时，y＝7.求x＝－3时，y的值．
14.如图，分别位于反比例函数y＝，y＝在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且＝.求反比例函数y＝的表达式．

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