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16.4.2反比例函数的图象和性质
1．反比例函数y＝的图象是双曲线．反比例函数的图象是中心对称图形也是轴对称图形，坐标原点(0，0)是它的对称中心．
2．反比例函数y＝的性质：
(1)若k>0，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而减小；
(2)若k<0，函数图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而增大．
考点1?　反比例函数的图象
【典例1】正比例函数y＝kx(k≠0)和反比例函数y＝(m为常数，m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则点(m，k)所在的象限是( D )
A.第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：根据函数的图象，得k＜0，m＞0，
故(m，k)在第四象限．
由反比例函数y＝(k≠0)的系数k的正负，就可确定其图象的两个分支所位于的象限；反之由反比例函数y＝的图象的两个分支所位于的象限就可以确定系数k的正负．需注意的是它的系数k，包含了分式前面的符号．反比例函数y＝(k≠0)的图象，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
【变式训练】
1．反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是(D)
考点2?　反比例函数的性质
【典例2】反比例函数y＝的图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是( C )
A．k≤－3 B．k≥－3
C．k＞－3 D．k＜－3
解析：根据题意，可得k＋3＞0，解得k＞－3.
本题考查了反比例函数图象的性质：反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
【变式训练】
2．(河南新乡原阳期中)已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是(D)
A．图象位于第一、三象限
B．图象必经过点(4，)
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小
知识点1?　反比例函数的图象
1．(海南海口期末)在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋k(k是常数，k≠0)，与y＝(k≠0)的图象大致为(A)
2．三角形面积为7 cm2，底边上的高y(cm)与底边x(cm)之间的函数关系的图象大致是(B)
3．如图是函数y＝－1的图象，则关于x的分式方程＝3的解是(D)
A．x＝6
B．x＝0.5
C．x＝2
D．x＝1
由图象，可得点(1，2)在函数图象上，把点(1，2)代入y＝－1得2＝a－1，解得a＝3.＝3，解得x＝1，经检验，x＝1是分式方程的解．
4．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标是(2，3)，则另一个交点的坐标是(D)
A．(2，3) B．(3，2)
C．(－2，3 ) D．(－2，－3)
∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点(2，3)关于原点对称，∴该点的坐标为(－2，－3).
5．若直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝的交点分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则2x1y2－5x2y1的值为6．
知识点2?　反比例函数的性质
6．(河南新乡原阳期中)已知反比例函数y＝，当x<0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y＝－kx＋k的图象经过第(B)
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
7．若函数y＝mx|m|-3是反比例函数，且它的图象在第二、四象限，则m的值为(B)
A．－4 B．－2
C．2 D．2或－2
8．已知反比例函数的图象经过点P(2，－3)，则在每个象限中，其函数值y随x的增大而增大.
设反比例函数的表达式为y＝(k≠0)，∵反比例函数图象过点(2，－3)，∴把(2，－3)代入得－6＝k＜0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内，y随x的增大而增大．
易错易混点　新定义函数变换规律不熟练导致错误
9．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数y＝的图象可能为(D)
10．已知点A(－2，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)均在反比例函数y＝－的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是(B)
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
11．如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝－的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是(D)
A．2 B．4 C．6 D．8
12．已知反比例函数y＝(k＞0)，当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当－2≤x≤－1时，函数y有(B)
A．最大值－2a B．最小值－2a
C．最小值－a D．最大值－
13．(海南海口期末)如图，已知点A(3，3)、B(3，1)，反比例函数y＝(k≠0)图象的一支与线段AB有交点，则k的取值范围为 3≤k≤9．
由图，可知k＞0.∵反比例函数y＝(k＞0)的图象与线段AB有交点，且点A(3，3)，B(3，1)，把B (3，1)代入y＝，得k＝3，把A(3，3)代入y＝得，k＝3×3＝9，∴满足条件的k值的范围是3≤k≤9.
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象分别交于点A、B，连结OA、OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝4．
∵反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象均在第一象限内，∴k1＞0，k2＞0.
∵AP⊥x轴，∴S△OAP＝k1，S△OBP＝k2.
∴S△OAB＝S△OAP－S△OBP＝(k1－k2)＝2，
∴k1－k2＝4.
15．已知反比例函数y＝(k为常数，k≠1).
(1)若点A(1，2)在这个函数的图象上，求k的值；
(2)若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
(3)若k＝13，试判断点B(3，4)、C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．
(1)∵点A(1，2)在这个函数的图象上，∴k－1＝1×2，解得k＝3.
(2)∵在函数y＝图象的每一分支上，y随x的增大而增大，∴k－1＜0，解得k＜1.
(3)∵k＝13，∴k－1＝12，∴该反比例函数的表达式为y＝.将点B的坐标代入y＝，可知点B的坐标满足函数关系式，∴点B在函数y＝的图象上；将点C的坐标代入y＝，由5≠6，可知点C的坐标不满足函数关系式，∴点C不在函数y＝的图象上．
16.(创新意识)数学李老师给学生出了这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小斌根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小斌的探究过程，请补充完成．
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是x≠－1．
(2)根据下表所列出y与x的几组对应值，请直接写出m的值，m＝3；
x … －5 －4 －3 －2 － － 0 1 2 m 4 5 …
y … 2 3 －1 0 …
(3)请在平面直角坐标系中，描出以上表中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，写出函数y＝的一条性质．
(1)x＋1≠0，x≠－1.
(2)当y＝＝时，x＝3.
(3)描点，连线，画出图象如图所示．
(4)观察函数图象发现：函数y＝在x＜－1和x＞－1上均随x的增大而增大．16.4.2反比例函数的图象和性质
1．反比例函数y＝的图象是 ．反比例函数的图象是 图形也是 图形， 是它的对称中心．
2．反比例函数y＝的性质：
(1)若k>0，函数的图象在第 象限，在每个象限内，曲线从左向右 ，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而 ；
(2)若k<0，函数图象在第 象限，在每个象限内，曲线从左向右 ，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而 ．
考点1?　反比例函数的图象
【典例1】正比例函数y＝kx(k≠0)和反比例函数y＝(m为常数，m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则点(m，k)所在的象限是( D )
A.第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
由反比例函数y＝(k≠0)的系数k的正负，就可确定其图象的两个分支所位于的象限；反之由反比例函数y＝的图象的两个分支所位于的象限就可以确定系数k的正负．需注意的是它的系数k，包含了分式前面的符号．反比例函数y＝(k≠0)的图象，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
【变式训练】
1．反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是( )
考点2?　反比例函数的性质
【典例2】反比例函数y＝的图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是( C )
A．k≤－3 B．k≥－3
C．k＞－3 D．k＜－3
本题考查了反比例函数图象的性质：反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
【变式训练】
2．(河南新乡原阳期中)已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是( )
A．图象位于第一、三象限
B．图象必经过点(4，)
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小
知识点1?　反比例函数的图象
1．(海南海口期末)在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋k(k是常数，k≠0)，与y＝(k≠0)的图象大致为( )
2．三角形面积为7 cm2，底边上的高y(cm)与底边x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )
3．如图是函数y＝－1的图象，则关于x的分式方程＝3的解是( )
A．x＝6
B．x＝0.5
C．x＝2
D．x＝1
4．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标是(2，3)，则另一个交点的坐标是( )
A．(2，3) B．(3，2)
C．(－2，3 ) D．(－2，－3)
5．若直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝的交点分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则2x1y2－5x2y1的值为 ．
知识点2?　反比例函数的性质
6．(河南新乡原阳期中)已知反比例函数y＝，当x<0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y＝－kx＋k的图象经过第( )
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
7．若函数y＝mx|m|-3是反比例函数，且它的图象在第二、四象限，则m的值为( )
A．－4 B．－2
C．2 D．2或－2
8．已知反比例函数的图象经过点P(2，－3)，则在每个象限中，其函数值y随x的增大而 .
易错易混点　新定义函数变换规律不熟练导致错误
9．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数y＝的图象可能为( )
10．已知点A(－2，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)均在反比例函数y＝－的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
11．如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝－的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
12．已知反比例函数y＝(k＞0)，当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当－2≤x≤－1时，函数y有( )
A．最大值－2a B．最小值－2a
C．最小值－a D．最大值－
13．(海南海口期末)如图，已知点A(3，3)、B(3，1)，反比例函数y＝(k≠0)图象的一支与线段AB有交点，则k的取值范围为 ．
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象分别交于点A、B，连结OA、OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝ ．
15．已知反比例函数y＝(k为常数，k≠1).
(1)若点A(1，2)在这个函数的图象上，求k的值；
(2)若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
(3)若k＝13，试判断点B(3，4)、C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．
16.(创新意识)数学李老师给学生出了这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小斌根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小斌的探究过程，请补充完成．
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
(2)根据下表所列出y与x的几组对应值，请直接写出m的值，m＝ ；
x … －5 －4 －3 －2 － － 0 1 2 m 4 5 …
y … 2 3 －1 0 …
(3)请在平面直角坐标系中，描出以上表中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，写出函数y＝的一条性质．

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