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16．5　实践与探索
1．两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数 ，而这两个函数关系式可以看成关于x、y的两个 ，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的 ．
2．求反比例函数的图象与一次函数的图象的交点问题，一般我们是把它们的 联立，解方程组，得到的 即是它们的交点坐标．
3．一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程 的解．
4．一次函数y＝kx＋b与x轴的交点坐标是 ，当k＞0时，图象从左向右上升，不等式kx＋b＞0的解集是 ；当k＜0时，图象从左向右下降，不等式kx＋b＞0的解集是 ．
5．解应用题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数．
(2)找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的(一个或几个)相等关系．
(3)设未知数：根据找出的相等关系选择直接或间接设未知数．
(4)列方程(组)：根据确立的等量关系列出方程(组).
(5)解方程(或方程组)：求出未知数的值．
(6)检验：针对结果进行必要的检验．
(7)作答：包括单位名称在内进行完整的答语．
考点1?　一次函数与一元一次方程、不等式的关系
【典例1】　根据一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，写出下列问题的答案：
(1)关于x的方程kx＋b＝0的解是_ _；
(2)关于x的方程kx＋b＝－3的解是_ _；
(3)当x≥0时，y的取值范围是_ _．
一般地，当一次函数y＝kx＋b(k≠0)的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx＋b＝0的解．一次函数y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点坐标是(－，0)，当k>0时，不等式kx＋b＞0的解集是x＞－；当k<0时，不等式kx＋b＞0的解集是x＜－.
【变式训练】
1．如图，已知直线y1＝3x＋1与直线y2＝x－3交于点P.
(1)当x为何值时，y1＝y2；
(2)若y1＜y2时，求x的取值范围．
考点2?　一次函数与二元一次方程组
【典例2】利用函数图象解方程组
两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式，而这两个关系式可以看成关于x，y的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解．
【变式训练】
2．利用一次函数的图象，求方程组的解．
考点3?　一次函数与方案设计问题
【典例3】随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式．
(2)求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？
(3)洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
两个一次函数图象的交点是解答问题的关键，观察交点左右两侧函数图象的高低，用数形结合是解决问题的常用方法．
【变式训练】
3．“每天一杯纯牛奶”已经成为人们生活的健康时尚，市场上对牛奶的需求越发增大．某乳品公司每月均需通过“飞快”快递公司向A地输送一批牛奶．“飞快”公司给出三种运费方案，具体如下：
方案一：每千克运费0.45元，按实际运输质量结算；
方案二：每月收取600元管理费用，再收每千克运费0.15元；
方案三：每月收取1 350元包干，不限运输质量．
设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为y1元，选择方案二时，运费为y2元，选择方案三时，运费为y3元．
(1)请直接写出y1、y2、y3与x之间的函数关系式；
(2)在同一个平面直而坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C、D、E的坐标，并直接写出如何选择方案更合算．
知识点1?　函数与方程(组)、不等式的关系
1．(河南驻马店确山期末)关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx＋b一定过点( )
A.(3，0) B．(7，0)
C．(3，7) D．(7，3)
2．(海南海口期末)若直线y＝2x＋b与x轴交于点A(－2，0)，则方程2x＋b＝0的解是( )
A．x＝－4 B．x＝－2
C．x＝4 D．x＝2
3．一次函数y＝3x＋5的图象与y＝kx＋b的图象相交于点P(－2，n)，则关于x、y的方程组的解是( )
A． B．
C． D．
4．(河南周口西华期末)如图，直线l1：y＝x＋3与直线l2：y＝ax＋b相交于点A(m，4)，则关于x的不等式x＋3≤ax＋b的解集是 ．
知识点2?　函数的实际应用问题
5．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I( )与电阻R(Ω)之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数关系式为( )
A．I＝ B．I＝
C．I＝ D．I＝－
6．(河南洛阳偃师期中)某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时(最低工资)的收入是( )
A．3 100元 B．3 000元
C．2 900元 D．28 00元
7．若一个长方形长为x，宽为y，其面积为2，则y与x之间的函数关系的图象在第 象限．
易错易混点　数形结合思想及代入法不熟练导致解答错误
8．如图，直线l1：y＝x－1与直线l2：y＝－x＋2在同一平面直角坐标系中交于点A(2，1).
(1)直接写出方程组的解是 ．
(2)请判断三条直线y＝x－1，y＝－x＋2，y＝x＋是否经过同一个点，请说明理由．
9．已知关于x、y的二元一次方程组无解，则一次函数y＝kx＋2的图象经过的象限是( )
A．一、二、四 B．二、三、四
C．一、三、四 D．一、二、三
10．(河南周口商水期中)我市某校想种植一块面积为400平方米的长方形草坪，要求两邻边均不小于10米，草坪的一边长y(米)与另一边长x(米)之间的函数关系如图中曲线AB所示，其中AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，连结AB，则四边形ACDB的面积为 平方米．
11．某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做，需要18天才能完成．
(1)求甲、乙两队工作效率分别是多少；
(2)甲队每天工资为3 000元，乙队每天工资为1 400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w(元)与甲队工作天数m(天)的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．
12．“和谐号”火车从车站出发，在行驶过程中速度y(m/s)与时间x(s)的关系如图所示，其中线段BC∥x轴．
(1)当0≤x≤10时，求y关于x的函数表达式；
(2)求点C的坐标．
13．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A(2，5)、B(n，1)两点．
(1)求反比例函数的表达式与n的值；
(2)根据图象直接写出不等式kx＋b－>0时x的取值范围．
14．周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动.11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x(小时)后，到达离家y(千米)的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．
(1)活动中心与小宇家相距 千米，小宇在活动中心活动时间为 小时，他从活动中心返家时，步行用了 小时；
(2)求线段BC所表示的y(千米)与x(小时)之间的函数表达式(不必写出x所表示的范围)；
(3)根据上述情况(不考虑其他因素)，请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．
15．(模型观念)(海南儋州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴、y轴分别相交于点A、点B，连接AB，以AB为边长作正方形ABCD.
(1)求正方形ABCD的面积；
(2)求点D的坐标；
(3)若曲线y＝在第二象限经过点D，过点C作CF⊥y轴于点F，交曲线于点E，求EF的长．16.4.2反比例函数的图象和性质
1．反比例函数y＝的图象是 ．反比例函数的图象是 图形也是 图形， 是它的对称中心．
2．反比例函数y＝的性质：
(1)若k>0，函数的图象在第 象限，在每个象限内，曲线从左向右 ，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而 ；
(2)若k<0，函数图象在第 象限，在每个象限内，曲线从左向右 ，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而 ．
考点1?　反比例函数的图象
【典例1】正比例函数y＝kx(k≠0)和反比例函数y＝(m为常数，m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则点(m，k)所在的象限是( D )
A.第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
由反比例函数y＝(k≠0)的系数k的正负，就可确定其图象的两个分支所位于的象限；反之由反比例函数y＝的图象的两个分支所位于的象限就可以确定系数k的正负．需注意的是它的系数k，包含了分式前面的符号．反比例函数y＝(k≠0)的图象，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
【变式训练】
1．反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是( )
考点2?　反比例函数的性质
【典例2】反比例函数y＝的图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是( C )
A．k≤－3 B．k≥－3
C．k＞－3 D．k＜－3
本题考查了反比例函数图象的性质：反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
【变式训练】
2．(河南新乡原阳期中)已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是( )
A．图象位于第一、三象限
B．图象必经过点(4，)
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小
知识点1?　反比例函数的图象
1．(海南海口期末)在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋k(k是常数，k≠0)，与y＝(k≠0)的图象大致为( )
2．三角形面积为7 cm2，底边上的高y(cm)与底边x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )
3．如图是函数y＝－1的图象，则关于x的分式方程＝3的解是( )
A．x＝6
B．x＝0.5
C．x＝2
D．x＝1
4．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标是(2，3)，则另一个交点的坐标是( )
A．(2，3) B．(3，2)
C．(－2，3 ) D．(－2，－3)
5．若直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝的交点分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则2x1y2－5x2y1的值为 ．
知识点2?　反比例函数的性质
6．(河南新乡原阳期中)已知反比例函数y＝，当x<0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y＝－kx＋k的图象经过第( )
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
7．若函数y＝mx|m|-3是反比例函数，且它的图象在第二、四象限，则m的值为( )
A．－4 B．－2
C．2 D．2或－2
8．已知反比例函数的图象经过点P(2，－3)，则在每个象限中，其函数值y随x的增大而 .
易错易混点　新定义函数变换规律不熟练导致错误
9．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数y＝的图象可能为( )
10．已知点A(－2，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)均在反比例函数y＝－的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
11．如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝－的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
12．已知反比例函数y＝(k＞0)，当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当－2≤x≤－1时，函数y有( )
A．最大值－2a B．最小值－2a
C．最小值－a D．最大值－
13．(海南海口期末)如图，已知点A(3，3)、B(3，1)，反比例函数y＝(k≠0)图象的一支与线段AB有交点，则k的取值范围为 ．
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象分别交于点A、B，连结OA、OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝ ．
15．已知反比例函数y＝(k为常数，k≠1).
(1)若点A(1，2)在这个函数的图象上，求k的值；
(2)若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
(3)若k＝13，试判断点B(3，4)、C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．
16.(创新意识)数学李老师给学生出了这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小斌根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小斌的探究过程，请补充完成．
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
(2)根据下表所列出y与x的几组对应值，请直接写出m的值，m＝ ；
x … －5 －4 －3 －2 － － 0 1 2 m 4 5 …
y … 2 3 －1 0 …
(3)请在平面直角坐标系中，描出以上表中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，写出函数y＝的一条性质．

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