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17．1　平行四边形的性质
1．两组对边分别 的四边形叫做平行四边形．
2．平行四边形是 图形而不是 图形，对称中心是 ．
3．(1)平行四边形的对边 且 ．
(2)平行四边形的对角 ，邻角 ．
4．平行四边形的对角线 ．
考点1?　平行四边形的性质(对角相等)
【典例1】在 ABCD中，如果∠A＋∠C＝140°，那么∠C等于( D )
A.20° B．40° C．60° D．70°
平行四边形的对角相等，邻角互补．
【变式训练】
1．如图，在 ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠EAD＝35°，则∠B的度数为( )
A．35° B．55°
C．65° D．125°
考点2?　平行四边形的性质(对角线互相平分)
【典例2】如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＋BD＝18，AB＝7，则△OCD的周长为( D )
A．12 B．17
C．28 D．16
平行四边形的对边相等，对角线互相平分．
【变式训练】
2．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝12，则边AD的长度x的取值范围是( )
A．2＜x＜6 B．3＜x＜9
C．1＜x＜9 D．2＜x＜8
考点3?　利用平行线的距离相等解决面积问题
【典例3】在图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是( D )
A．平行四边形的面积最大
B．三角形的面积最大
C．梯形的面积最大
D．三个图形的面积都相等
平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等．
【变式训练】
3．(河南南阳内乡期末)如图，P是 ABCD内一点，且S△PAB＝6，S△PAD＝2，则阴影部分的面积为 ．
知识点1?　平行四边形的定义
1．(海南月考)如图，在 ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形(不包括四边形ABCD)的个数共有( )
A.9个 B．8个
C．6个 D．4个
知识点2?　平行四边形的性质
2．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，已知∠D＝50°，则∠AEB的度数为( )
A．28° B．30° C．25° D．20°
3. (河南驻马店遂平期末)在 ABCD中，AB＝AC，∠CAB＝40°，则∠D的度数是( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(河南驻马店泌阳期末)如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线交AB边于点E，若CD＝5，BE＝3，则BC的长为( )
A． B．2 C． D．3
5．(浙江宁波模拟)如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ ．
6．(河南南阳方城期中)如图，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么 ABCD的周长为多少？
7．如图，在 ABCD中，∠A＋∠C＝100°，平行四边形的周长是40 cm，且AB－BC＝6 cm，求平行四边形各边的长和各内角的度数．
8．如图，E是 ABCD的边AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于F，若CD＝6，求BF的长．
易错易混点　没有厘清题意准确添加辅助线导致错误
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点E，点F是边AD上一点，连结BF，若BF＝DF，∠CBE＝α，则∠BFA的度数是( )
A.4α B．3α C．2α D．180°－α
10．(海南文昌期末)如图，M是 ABCD的边AB上任意一点(不与点A、B重合)，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则( )
A．S＝S1＋S2 B．S＞S1＋S2
C．S＜S1＋S2 D．不能确定
11．(海南海口期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O与AD、BC相交于点E，F，若AB＝5，BC＝6，OF＝2，那么四边形ABFE的周长是 ．
12．如图， ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连结AF、CE.
求证：AF∥CE.
14．(河南南阳内乡期中)如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F.
(1)求证：BC＝CF；
(2)若∠1＝5∠2，求∠C的度数．
15．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G.
(1)求证：AF＝DE.
(2)若AD＝16，EF＝12，请求出 ABCD的周长．
【母题P85例8】如图，在 ABCD中，对角线AC＝21 cm，BE⊥AC，垂足为点E，且BE＝5 cm，AD＝7 cm.求AD与BC之间的距离．
【变式】如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC、BD交于点O、E、F分别为OA、OC的中点，连结BE、DE、DF.
(1)求证：BE＝DF；
(2)若BD＝2DC，且DE＝13，BE＝5，求AC的长．
16．(推理能力)(海南海口美兰区期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE.若AE平分∠DAB.
(1)求证：△ABC≌△EAD；
(2)若∠EAC＝25°，求∠AED的度数．17．1　平行四边形的性质
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2．平行四边形是中心对称图形而不是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
3．(1)平行四边形的对边平行且相等．
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补．
4．平行四边形的对角线互相平分．
考点1?　平行四边形的性质(对角相等)
【典例1】在 ABCD中，如果∠A＋∠C＝140°，那么∠C等于( D )
A.20° B．40° C．60° D．70°
解析：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A＋∠C＝140°，∴2∠C＝140°，
∴∠C＝70°.
平行四边形的对角相等，邻角互补．
【变式训练】
1．如图，在 ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠EAD＝35°，则∠B的度数为(B)
A．35° B．55°
C．65° D．125°
考点2?　平行四边形的性质(对角线互相平分)
【典例2】如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＋BD＝18，AB＝7，则△OCD的周长为( D )
A．12 B．17
C．28 D．16
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，
CD＝AB＝7.
∵AC＋BD＝18，
∴OC＋OD＝(AC＋BD)＝×18＝9，
∴OC＋OD＋CD＝9＋7＝16，
∴△OCD的周长为16.
平行四边形的对边相等，对角线互相平分．
【变式训练】
2．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝12，则边AD的长度x的取值范围是(B)
A．2＜x＜6 B．3＜x＜9
C．1＜x＜9 D．2＜x＜8
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝×6＝3，OD＝BD＝×12＝6，
∴边AD的长度x的取值范围是6－3＜x＜6＋3，
即3＜x＜9.
考点3?　利用平行线的距离相等解决面积问题
【典例3】在图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是( D )
A．平行四边形的面积最大
B．三角形的面积最大
C．梯形的面积最大
D．三个图形的面积都相等
解析：设两平行线间的距离为h，
由图，可知平行四边形的面积为4h，三角形的面积为×8h＝4h，梯形的面积为(2＋6)h＝4h，故三个图形的面积都相等．
平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等．
【变式训练】
3．(河南南阳内乡期末)如图，P是 ABCD内一点，且S△PAB＝6，S△PAD＝2，则阴影部分的面积为4．
∵S△PAB＋S△PCD＝S ABCD＝S△ADC，
∴S△ADC－S△PCD＝S△PAB，则S△PAC＝S△ACD－S△PCD－S△PAD＝S△PAB－S△PAD＝6－2＝4.
知识点1?　平行四边形的定义
1．(海南月考)如图，在 ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形(不包括四边形ABCD)的个数共有(B)
A.9个 B．8个
C．6个 D．4个
知识点2?　平行四边形的性质
2．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，已知∠D＝50°，则∠AEB的度数为(C)
A．28° B．30° C．25° D．20°
3. (河南驻马店遂平期末)在 ABCD中，AB＝AC，∠CAB＝40°，则∠D的度数是(D)
A．40° B．50° C．60° D．70°
∵AB＝AC，∠CAB＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝70°.
4．(河南驻马店泌阳期末)如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线交AB边于点E，若CD＝5，BE＝3，则BC的长为(B)
A． B．2 C． D．3
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝5，AB∥CD，AD＝BC，∴AE＝AB－BE＝5－3＝2，∠CDE＝∠AED，∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，∴∠ADE＝∠AED，
∴BC＝AD＝AE＝2.
　
(第4题图) (第5题图)
5．(浙江宁波模拟)如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝70°．
6．(河南南阳方城期中)如图，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么 ABCD的周长为多少？
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.
∵△AOB的周长比△AOD的周长长8，∴(OA＋OB＋AB)－(OA＋OD＋AD)＝AB－AD＝8.又∵AB∶AD＝3∶2，∴AB＝24，AD＝16.∴ ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝80.
7．如图，在 ABCD中，∠A＋∠C＝100°，平行四边形的周长是40 cm，且AB－BC＝6 cm，求平行四边形各边的长和各内角的度数．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D＝180°，
∵∠A＋∠C＝100°，∴∠A＝∠C＝50°，∴∠B＝∠D＝130°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40 cm，∴AB＋BC＝20 cm，
∵AB－BC＝6 cm，∴AB＝13 cm，BC＝7 cm，
∴CD＝13 cm，AD＝7 cm.
8．如图，E是 ABCD的边AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于F，若CD＝6，求BF的长．
∵E是 ABCD的边AD的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AB∥CD，∴∠F＝∠DCE，
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF＝CD＝6，
∴BF＝AB＋AF＝12.
易错易混点　没有厘清题意准确添加辅助线导致错误
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点E，点F是边AD上一点，连结BF，若BF＝DF，∠CBE＝α，则∠BFA的度数是(A)
A.4α B．3α C．2α D．180°－α
如图，连结BD.
∵线段BE垂直平分边CD于点E，
∴BD＝BC，
∴∠CBE＝∠DBE＝α，
∴∠DBC＝∠α.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FDB＝∠CBD＝2α.∵FB＝FD，∴∠FBD＝2α，
∴∠AFB＝∠FBD＋∠FDB＝4α.
10．(海南文昌期末)如图，M是 ABCD的边AB上任意一点(不与点A、B重合)，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则(A)
A．S＝S1＋S2 B．S＞S1＋S2
C．S＜S1＋S2 D．不能确定
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥CD，∴设AB，CD之间的距离为h，则△CMD的面积为S＝DC·h，△ADM的面积为S1＝MA·h，△CBM的面积为S2＝BM·h，∴S1＋S2＝MA·h＋BM·h＝(MA＋BM)·h＝AB·h＝CD·h＝S，∴S，S1，S2的大小关系是S＝S1＋S2.
11．(海南海口期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O与AD、BC相交于点E，F，若AB＝5，BC＝6，OF＝2，那么四边形ABFE的周长是15．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE＝CF，OE＝OF＝2，∴EF＝4，
∴四边形ABFE的周长＝AE＋AB＋BF＋EF＝CF＋AB＋BF＋EF＝AB＋BC＋EF＝5＋6＋4＝15.
12．如图， ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为8．
如图，
连结EF，AE与BF交于点O，∵AB＝AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，
而BO⊥AE，∴AO＝OE，
在Rt△AOB中，AO＝＝4，∴AE＝2AO＝8.
13．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连结AF、CE.
求证：AF∥CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠CBE.
∵BF＝DE，∴BF＋BD＝DE＋BD，即DF＝BE.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴AF∥CE.
14．(河南南阳内乡期中)如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F.
(1)求证：BC＝CF；
(2)若∠1＝5∠2，求∠C的度数．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2＝∠F，∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠CBF，
∴∠F＝∠CBF，∴BC＝CF.
(2)∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠CBF.
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠DEF＝∠2，
∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝5∠2，
∴6∠2＝180°，∴∠2＝30°，∴∠ABC＝60°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠C＋∠ABC＝180°，∴∠C＝180－∠ABC＝180°－60°＝120°.
15．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G.
(1)求证：AF＝DE.
(2)若AD＝16，EF＝12，请求出 ABCD的周长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠AEB＝∠CBE.
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB.
同理，可得DF＝CD，∴AE＝DF，
∴AE－EF＝DF－EF，即AF＝DE；
(2)∵AD＝16，∴AF＋EF＋DE＝16.
∵AF＝DE，EF＝12，
∴AF＋12＋AF＝16，
解得AF＝2，
∴AB＝AE＝AF＋EF＝2＋12＝14，
∴ ABCD的周长为2(AB＋AD)＝2×(14＋16)＝60，即 ABCD的周长为60.
【母题P85例8】如图，在 ABCD中，对角线AC＝21 cm，BE⊥AC，垂足为点E，且BE＝5 cm，AD＝7 cm.求AD与BC之间的距离．
设AD与BC之间的距离为x，则 ABCD的面积等于AD·x.
∵S ABCD＝2S△ABC＝AC·BE，
∴AD·x＝AC·BE，即7x＝21×5.
∴x＝15(cm).
即AD与BC之间的距离为15 cm.
【变式】如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC、BD交于点O、E、F分别为OA、OC的中点，连结BE、DE、DF.
(1)求证：BE＝DF；
(2)若BD＝2DC，且DE＝13，BE＝5，求AC的长．
(1)由题意，知AB∥CD，AB＝CD，AO＝CO，∴∠BAE＝∠DCF.
∵E、F分别为OA、OC的中点，
∴OE＝OF＝AE＝CF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE＝DF；
(2)由(1)，得BE＝DF＝5.
∵BD＝2DC，且DE＝13，
∴OB＝OD＝AB＝DC，
∴△DOC为等腰三角形．
∵F为OC的中点，∴DF⊥CO.
∵BE＝5，∴DF＝5.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF＝＝＝12.
∴AC＝2EF＝2×12＝24.
16．(推理能力)(海南海口美兰区期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE.若AE平分∠DAB.
(1)求证：△ABC≌△EAD；
(2)若∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B，∴∠B＝∠DAE.
在△ABC和△EAD中，
∴△ABC≌△EAD(SAS)；
(2)∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC.
∵AE平分∠DAB(已知)，
∴∠DAE＝∠BAE.
又∵∠DAE＝∠AEB＝∠B，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B，
∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝60°.
∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°，∴∠AED＝85°.

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