资源简介

17．2　平行四边形的判定
1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
4．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
考点1?　平行四边形的判定(边角判定)
【典例1】根据所标数据，不能判断下列四边形ABCD是平行四边形的是( C )
解析：A.∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B．∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C．∵∠ACB＝∠DAC＝40°，∴AD∥BC.
∵AB＝CD，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D．∵∠ACB＝∠CAD＝40°，∴AD∥BC.
∵∠ABD＝∠BDC＝35°，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意．
从线段关系找出对角线和边的对应关系，从角度确定线与线之间的位置关系，解答要点是熟练掌握平行四边形的判定方法．
【变式训练】
1．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加下列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．AB＝AC
B．∠ABD＝∠BDC
C．OB＝OD
D．AC⊥BD
考点2?　平行四边形的判定(痕迹判定)
【典例2】如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连结BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( B )
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行且相等
解析：由作图，知BC＝AD，CD＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等．
从尺规作图描述中抽象线段之间的数量关系，进而利用边的关系确定平行四边形的判定方法．
【变式训练】
2．如图，在△ABC中，∠B＝52°，分别以点A、C为圆心，BC、AB的长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连结AD、CD，则∠D的度数是(D)
A．32° B．38°
C．48° D．52°
知识点1?　平行四边形的判定
1．(河南许昌模拟)在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是(D)
A．对角线互相平分
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．一组对边平行，另一组对边相等
2．(海南澄迈县期中)下面给出的是四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是(D)
A．2∶3∶4∶5 B．3∶3∶4∶4
C．4∶3∶3∶4 D．4∶3∶4∶3
3．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连结AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
4．(河南新乡原阳月考)如图，在四边形ABCD中，EF交AC于点O，分别交CD、AB于点E，F；若OE＝OF，OA＝OC，且DE＝FB.猜想：四边形ABCD的形状？并说明理由．
四边形ABCD是平行四边形．
理由如下：
如图，连结AE，CF.
∵OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴EC∥AF，EC＝AF，
又∵DE＝FB，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
5．如图，在 ABCD中，AF、CE分别是∠BAD、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
∵AF，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，
∴∠EAF＝∠BAF＝∠BAD，
∠FCE＝∠DCE＝∠BCD，
∴∠EAF＝∠FCE＝∠BAF＝∠DCE.
又∠AEC＝∠D＋∠DCE，
∠AFC＝∠B＋∠BAF，
∴∠AEC＝∠AFC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
知识点2?　三角形中位线
6．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点M、N，并步测出MN长约为42米，由此可知A、B间的距离约为多少米(C)
A．21 B．42 C．84 D．90
易错易混点　信息整合混乱导致解答错误
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，甲、乙、丙三位同学判定其为平行四边形的说法如下：甲：若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形；
乙：若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则四边形ABCD是平行四边形；
丙：若AB＝CD，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形．
关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列正确的是(C)
A．仅甲、乙正确 B．仅乙、丙正确
C．仅甲、丙正确 D．甲、乙、丙均正确
甲：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故甲正确；乙：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AD∥BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故乙不正确；丙：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故丙正确．
8．(海南海口琼山区月考)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是(D)
A． B．3
C．3或 D．或
∵AD∥BC，∴①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，此时有t＝9＋3t－12，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，此时有t＝12－9－3t，解得t＝，综上所述，t＝或时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
9．如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E、F，连结BE、FD，请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形DFBE为平行四边形，你添加的条件是DE＝BF(答案不唯一)．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为．
如图，当BC为四边形BECD对角线，
且DE⊥AC时，DE的值最小．
设DE交BC于点O，连结AO，作BH⊥AC于点H.
∵四边形BDCE是平行四边形，
∴BO＝CO.
∵BC＝6，AB＝AC＝5，
∴AO⊥BC，∴BO＝CO＝BC＝3.
在Rt△AOB中，OA＝＝＝4.
∵·AC·BH＝·BC·AO，
即·5·BH＝×6×4，
∴BH＝.
∵BH⊥AC，DE⊥AC，
∴BH∥DE.∵BE∥DH，
∴四边形BHDE是平行四边形，
∴DE＝BH＝.
11．(广东揭阳揭西县期末)已知，如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
连结BD，与AC交于点O，如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，
∴EO＝FO，∴四边形BEDF为平行四边形．
12．(河南三门峡渑池期中)如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是对角线AC上任意两点，且满足AF＝CE，连结DF、BE，若DF＝BE，DF∥BE.求证：
(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
(1)∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF.
在△ADF和△CBE中，
∴△AFD≌△CEB.
(2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，
∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
13．(河南漯河临颍期中)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
(1)∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA，∴AC＝EF.
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，∴AD⊥AB.
又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【母题P103T7】如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连结EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．
如图，连结BD.
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD，EH＝BD.
同理，可得FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
【变式】点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
如图，连结AC.
∵点E、F分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC.
同理，可得HG∥AC，HG＝AC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
14.(推理能力)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连结EB并延长，使BF＝BE，连结EC并延长，使CG＝CE，连结FG、AF.H为FG的中点，连结DH.
(1)求证：四边形AFHD为平行四边形；
(2)若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．
(1)∵BF＝BE，CG＝CE，
∴B、C分别为EF、EG的中点．
∴BC为△FEG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG.
又∵H是FG的中点，
∴FH＝FG，∴BC＝FH.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB.
∵CE＝CB，∴∠BEC＝∠EBC＝75°，
∴∠BCE＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－75°－75°＝30°，
∴∠DCB＝∠DCE＋∠BCE＝10°＋30°＝40°，
∴∠DAB＝40°.17．2　平行四边形的判定
1．两组对边分别 的四边形是平行四边形．
2．两组对边分别 的四边形是平行四边形．
3．一组对边 且 的四边形是平行四边形．
4．对角线 的四边形是平行四边形．
5．三角形的中位线 于第三边，且 第三边的一半．
考点1?　平行四边形的判定(边角判定)
【典例1】根据所标数据，不能判断下列四边形ABCD是平行四边形的是( C )
从线段关系找出对角线和边的对应关系，从角度确定线与线之间的位置关系，解答要点是熟练掌握平行四边形的判定方法．
【变式训练】
1．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加下列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB＝AC
B．∠ABD＝∠BDC
C．OB＝OD
D．AC⊥BD
考点2?　平行四边形的判定(痕迹判定)
【典例2】如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连结BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( B )
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行且相等
从尺规作图描述中抽象线段之间的数量关系，进而利用边的关系确定平行四边形的判定方法．
【变式训练】
2．如图，在△ABC中，∠B＝52°，分别以点A、C为圆心，BC、AB的长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连结AD、CD，则∠D的度数是( )
A．32° B．38°
C．48° D．52°
知识点1?　平行四边形的判定
1．(河南许昌模拟)在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是( )
A．对角线互相平分
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．一组对边平行，另一组对边相等
2．(海南澄迈县期中)下面给出的是四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．2∶3∶4∶5 B．3∶3∶4∶4
C．4∶3∶3∶4 D．4∶3∶4∶3
3．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连结AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．
4．(河南新乡原阳月考)如图，在四边形ABCD中，EF交AC于点O，分别交CD、AB于点E，F；若OE＝OF，OA＝OC，且DE＝FB.猜想：四边形ABCD的形状？并说明理由．
5．如图，在 ABCD中，AF、CE分别是∠BAD、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．
知识点2?　三角形中位线
6．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点M、N，并步测出MN长约为42米，由此可知A、B间的距离约为多少米( )
A．21 B．42 C．84 D．90
易错易混点　信息整合混乱导致解答错误
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，甲、乙、丙三位同学判定其为平行四边形的说法如下：甲：若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形；
乙：若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则四边形ABCD是平行四边形；
丙：若AB＝CD，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形．
关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列正确的是( )
A．仅甲、乙正确 B．仅乙、丙正确
C．仅甲、丙正确 D．甲、乙、丙均正确
8．(海南海口琼山区月考)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是( )
A． B．3
C．3或 D．或
9．如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E、F，连结BE、FD，请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形DFBE为平行四边形，你添加的条件是 ．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 ．
11．(广东揭阳揭西县期末)已知，如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
12．(河南三门峡渑池期中)如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是对角线AC上任意两点，且满足AF＝CE，连结DF、BE，若DF＝BE，DF∥BE.求证：
(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
13．(河南漯河临颍期中)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
【母题P103T7】如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连结EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．
【变式】点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
14.(推理能力)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连结EB并延长，使BF＝BE，连结EC并延长，使CG＝CE，连结FG、AF.H为FG的中点，连结DH.
(1)求证：四边形AFHD为平行四边形；
(2)若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．

展开更多......

收起↑