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18.1.1矩形的性质
1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；矩形也是轴对称图形，有2条对称轴．
3．矩形的四个角都是直角．
4．矩形的对角线相等且互相平分．
考点1?　矩形的性质
【典例1】 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE∶∠EDC＝3∶2，则∠BDE的度数为( C )
A.36° B．27° C．18° D．9°
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD.
∵∠ADE∶∠EDC＝3∶2，
∴∠ADE＝90°×＝54°.
∵DE⊥AC于点E，
∴∠DAE＝90°－54°＝36°.
∵OA＝OD，∴∠BDA＝∠OAD＝36°，
∴∠BDE＝∠ADE－∠ADO＝54°－36°＝18°.
矩形的四个角都为90度，对角线互相平分且相等，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形．
【变式训练】
1．如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点E，交AC于点F，连结EF，以点F为圆心，EF长为半径画弧，与弧BE交于点G，作射线AG交BC于点H，若AD＝8，BH＝3，则AH的长为(C)
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
∵以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点E，交AC于点F，
又以点F为圆心，EF长为半径画弧，与BE交于点G，
∴FG＝FE，AB＝AF＝AE＝AG.
在△AGF和△AEF中，
∴△AGF≌△AEF(SSS)，∴∠EAF＝∠GAF.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝8，
∴∠EAF＝∠ACB，∴∠GAF＝∠ACB，即∠HAC＝∠ACH，
∴HA＝HC.∵HC＝BC－BH＝8－3＝5，
∴AH＝5.
考点2?　矩形性质与转化思想的综合应用
【典例2】 (山东济南市中区模拟)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E、F是AE的中点，连结OF，若AB＝OB＝1，则FO的长度为( D )
A. B．－1
C． D．
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠ABC＝∠BAD＝90°.
∵AB＝OB＝1，∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OC＝1，∴AC＝2OA＝2，
∴在Rt△ABC中，
BC＝＝＝.
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，
∴∠BEA＝90°－∠BAE＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝1，
∴EC＝BC－BE＝－1.
∵F是AE的中点，O是AC的中点，
∴FO＝EC＝.
考查矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识的综合应用．
【变式训练】
2．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，在DE上取点F，使得EF＝2，连结CF，以CF为腰作等腰直角三角形CFG，点G恰好落在BE边上，则BG的长为2．
如图，过点G作GN⊥BC交BC于点N，交AD于点M.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝∠D＝90°，AD∥BC，AB＝CD，
∴MN⊥AD，
∴四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD.
∵BE平分∠ABC，
∴∠GBN＝∠GBA＝∠AEB＝45°，
∴△BNG，△EMG是等腰直角三角形，
∴ME＝MG，NG＝NB.
∵△CFG是等腰直角三角形，
∴GF＝CF，∠GFC＝90°，
∴∠MFG＋∠DFC＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°，
∴∠MFG＝∠DCF.
在△GMF和△FDC中，
∴△GMF≌△FDC(AAS)，
∴FM＝CD＝ME＋EF＝ME＋2＝MG＋GN，
∴GN＝2＝BN，
∴在Rt△BNG中，BG＝＝＝2.
知识点　矩形的定义及性质
1．(河南新乡长垣期中)关于矩形的性质，以下说法不正确的是(C)
A.四个角都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．(海南定安县期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB＝25°，则∠AOB的大小是(C)
A．130° B．65°
C．50° D．25°
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝∠OBC＋∠ACB＝25°＋25°＝50°.
3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的平分线交BC于点E，若∠AOB＝α，则用α表示∠OAE为(B)
A． B．45°－
C．45°－a D．90°－α
4．(湖南长沙期末)如图，四边形ABCD，AEFC都是矩形，而且点B在边EF上，其中AB＝2，BC＝2AB，则矩形AEFC的面积为8．
5．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，又E，F分别是边AB，CD的中点，
∴DF＝BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF.
易错易混点　矩形中的面积关系转化不明致错
6．如图，在矩形内画了一些直线，把矩形分成八块，已知其中三块的面积(如图)，那么图中阴影部分的面积是(A)
A．97 B．84
C．62 D．48
由图，可知S△ABC＝S矩形BCDF，
∴13＋①＋49＋35＋②＝S矩形BCDF.
∵①＋阴影部分面积＋②＝S矩形BCDF，
∴阴影部分面积＝13＋49＋35＝97.
7．(海南海口期末)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，AB＝4，则BE等于(C)
A．4 B．5 C．6 D．7
∵四边形ABCD是矩形，CD＝AB＝4，
∴OA＝OB＝OD＝OC.
∵CE垂直平分OD，∴CO＝CD＝4，OE＝DE，
∴OB＝DC＝OD＝4，∴OE＝DE＝OD＝2，
∴BE＝OB＋OE＝4＋2＝6.
8．(海南海口期末)如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD，AC＝4，则四边形OCED的周长为(B)
A．6 B．8 C．10 D．12
∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形ODEC为平行四边形，∴DE＝OC，CE＝OD.∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，OC＝OA＝AC＝2，OB＝OD＝BD，
∴OD＝OC＝2，∴DE＝CE＝2，
∴四边形OCED的周长为8.
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内一点F处，连结CF，则CF的长为(D)
A． B． C． D．
如图，连结BF，交AE于点H，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝＝5，
∴BH＝，则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝＝.
10．如图所示是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝9，AD＝8，E为边AB上的一点，AE＝5，点P在矩形ABCD的一边上．要使△AEP是等腰三角形，则△AEP的底边长为5或3或5．
如图所示，点P的位置有三种情况．
①当PE＝AE＝5，即点P位于P1的位置时.
∵BE＝AB－AE＝9－5＝4，∠B＝90°，
∴P1B＝＝3，
∴底边AP1＝＝3；
②当AP＝AE＝5时，
∵∠BAD＝90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE＝＝5；
③当PA＝PE，即点P位于P2的位置时，底边AE＝5.
综上所述，等腰三角形AEP的底边长为5或3或5.
11．(海南琼海期中)如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，EF⊥CE交AB于F，且CE＝EF.
(1)求证：△AEF≌△DCE；
(2)若DE＝2，矩形ABCD的周长为16，求AE的长．
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∴∠AEF＋∠AFE＝90°，∵EF⊥CE，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC.
在△AEF和△DCE中，
∴△AEF≌△DCE(AAS)；
(2)∵△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.
∵矩形ABCD的周长为16，
∴2(AD＋CD)＝16.∵DE＝2，
∴2(AE＋2＋AE)＝16，∴AE＝3.
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAC交BC于点E，若AB＝6，BC＝8，求OE的长．
由题意，得AC＝BD＝＝10，
∴OA＝OC＝AC＝5.
如图，过点E作EH⊥AC于点H，
∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，EH⊥AC，
∴EB＝EH.
在Rt△ABE和Rt△AHE中，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE(HL)，
∴AB＝AH＝6，
∴CH＝AC－AH＝10－6＝4，
∴OH＝OC－CH＝5－4＝1.
设EB＝EH＝x，则CE＝BC－BE＝8－x，
在Rt△CHE中，EH2＋CH2＝CE2，即x2＋42＝(8－x)2，
解得x＝3，即EH＝3.
在Rt△OHE中，EH＝3，OH＝1，
∴OE＝＝＝.
【母题P113T3】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15.求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．(提示：记对角线AC与BD的交点为点O，连结OP)
如图，连结OP，过点P作PE⊥AC交AC于点E，作PF⊥AC交AC于点F.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠ABC＝90°，
S△AOD＝S矩形ABCD，
∴OA＝OD＝AC.
∵AB＝8，BC＝15，
∴AC＝＝17，S△AOD＝S矩形ABCD＝×8×15＝30，∴OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△APO＋S△DPO＝OA·PE＋OD·PF＝OA·(PE＋PF)＝×(PE＋PF)＝30，∴PE＋PF＝，
∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是.
【变式】
如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连结PB、PD.若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为(B)
A.10　　　 B．12　　　
C．16　　　 D．18
如图，作PM⊥AD于M，延长MP交BC于N，
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，MP＝AE＝DF＝2，又∵四边形ABCD是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×6＝6，
∴S阴＝6＋6＝12.
13．(推理能力)(河南商丘民权期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝15，E为AD边上一点，DE＝6，动点P从点B出发，以3个单位长度/秒做匀速运动，运动到点C时停止运动．设运动时间为t，
(1)当t为多少秒时，四边形APCE是平行四边形？
(2)当t为多少秒时，点P在EC的垂直平分线上？
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝15，
由题意，可知BP＝3t，
∴PC＝BC－BP＝15－3t，
∵DE＝6，∴AE＝AD－DE＝9，
∴AE＝PC时，四边形APCE是平行四边形，
∴9＝15－3t，解得t＝2，
∴当t为2 s时，四边形APCE是平行四边形．
(2)如图，连结PE，过点P作PF⊥AD于F，
∴AF＝BP＝3t，EF＝9－3t，PC＝15－3t，
在Rt△EFP中，
EF2＋PF2＝PE2，
∴92＋(9－3t)2＝(15－3t)2，解得t＝.
∴当t为 s时，点P在EC的垂直平分线上．18.1.1矩形的性质
1．有一个角是 的平行四边形叫做矩形．
2．矩形是中心对称图形，对称中心是 ；矩形也是轴对称图形，有 条对称轴．
3．矩形的四个角都是 ．
4．矩形的对角线 且 ．
考点1?　矩形的性质
【典例1】 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE∶∠EDC＝3∶2，则∠BDE的度数为( C )
A.36° B．27° C．18° D．9°
矩形的四个角都为90度，对角线互相平分且相等，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形．
【变式训练】
1．如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点E，交AC于点F，连结EF，以点F为圆心，EF长为半径画弧，与弧BE交于点G，作射线AG交BC于点H，若AD＝8，BH＝3，则AH的长为( )
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
考点2?　矩形性质与转化思想的综合应用
【典例2】 (山东济南市中区模拟)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E、F是AE的中点，连结OF，若AB＝OB＝1，则FO的长度为( D )
A. B．－1
C． D．
考查矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识的综合应用．
【变式训练】
2．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，在DE上取点F，使得EF＝2，连结CF，以CF为腰作等腰直角三角形CFG，点G恰好落在BE边上，则BG的长为 ．
知识点　矩形的定义及性质
1．(河南新乡长垣期中)关于矩形的性质，以下说法不正确的是( )
A.四个角都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．(海南定安县期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB＝25°，则∠AOB的大小是( )
A．130° B．65°
C．50° D．25°
3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的平分线交BC于点E，若∠AOB＝α，则用α表示∠OAE为( )
A． B．45°－
C．45°－a D．90°－α
4．(湖南长沙期末)如图，四边形ABCD，AEFC都是矩形，而且点B在边EF上，其中AB＝2，BC＝2AB，则矩形AEFC的面积为 ．
5．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF.
易错易混点　矩形中的面积关系转化不明致错
6．如图，在矩形内画了一些直线，把矩形分成八块，已知其中三块的面积(如图)，那么图中阴影部分的面积是( )
A．97 B．84
C．62 D．48
7．(海南海口期末)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，AB＝4，则BE等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．(海南海口期末)如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD，AC＝4，则四边形OCED的周长为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内一点F处，连结CF，则CF的长为( )
A． B． C． D．
10．如图所示是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝9，AD＝8，E为边AB上的一点，AE＝5，点P在矩形ABCD的一边上．要使△AEP是等腰三角形，则△AEP的底边长为 ．
11．(海南琼海期中)如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，EF⊥CE交AB于F，且CE＝EF.
(1)求证：△AEF≌△DCE；
(2)若DE＝2，矩形ABCD的周长为16，求AE的长．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAC交BC于点E，若AB＝6，BC＝8，求OE的长．
【母题P113T3】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15.求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．(提示：记对角线AC与BD的交点为点O，连结OP)
【变式】
如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连结PB、PD.若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为( )
A.10　　　 B．12　　　
C．16　　　 D．18
13．(推理能力)(河南商丘民权期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝15，E为AD边上一点，DE＝6，动点P从点B出发，以3个单位长度/秒做匀速运动，运动到点C时停止运动．设运动时间为t，
(1)当t为多少秒时，四边形APCE是平行四边形？
(2)当t为多少秒时，点P在EC的垂直平分线上？

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