资源简介

18.1.2矩形的判定
1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．有三个角是直角的四边形是矩形．
3．对角线相等的平行四边形是矩形．
4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5．一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形．
考点　矩形的判定
【典例】依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( A )
解析：A.∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意；
B．∵∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C．∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC.
∵AD＝BC＝4，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D．∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC＝5，∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意．
矩形的判定方法共有三种：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形，本题的解答关键是勾股定理逆定理的应用．
【变式训练】　
我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是(A)
A．测量是否有三个角是直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否互相垂直
知识点1?　矩形的判定
1．下列条件中能判定一个平行四边形为矩形的是(D)
①对角线互相平分　②对角线互相垂直　③对角线相等　④一组邻边相等　⑤一个角为直角
A．①④ B．②④ C．①② D．③⑤
2．(河南新乡长垣模拟)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC.下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4.其中正确的有(B)
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①②③④
3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是∠A＝90°. (填上你认为正确的一个答案即可)
4．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．
5．(海南文昌期中)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且AO＝BO.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AD＝2，∠AOD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(1)∵在平行四边形ABCD中，∴AC＝2OA，BD＝2OB.∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OD＝BD，∠DAB＝90°，∵∠AOD＝60°，∴△ODA是正三角形，
∴OD＝AD＝2，∴BD＝2OD＝4，∴AB＝＝＝2，∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝2×2＝4.
知识点2?　直角三角形斜边上的中线
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于点F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于(D)
A．30° B．40° C．50° D．60°
易错易混点　忽略题干中给出的条件导致选判错误
7．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与BC、AD交于点E、F，连结BO、CF，若AB＝BO，BE＝EO，则下列结论中错误的是(D)
A．∠BAO＝60° B．AC⊥EF
C．OF＝DF D．AB＝2BE
∵在矩形ABCD中，O为AC的中点，
∴OA＝OB＝OC.又∵AB＝BO，∴AB＝OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，故A选项正确，不符合题意；如图所示，连结AE，
在△ABE和△AOE中，∴△ABE≌△AOE(SSS)，∴∠ABE＝∠AOE，∠BAE＝∠OAE＝∠BAO＝30°.∵在矩形ABCD中，∠ABE＝90°，∴∠AOE＝90°，
∴AC⊥EF，故B选项正确，不符合题意；在Rt△ABE中，∵∠BAE＝∠BAO＝30°，∠ABE＝90°，∴AE＝2BE，∴AB＝＝BE，故D选项错误，符合题意；∵OC＝AB，AB＝CD，
∴OC＝DC.又∵CF＝CF，∴Rt△OCF≌Rt△DCF(HL)，∴OF＝DF，故C选项正确，不符合题意．
8．(河南商丘永城期末)如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形AEFD是矩形的是(D)
A．EF＝AD B．∠AEB＝∠DFC
C．BE＝CF D．∠DAE＝∠AEF
9．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
甲：1.以点C为圆心，AB长为半径画弧； 2．以点A为圆心，BC长为半径画弧； 3．两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1).
图1
乙：1.连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M. 2．连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2).
图2
对于两人的作业，下列说法正确的是(A)
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
由甲同学的作业，可知CD＝AB，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴ ABCD是矩形．∴甲的作业正确．由乙同学的作业，可知CM＝AM，MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴ ABCD是矩形，∴乙的作业正确．
10．小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框ABCD中，AD＝2，DC＝4，洞口M位于AD的中点处，圆柱形通道EF＝1，一个小球从洞口M出发，经过通道EF后，到达洞口C.若通道EF可以在线段AB上水平移动，则小球经过的路径ME＋EF＋FC的最小值为3＋1．
如图，作出点M关于AB的对称点P，连结EP，将EP向右平移1个单位长度至FQ，连结PQ、CQ，分别延长PQ、CB相交于点G，
由轴对称的性质，得ME＝PE，AM＝AP，由平移的性质，得PE＝FQ，PQ＝EF＝1，
当Q、F、C三点共线时，QF＋FC的值最小，
此时，ME＋EF＋FC的值最小．
∵在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，洞口M位于AD的中点处，∴AD＝BC＝2，AP＝AM＝AD＝×2＝1.
∵PG∥AB，AP∥BG，∠PAB＝90°，
∴四边形APGB是矩形，∴BG＝AP＝1，PG＝AB＝4，
∴QG＝PG－PQ＝3，CG＝CB＋BG＝3，
∴CQ＝＝3，
即ME＋EF＋FC的最小值为3＋1.
11．(江苏镇江句容市期末)如图，在 ABCD中，E是AD的中点，连结BE，BE、CD的延长线相交于点F，连结AF、BD.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若∠BEA＋2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠FDE.
∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
∴△BEA≌△FED(ASA)，∴AB＝DF，
又AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠C.
∵∠BEA＋∠BAE＋∠ABE＝180°，∠BEA＋2∠C＝180°，
∴∠BAE＝∠ABE，∴BE＝AE.
由(1)知，四边形ABDF是平行四边形，
∴BE＝BF.
∵AE＝AD，∴BF＝AD，∴平行四边形ABDF是矩形．
12．(海南模拟)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连结DE，BF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若BD＝EF，连结EB、DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(SAS).
(2)四边形EBFD是矩形．
理由：如图．
∵OD＝OB，OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵BD＝EF，∴四边形EBFD是矩形．
【母题P117例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E.求证：四边形ADCE是矩形．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
又∵AE是△ABC的外角∠CAF平分线，
∴∠FAE＝∠CAF＝(∠B＋∠ACB)＝∠B.∴AE∥BC.
又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE.
∴AC＝DE，AE＝DC.
又∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
【变式】在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连结AF、BF.
(1)求证：四边形EBFD是矩形．
(2)若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB.
∵CF＝AE，
∴CD－CF＝AB－AE，
即DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，
∴ BEDF是矩形．
(2)∵DE⊥AB，
∴在Rt△ADE中，
AD＝＝＝5.
∵DF＝5，∴AD＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA.
∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.
13.(推理能力)如图1，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M、N为垂足．
(1)求证：AM＝CN；
(2)如图2，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E、F，使BE＝DF，连结AE、AF、CF、CE，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并加以证明．
图1　　　　　 　 　图2
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠ADM＝∠CBN.
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴∠AMD＝∠CNB＝90°，
在△AMD和△CNB中，
∴△AMD≌△CNB，∴AM＝CN.
(2)猜想：当EF＝AC时，四边形AECF是矩形．
证明：由(1)得△AMD≌△CNB，∴DM＝BN.
∵BE＝DF，∴DM＋DF＝BN＋BE，
即MF＝NE.
在△AMF和△CNE中，
∴△AMF≌△CNE，
∴AF＝CE，∠AFE＝∠CEF，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．又EF＝AC，
∴四边形AECF是矩形．18.1.2矩形的判定
1．有一个角是 的平行四边形叫做矩形．
2．有三个角是 的四边形是矩形．
3．对角线 的平行四边形是矩形．
4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ．
5．一个三角形一边上的中线等于该边的 ，那么这个三角形是一个直角三角形．
考点　矩形的判定
【典例】依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( A )
矩形的判定方法共有三种：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形，本题的解答关键是勾股定理逆定理的应用．
【变式训练】　
我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是( )
A．测量是否有三个角是直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否互相垂直
知识点1?　矩形的判定
1．下列条件中能判定一个平行四边形为矩形的是( )
①对角线互相平分　②对角线互相垂直　③对角线相等　④一组邻边相等　⑤一个角为直角
A．①④ B．②④ C．①② D．③⑤
2．(河南新乡长垣模拟)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC.下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4.其中正确的有( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①②③④
3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 . (填上你认为正确的一个答案即可)
4．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
5．(海南文昌期中)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且AO＝BO.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AD＝2，∠AOD＝60°，求矩形ABCD的面积．
知识点2?　直角三角形斜边上的中线
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于点F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
易错易混点　忽略题干中给出的条件导致选判错误
7．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与BC、AD交于点E、F，连结BO、CF，若AB＝BO，BE＝EO，则下列结论中错误的是( )
A．∠BAO＝60° B．AC⊥EF
C．OF＝DF D．AB＝2BE
8．(河南商丘永城期末)如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形AEFD是矩形的是( )
A．EF＝AD B．∠AEB＝∠DFC
C．BE＝CF D．∠DAE＝∠AEF
9．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
甲：1.以点C为圆心，AB长为半径画弧； 2．以点A为圆心，BC长为半径画弧； 3．两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1).
图1
乙：1.连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M. 2．连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2).
图2
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
10．小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框ABCD中，AD＝2，DC＝4，洞口M位于AD的中点处，圆柱形通道EF＝1，一个小球从洞口M出发，经过通道EF后，到达洞口C.若通道EF可以在线段AB上水平移动，则小球经过的路径ME＋EF＋FC的最小值为 ．
11．(江苏镇江句容市期末)如图，在 ABCD中，E是AD的中点，连结BE，BE、CD的延长线相交于点F，连结AF、BD.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若∠BEA＋2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形．
12．(海南模拟)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连结DE，BF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若BD＝EF，连结EB、DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
【母题P117例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E.求证：四边形ADCE是矩形．
【变式】在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连结AF、BF.
(1)求证：四边形EBFD是矩形．
(2)若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
13.(推理能力)如图1，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M、N为垂足．
(1)求证：AM＝CN；
(2)如图2，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E、F，使BE＝DF，连结AE、AF、CF、CE，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并加以证明．
图1　　　　　 　 　图2

展开更多......

收起↑