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18.2.1菱形的性质
1．有一组 相等的平行四边形是菱形．
2．菱形的四条边 ．
3．菱形的对角线 ．并且每一条对角线平分 ．
考点1?　菱形的性质
【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E、F分别是CB、CD上两点，连结AE、AF、EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是( D )
A.∠CEF＝α
B．∠FAD＝60°－α
C．∠EFC＝60°－α
D．∠AFD＝90°－α
菱形的对角相等，对角线平分一组对角．
【变式训练】
1．如图，在菱形ABCD中，E是对角线BD上的点，且DE＝DC，O为BD的中点，连结CE、CO.若∠ABC＝80°.则∠OCE的度数为( )
A．16° B．20° C．24° D．28°
考点2?　菱形性质与数学思想的综合应用
【典例2】如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM＋PN的值为( C )
A． B． C． D．
菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底边与高的乘积；在菱形中，若出现线段之和，需要通过等积法进行转换．
【变式训练】
2．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连结FG，则FG的最小值为( )
A．2.4 B．3 C．4.8 D．4
知识点　菱形的性质
1．(河南新乡长垣模拟)菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A.邻边相等 B．对边相等
C．对角相等 D．是中心对称图形
2．(河南南阳期末) 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )
A．18 B．20 C．24 D．40
3．(安徽安庆宿松县模拟)如图，一块三角板放在一张菱形纸片上，斜边与菱形的一边平行，则∠1的度数是( )
A．45° B．50°
C．60° D．75°
4．(海南定安县期末)已知在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝12，则菱形ABCD的面积为( )
A．72 B．24 C．48 D．96
5．(河南南阳新野期末)如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝ .
6．(海南海口琼山区三模)如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，它们相交于点E，∠DBC＝60°，BD＝6，点F为BC中点，则EF的长为 ．
7．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD、AD的中点，连结AE、CF，求证：△ADE≌△CDF.
易错易混点　多结论问题中信息整合能力不足导致错误
8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，＝，BE＝1，F是BC的中点．现有下列四个结论：①DE＝3；②四边形DEBC的面积等于9；③(AC＋BD)·(AC－BD)＝80；④DF＝DE.其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．(河南新郑期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝4，将△CDO沿点D到点B的方向平移，得到△C′D′O′，当点D′与点B重合时，点D与点C′之间的距离为( )
A．6 B．10 C．8 D．12
10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠ADF等于( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为 ．
12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
13．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．
14.(推理能力)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝150°，AB＝4.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)若P为对角线BD上一点，PM⊥BC，PN⊥CD交DC的延长线于点N，垂足分别为点M、N，求PM＋PN.18.2.1菱形的性质
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．菱形的四条边都相等．
3．菱形的对角线互相垂直．并且每一条对角线平分一组对角．
考点1?　菱形的性质
【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E、F分别是CB、CD上两点，连结AE、AF、EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是( D )
A.∠CEF＝α
B．∠FAD＝60°－α
C．∠EFC＝60°－α
D．∠AFD＝90°－α
解析：连结AC，如图．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝BC，AB∥CD，
∴∠B＋∠BCD＝180°.
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠D＝60°，∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ACF＝∠B＝∠CAD＝60°.
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAC－∠CAE＝∠EAF－∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAF＝α，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，∠FAD＝60°－α，
∴AE＝AF.
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，
∵∠AFC＝∠FAD＋∠D，
∴∠EFC＝∠FAD＝60°－α，
∴∠CEF＝α，不能证出∠AFD＝90°－α.
菱形的对角相等，对角线平分一组对角．
【变式训练】
1．如图，在菱形ABCD中，E是对角线BD上的点，且DE＝DC，O为BD的中点，连结CE、CO.若∠ABC＝80°.则∠OCE的度数为(B)
A．16° B．20° C．24° D．28°
考点2?　菱形性质与数学思想的综合应用
【典例2】如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM＋PN的值为( C )
A． B． C． D．
解析：如图，连结PD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴AO＝CO＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝3，∠AOD＝∠COD＝90°，
∴AD＝CD＝＝5.
∵S△ACD＝S△APD＋S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴AC·OD＝AD·PM＋CD·PN，
∴8×3＝5(PM＋PN)，∴PM＋PN＝.
菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底边与高的乘积；在菱形中，若出现线段之和，需要通过等积法进行转换．
【变式训练】
2．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连结FG，则FG的最小值为(A)
A．2.4 B．3 C．4.8 D．4
如图，连结OE.∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD＝BD＝3，OC＝AC＝4，
∵由勾股定理，得CD＝＝＝5，
又∵EF⊥OC，EG⊥OD，
∴四边形OFEG为矩形，
∴GF＝OE，
∵当OE⊥CD时，OE值最小，
∴此时GF值最小．
S△OCD＝OC·OD＝CD·OE，
∴OE＝＝＝2.4，∴FG的最小值为2.4.
知识点　菱形的性质
1．(河南新乡长垣模拟)菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(A)
A.邻边相等 B．对边相等
C．对角相等 D．是中心对称图形
2．(河南南阳期末) 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是(B)
A．18 B．20 C．24 D．40
3．(安徽安庆宿松县模拟)如图，一块三角板放在一张菱形纸片上，斜边与菱形的一边平行，则∠1的度数是(C)
A．45° B．50°
C．60° D．75°
4．(海南定安县期末)已知在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝12，则菱形ABCD的面积为(C)
A．72 B．24 C．48 D．96
5．(河南南阳新野期末)如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝110°.
6．(海南海口琼山区三模)如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，它们相交于点E，∠DBC＝60°，BD＝6，点F为BC中点，则EF的长为3．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°.
∵∠DBC＝60°，∴△BDC是等边三角形，
∴BC＝BD＝6.
∵点F为BC中点，∴EF＝BC＝3.
7．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD、AD的中点，连结AE、CF，求证：△ADE≌△CDF.
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，
∵点E，F分别为边CD，AD的中点，
∴AD＝2DF，CD＝2DE，∴DE＝DF，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF.
易错易混点　多结论问题中信息整合能力不足导致错误
8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，＝，BE＝1，F是BC的中点．现有下列四个结论：①DE＝3；②四边形DEBC的面积等于9；③(AC＋BD)·(AC－BD)＝80；④DF＝DE.其中正确结论的个数为(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
∵＝，设DE＝3k，则AE＝4k.
∵DE⊥AE，∴AD＝5k，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD＝5k，∴BE＝k＝1，
∴AB＝CD＝5，DE＝3.故①正确；
∴S梯形DEBC＝×(1＋5)×3＝9，故②正确；
如图，连结BD，AC，
则∠ABD＝∠CBD.
∵DE＝3，EB＝1，DE⊥AB，
∴DB＝.
又∵S ABCD＝AB×DE＝5×3＝15，
S ABCD＝×BD×AC，
∴15＝××AC，
∴AC＝3，
∴(AC＋BD)(AC－BD)＝AC2－BD2＝(3)2－()2＝90－10＝80.故③正确；
如图，作DH⊥BC于点H.
∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠ABD＝∠CBD，
∴DE＝DH.又DH＜DF，∴DE＜DF.故④错误．所以①②③正确．
9．(河南新郑期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝4，将△CDO沿点D到点B的方向平移，得到△C′D′O′，当点D′与点B重合时，点D与点C′之间的距离为(A)
A．6 B．10 C．8 D．12
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝4，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝6，OB＝BD＝2，
∴∠AOB＝90°
∵△CDO沿由点D到点B的方向平移，
得到△C′D′O′，当点D′与点B重合，
∴O′C′＝OC＝OA＝6，O′B＝OB＝2，
∠C′O′B＝∠AOB＝90°，
∴DO′＝BD＋O′B＝6，
∴DC′＝＝＝6.
10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠ADF等于(D)
A．25° B．30° C．35° D．40°
如图，
连结BF，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，∴∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝×80°＝40°，在△ABF和△ADF中，
∴△ABF≌△ADF，
∴BF＝DF.∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF，
∴BF＝DF＝AF，∴∠ADF＝∠DAF＝40°.
如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，AC⊥BD，
∴AD＝AB＝＝13，
∵DH⊥AB，∴AO·BD＝DH·AB，
∴12×10＝13DH，
∴DH＝，
∴BH＝＝.
12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，由勾股定理可得AD＝CD＝5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，
∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.
13．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．
(1)如图，连结AC，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC.
(2)点F是线段BC的中点．
理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AE＝EC，∠CEF＝60°，
∴∠EAC＝∠BAC＝30°，
∴AF是△ABC的角平分线．
∵AF交BC于点F，∴AF是△ABC的BC边上的中线，
∴点F是线段BC的中点．
14.(推理能力)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝150°，AB＝4.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)若P为对角线BD上一点，PM⊥BC，PN⊥CD交DC的延长线于点N，垂足分别为点M、N，求PM＋PN.
(1)如图，过点A作AE⊥CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，CD＝AD＝AB＝4，
∴∠ADE＝180°－∠BAD＝180°－150°＝30°.
在Rt△AED中，AE＝AD＝2，
∴S菱形ABCD＝CD×AE＝4×2＝8，
即菱形ABCD的面积为8；
(2)如图，延长NP，交AB于点F.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC.
∵PN⊥CD，即∠BFN＝∠FND＝90°，
∴PN⊥AB.
∵P为对角线BD上一点，PM⊥BC，
∴PF＝PM，则PM＋PN＝PF＋PN＝FN.
∵AE⊥CD，PN⊥CD，∴FN∥AE.
∵AB∥DC，∴四边形AENF是平行四边形，
∴PM＋PN＝FN＝AE＝2.

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