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18.2.2菱形的判定
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．四条边都相等的四边形是菱形．
3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
考点1?　菱形的判定(基本判定)
【典例1】 根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是( C )
解析：A.∵图中标注角的三角形不是等腰三角形，∴平行四边形的邻边不相等，不能判定为菱形，故选项A不符合题意；
B．由图中数据，可知平行四边形的邻边不相等，不能判定为菱形，故选项B不符合题意；
C．∵62＋82＝102，∴平行四边形的对角线互相垂直，∴能判定为菱形，故选项C符合题意；
D．∵图中标注角的三角形不是直角三角形，平行四边形的对角线不能互相垂直，不能判定为菱形，故选项D不符合题意．
从题干中整合信息，获取四边相等或对角线互相垂直平分的条件进行判断．
【变式训练】
1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是(B)
A．对角线互相平分的四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形
考点2?　菱形的判定(痕迹判定)
【典例2】 如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连结AC，BC，AB，OC.若AB＝3 cm，四边形AOBC的面积为12 cm2，则OC的长为( B )
A．5 cm B．8 cm
C．10 cm D．4 cm
解析：根据作图，知OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形．
∵AB＝3 cm，棱形OACB的面积为12 cm2，
∴AB·OC＝×3×OC＝12，解得OC＝8 cm.
从尺规作图痕迹的描述得出线段关系，在判定菱形的前提下，再利用菱形的性质进行解答．
【变式训练】
2．(海南海口期末)如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，连结CD.则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是菱形.
考点3?　菱形的判定(条件开放性)
【典例3】 如图，在 ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)请添加一个条件，使四边形BFDE为菱形，并证明．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C.
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解：当BF＝FD时，四边形BFDE是菱形．
(答案不唯一)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝CF，
∴AD－AE＝BC－CF，
即DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵BF＝FD，
∴四边形BFDE是菱形．
开放性问题中只需选取一个合适的条件解答即可，不必逐一列举；另外题干中标注的条件要认真研读，切勿画蛇添足．
【变式训练】
3．如图，点E、F分别在 ABCD的边BC、AD上，连结AE、CF，AE∥CF，连结AC、EF相交于点O，请你从以下选项：①AE＝CE；②OA＝OC；③AC⊥EF；④OE＝OF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形AECF是菱形．
(1)你选择的补充条件是①或③；(填序号)
(2)根据你选择的补充条件，写出四边形AECF是菱形的证明过程．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
补充条件①AE＝CE：∵四边形AECF是平行四边形，AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
补充条件③AC⊥EF：∵四边形AECF是平行四边形，AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形．
知识点　菱形的判定
1．(海南海口期末)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，则下列条件能判定该四边形是菱形的是(D)
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．AB∥CD D．AC，BD互相平分
2．(河南南阳宛城二模)一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，下列拼成的四边形中，不是菱形的是(D)
3．四个点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③AC⊥BD；④AD＝BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有(D)
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．如图，四边形ABCD内有一点E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，则∠BAD的大小是(B)
A．25° B．50°
C．60° D．80°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．
如图，连结CE交AB于点O.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，
BC＝3，
∴AB＝＝＝5.
若平行四边形CDEB为菱形，
则CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB.
∵S△ACB＝AB·OC＝AC·BC，
∴OC＝＝.
在Rt△BOC中，根据勾股定理，得OB＝＝＝，
∴AD＝AB－DB＝AB－2OB＝.
6．如图，四边形ABCD是平行四边形．点M、N分别在AB、AD上，且AM＝AN，BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB.点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E，则图中的菱形共有3个.
7．(河南周口太康期末)如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF.连结DE、DF、BE、BF.
求证：四边形BEDF是菱形．
∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，
∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF，∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，DA＝BC，∴△DAE≌△BCF，∴DE＝BF，同理可证△DCF≌△BAE，∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．
易错易混点　缺乏信息整合能力导致判选错误
8．已知如图，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连结AB′，B′D和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是(B)
A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙
C．只有甲、乙 D．只有甲
根据题意，可知AD＝B′C′，AD∥B′C′，∴四边形AB′C′D是平行四边形．方案甲，∵AB′＝DC′，∴不能判断四边形AB′C′D是菱形；方案乙，
∵B′D⊥AC′，∴平行四边形AB′C′D是菱形；方案丙，∵∠A′C′B′＝∠A′C′D，AD∥B′C′，
∴∠DAC′＝∠A′C′B′，∴∠DAC′＝∠AC′D，
∴AD＝C′D，
∴平行四边形AB′C′D是菱形．所以正确的是乙和丙．
9．如图，在 ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是(D)
A．AM＝AN
B．MN⊥AC
C．MN是∠AMC的平分线
D．∠BAD＝120°
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AD＝BC，
∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠DCN＝∠DCB，∠BAM＝∠BAD，
∴∠BAM＝∠DCN，在△ABM和△CDN中，
∴△ABM≌△CDN，∴AM＝CN，BM＝DN，
∵AD＝BC，∴AN＝CM，∴四边形AMCN是平行四边形，根据∠BAD＝120°不能推出平行四边形AMCN是菱形．
10．如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下，则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为(C)
甲：连结AC，作AC的垂直平分线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形.
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
A．仅甲正确 B．仅乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
设AC与EF的交点为点O，首先证明△AOE≌△COF，可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定出四边形AECF是菱形，故甲的作法正确；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的性质，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形，故乙的作法正确．
11．(河南安阳汤阴县期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.求证：四边形EBFC是菱形．
∵AB＝AC，AH⊥CB，
∴BH＝HC，
∵FH＝EH，
∴四边形EBFC是平行四边形，又∵AH⊥CB，
∴四边形EBFC是菱形．
12．将两张完全相同的矩形纸片ABCD，FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG.
(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．
(1)四边形DHBG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD，FBED是完全相同的矩形，
∴∠A＝∠E＝90°，AD＝ED，AB＝EB.在△DAB和△DEB中，
∴△DAB≌△DEB，
∴∠ABD＝∠EBD.∵AB∥CD，DF∥BE，
∴四边形DHBG是平行四边形，
∠HDB＝∠EBD，
∴∠HDB＝∠HBD，
∴DH＝BH，∴ DHBG是菱形．
(2)由(1)，设DH＝BH＝x，则AH＝8－x，在Rt△ADH中，由勾股定理，得AD2＋AH2＝DH2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即BH＝5，∴菱形DHBG的面积为HB·AD＝5×4＝20.
【母题P134T5】如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD相交于点O，AC＋BD＝q.求菱形ABCD的面积．(提示：利用两数和的平方公式(AC＋BD)2＝AC2＋2·AC·BD＋BD2和勾股定理)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD.
∵菱形ABCD的周长为2p，
∴AB＝p，
∴OA2＋OB2＝AB2＝(p)2＝p2.
∵OA＋OB＝(AC＋BD)＝q，
∴(OA＋OB)2＝q2，
∴OA2＋OB2＋2OA·OB＝q2，
∴2OA·OB＝q2－p2，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝2OA·OB＝(q2－p2).
【变式】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连结OE.
(1)求证：OE＝CB；
(2)如果OC∶OB＝2∶1，CD＝，求菱形ABCD的面积．
(1)∵O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OCEB是平行四边形．
又∵AC⊥BD，∴∠COB＝90°，
∴平行四边形OCEB是矩形，∴OE＝CB；
(2)∵四边形ABCD是菱形，OC∶OB＝2∶1，CD＝，
∴AC⊥BD，BC＝CD＝，OC＝2OB，AC＝2OC，BD＝2OB.
在Rt△BOC中，由勾股定理，得
BC2＝OC2＋OB2，
即5＝(2OB)2＋OB2，解得OB＝1，
∴CO＝2，∴AC＝4，BD＝2，
∴S菱形ABCD＝BD·AC＝4.
13.(推理能力)如图，在菱形ABCD中．
(1)点E、F在AC所在直线上，分别从A、C两点同时出发，以相同的速度相向而行，求证：两点相遇前，四边形EBFD是菱形；
(2)M、N两点分别从A、B两点沿直线AC同时出发，以相同的速度背向而行，求证：在任意时刻所得到的四边形MBND是菱形．
(1)如图，连结BD，与AC相交于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵E，F同时出发，速度相同，∴AE＝CF，∴OE＝OF，
∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．
(2)∵M，N同时从A，C出发，速度相同，∴AM＝CN，由(1)得OB＝OD，OA＝OC，∴OM＝ON，∵OD＝OB，∴四边形MBND是平行四边形，又∵MN⊥BD，∴四边形MBND是菱形．18.2.2菱形的判定
1．有一组 相等的平行四边形是菱形．
2．四条边都相等的 是菱形．
3．对角线互相垂直的 是菱形．
考点1?　菱形的判定(基本判定)
【典例1】 根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是( C )
从题干中整合信息，获取四边相等或对角线互相垂直平分的条件进行判断．
【变式训练】
1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )
A．对角线互相平分的四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形
考点2?　菱形的判定(痕迹判定)
【典例2】 如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连结AC，BC，AB，OC.若AB＝3 cm，四边形AOBC的面积为12 cm2，则OC的长为( )
A．5 cm B．8 cm
C．10 cm D．4 cm
从尺规作图痕迹的描述得出线段关系，在判定菱形的前提下，再利用菱形的性质进行解答．
【变式训练】
2．(海南海口期末)如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，连结CD.则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 .
考点3?　菱形的判定(条件开放性)
【典例3】 如图，在 ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)请添加一个条件，使四边形BFDE为菱形，并证明．
开放性问题中只需选取一个合适的条件解答即可，不必逐一列举；另外题干中标注的条件要认真研读，切勿画蛇添足．
【变式训练】
3．如图，点E、F分别在 ABCD的边BC、AD上，连结AE、CF，AE∥CF，连结AC、EF相交于点O，请你从以下选项：①AE＝CE；②OA＝OC；③AC⊥EF；④OE＝OF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形AECF是菱形．
(1)你选择的补充条件是 ；(填序号)
(2)根据你选择的补充条件，写出四边形AECF是菱形的证明过程．
知识点　菱形的判定
1．(海南海口期末)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，则下列条件能判定该四边形是菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．AB∥CD D．AC，BD互相平分
2．(河南南阳宛城二模)一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，下列拼成的四边形中，不是菱形的是( )
3．四个点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③AC⊥BD；④AD＝BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．如图，四边形ABCD内有一点E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，则∠BAD的大小是( )
A．25° B．50°
C．60° D．80°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ 时，平行四边形CDEB为菱形．
6．如图，四边形ABCD是平行四边形．点M、N分别在AB、AD上，且AM＝AN，BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB.点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E，则图中的菱形共有 个.
7．(河南周口太康期末)如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF.连结DE、DF、BE、BF.
求证：四边形BEDF是菱形．
易错易混点　缺乏信息整合能力导致判选错误
8．已知如图，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连结AB′，B′D和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是( )
A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙
C．只有甲、乙 D．只有甲
9．如图，在 ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是( )
A．AM＝AN
B．MN⊥AC
C．MN是∠AMC的平分线
D．∠BAD＝120°
10．如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下，则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为( )
甲：连结AC，作AC的垂直平分线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形.
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
A．仅甲正确 B．仅乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
11．(河南安阳汤阴县期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.求证：四边形EBFC是菱形．
12．将两张完全相同的矩形纸片ABCD，FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG.
(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．
【母题P134T5】如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD相交于点O，AC＋BD＝q.求菱形ABCD的面积．(提示：利用两数和的平方公式(AC＋BD)2＝AC2＋2·AC·BD＋BD2和勾股定理)
【变式】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连结OE.
(1)求证：OE＝CB；
(2)如果OC∶OB＝2∶1，CD＝，求菱形ABCD的面积．
13.(推理能力)如图，在菱形ABCD中．
(1)点E、F在AC所在直线上，分别从A、C两点同时出发，以相同的速度相向而行，求证：两点相遇前，四边形EBFD是菱形；
(2)M、N两点分别从A、B两点沿直线AC同时出发，以相同的速度背向而行，求证：在任意时刻所得到的四边形MBND是菱形．

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