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18．3　正方形
1．有一个角是 且有一组 相等的平行四边形是正方形．
2．正方形具有平行四边形 ：
边：四条边 ；
角：四个角 ；
对角线：对角线 、每条对角线分每个内角为 度的角．
3．有一个角是直角的 是正方形．
4．有一组邻边相等的 是正方形．
考点1?　正方形的性质
【典例1】 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上的一点(不与点C、D重合)，连结BE，BF平分∠ABE，交AD边于点F，试判断线段AF、CE和BE之间的数量关系，并说明理由．
正方形具有特殊四边形的一切性质，在猜想线段关系的时候，要注意全等转换和45°角性质的应用，此外要先阐明结论，再叙述理由．
【变式训练】
1．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B、A、C两顶点在直线l两侧，过点A、C分别作AE⊥直线l，CF⊥直线l，垂足分别为E、F.求证：EF＝AE－CF.
考点2?　正方形的判定
【典例2】如图，在Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A作AB⊥CE的延长线于B，过点A作AD⊥CF的延长线于D.求证：四边形ABCD是正方形．
在证明一个四边形是正方形时，一般有三条思路：一是按定义，在已知平行四边形的情况下，再找一组邻边相等、一个角是直角；二是先证明是矩形，再找一组邻边相等或对角线垂直；三是先证明是菱形，再找有一个角是直角或对角线相等．
【变式训练】
2．如图，在矩形ABCD中，AD＝2CD，E是AD的中点，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
知识点1?　正方形的性质
1．(河南模拟)正方形具有而菱形不具有的性质是( )
A.对角线平分一组对角
B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分
D．四条边相等
2．
如图，在正方形ABCD中，在BA延长线上取一点E，使BE＝BD，连结DE，则∠EDA的度数为( )
A．10° B．15°
C．30° D．22.5°
3．正方形面积为36，则对角线的长为( )
A．6 B．6 C．9 D．9
4．如图，若两个正方形边长分别为2、a(a＞2)，则图中阴影部分的面积为 ．
5．(广东东莞模拟)将对角线分别为5 cm和8 cm的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 cm.
知识点2?　正方形的判定
6．(海南陵水县期末)下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形ABCD是正方形的是( )
7．数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答符号可以代表的内容．
如图，四边形ABCD是平行四边形，
①当※时，平行四边形ABCD是矩形；
②当◎时，平行四边形ABCD是矩形；
③当▲时，平行四边形ABCD是菱形；
④当时，平行四边形ABCD是正方形．
则回答不正确的是( )
A．※可以代表∠ABC＝90°
B．◎可以代表AC＝BD
C．▲可以代表AB＝BC
D．可以代表AC⊥BD
8．已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，请你添加一个条件 ，使四边形BECF是正方形．
10．(海南三亚期末)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点E，作EF⊥AB，EH⊥BC，垂足分别为F、H.求证：四边形BHEF是正方形．
易错易混点　逻辑推理能力不足导致多结论判断错误
11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作射线OM、ON分别交边BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，连结EF.给出下面四个结论：
①△BOE≌△COF；②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
④BE2＋CE2＝OE2.上述结论中，所有正确的序号是 ．
12．(河南驻马店汝阳月考)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连结BF、DE，则BF＋DE的最小值为( )
A．8 B．4
C．4 D．4
13．(河南南阳桐柏期末)如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在DC、BC上，BF＝CE＝4，连结AE、DF，AE与DF相交于点G，连结AF，取AF的中点H，连结GH, 则GH的长为 .
14．在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是 .
如图，在正方形ABCD中，E是DC边的中点，FG⊥AE分别交AD、BC边于点F、G.若AB＝4，则FG的长为 ．
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
【母题P139T4】如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，求CH的长．(保留根号)
【变式】(山东聊城期中)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在AB边上，点F在OD上，过点E作EG⊥BD，垂足为点G，若EF⊥CF，OF＝，则BE的长为( )
A．　　　　　　　　　B．2
C．2 D．3
17.(推理能力)(1)将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，如图1.求证：四边形AEA′D是正方形；
(2)将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B′处，得到折痕EF，B′C′交AB于点M，如图2.线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．18．3　正方形
1．有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
2．正方形具有平行四边形所有的性质：
边：四条边都相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等且互相垂直平分、每条对角线分每个内角为45度的角．
3．有一个角是直角的菱形是正方形．
4．有一组邻边相等的矩形是正方形．
考点1?　正方形的性质
【典例1】 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上的一点(不与点C、D重合)，连结BE，BF平分∠ABE，交AD边于点F，试判断线段AF、CE和BE之间的数量关系，并说明理由．
解：AF＋CE＝BE.理由：如图所示，过点B作BG⊥BE，与DA的延长线交于点G.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝BC，AD∥BC，∴∠ABE＋∠CBE＝90°.
∵BG⊥BE，
∴∠GBE＝∠ABG＋∠ABE＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE.
在△CBE和△ABG中，
∴△CBE≌△ABG(ASA)，
∴CE＝AG，BE＝BG.
∵BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠EBF.
∵∠ABG＝∠CBE，
∴∠ABG＋∠ABF＝∠CBE＋∠EBF，
即∠GBF＝∠CBF.
∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠GBF，∴BG＝GF＝BE，
∴AF＋CE＝AF＋AG＝GF＝BE.
正方形具有特殊四边形的一切性质，在猜想线段关系的时候，要注意全等转换和45°角性质的应用，此外要先阐明结论，再叙述理由．
【变式训练】
1．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B、A、C两顶点在直线l两侧，过点A、C分别作AE⊥直线l，CF⊥直线l，垂足分别为E、F.求证：EF＝AE－CF.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC.∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE.∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF，BE＝CF，∴AE－CF＝BF－BE＝EF，即EF＝AE－CF.
考点2?　正方形的判定
【典例2】如图，在Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A作AB⊥CE的延长线于B，过点A作AD⊥CF的延长线于D.求证：四边形ABCD是正方形．
证明：作AG⊥EF于G，如图所示，
∴∠AGE＝∠AGF＝90°.
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE，
∠B＝∠AGE＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．
在证明一个四边形是正方形时，一般有三条思路：一是按定义，在已知平行四边形的情况下，再找一组邻边相等、一个角是直角；二是先证明是矩形，再找一组邻边相等或对角线垂直；三是先证明是菱形，再找有一个角是直角或对角线相等．
【变式训练】
2．如图，在矩形ABCD中，AD＝2CD，E是AD的中点，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵在矩形ABCD中，AD＝2CD，E是AD的中点，
∴AE＝AB＝DE＝DC.
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴BE＝CE，∠AEB＝∠DEC＝45°，
∴∠BEC＝180°－∠AEB－∠DEC＝90°，
∴平行四边形BECF是正方形．
知识点1?　正方形的性质
1．(河南模拟)正方形具有而菱形不具有的性质是(B)
A.对角线平分一组对角
B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分
D．四条边相等
2．
如图，在正方形ABCD中，在BA延长线上取一点E，使BE＝BD，连结DE，则∠EDA的度数为(D)
A．10° B．15°
C．30° D．22.5°
3．正方形面积为36，则对角线的长为(B)
A．6 B．6 C．9 D．9
4．如图，若两个正方形边长分别为2、a(a＞2)，则图中阴影部分的面积为a2－a＋2．
5．(广东东莞模拟)将对角线分别为5 cm和8 cm的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为2cm.
知识点2?　正方形的判定
6．(海南陵水县期末)下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形ABCD是正方形的是(B)
7．数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答符号可以代表的内容．
如图，四边形ABCD是平行四边形，
①当※时，平行四边形ABCD是矩形；
②当◎时，平行四边形ABCD是矩形；
③当▲时，平行四边形ABCD是菱形；
④当时，平行四边形ABCD是正方形．
则回答不正确的是(D)
A．※可以代表∠ABC＝90°
B．◎可以代表AC＝BD
C．▲可以代表AB＝BC
D．可以代表AC⊥BD
8．已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(D)
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，请你添加一个条件AC＝BC，使四边形BECF是正方形．
添加条件：AC＝BC.理由如下：
∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF.
∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠EBC＝45°，
∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形，
故答案为AC＝BC.
10．(海南三亚期末)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点E，作EF⊥AB，EH⊥BC，垂足分别为F、H.求证：四边形BHEF是正方形．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.又EF⊥AB，EH⊥BC，∴四边形BHEF是矩形．
∵BE是∠ABC的平分线，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF＝EH，∴矩形BHEF是正方形．
易错易混点　逻辑推理能力不足导致多结论判断错误
11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作射线OM、ON分别交边BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，连结EF.给出下面四个结论：
①△BOE≌△COF；②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
④BE2＋CE2＝OE2.上述结论中，所有正确的序号是①②③．
①∵四边形ABCD为正方形，对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OC＝OD，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BCD＝90°，∠BOC＝90°，
∴∠BOE＋∠COE＝90°.∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＋∠COF＝90°，∴∠BOE＝∠COF.
在△BOE和△COF中，
∴△BOE≌△COF(ASA)，故结论①正确；
②由①的结论正确，得△BOE≌△COF，
∴CF＝BE，故结论②正确；
③由①的结论正确，得△BOE≌△COF，
∴S△BOE＝S△COF，
∴S四边形CEOF＝S△COF＋S△OCE＝S△BOE＋S△OCE＝S△OBC.
∵四边形ABCD为正方形，
∴S△BCD＝S正方形ABCD.
∵OB＝OD，∴S△OBC＝S△BCD＝S正方形ABCD，
∴S四边形CEOF＝S正方形ABCD，故结论③正确；
④由结论②正确，得CF＝BE，
在Rt△CEF中，由勾股定理，
得CF2＋CE2＝EF2，
∴BE2＋CE2＝EF2，
在Rt△OEF中，∵∠EOF＝90°，∴EF为斜边，
∴EF＞OE，
∴EF2＞OE2，∴BE2＋CE2＞OE2，故结论④不正确，
综上所述，正确的结论是①②③.
12．(河南驻马店汝阳月考)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连结BF、DE，则BF＋DE的最小值为(D)
A．8 B．4
C．4 D．4
连结AE，如图1，
　　
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF，∴AE＝BF.
∴BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值，
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连结BH，则A，B，H三点共线，
连结DH，DH与BC的交点即为所求的点E，
根据对称性可知AE＝HE，
∴AE＋DE＝DH.
在Rt△ADH中，AH＝AB＋BH＝4＋4＝8，
∴DH＝＝＝4.
∴BF＋DE最小值为4.
13．(河南南阳桐柏期末)如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在DC、BC上，BF＝CE＝4，连结AE、DF，AE与DF相交于点G，连结AF，取AF的中点H，连结GH, 则GH的长为.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE＝∠C＝90°，AD＝DC＝BC，
∵BF＝CE，∴CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
∴△ADE≌△DCF.
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠DAE＋∠DEA＝90°，
∴∠CDF＋∠DEA＝90°，
∴∠AGF＝∠DGE＝90°
∵点H为AF的中点，
∴GH＝AF，
∵AB＝6，BF＝4，
∴AF＝＝＝2，
∴GH＝.
14．在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是①③④.
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确．
如图，在正方形ABCD中，E是DC边的中点，FG⊥AE分别交AD、BC边于点F、G.若AB＝4，则FG的长为2．
过点B作BN∥GF交AD于点N，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠BAN＝∠D＝90°，
∴四边形BGFN是平行四边形，
∴BN＝GF.
∵AE⊥FG，BN∥GF，∴BN⊥AE，
∴∠BNA＋∠EAD＝90°.
∵∠AED＋∠EAD＝90°，
∴∠BNA＝∠AED.
在△AED和△BNA中，
∴△AED≌△BNA(AAS)，∴AE＝BN＝FG.
∵E是DC边的中点，∴DE＝CE＝DC＝2，
∴AE＝＝＝2，
∴FG＝2.
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
(1)在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵AD＝CD，∴BC＝AD, ∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180°×＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
【母题P139T4】如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，求CH的长．(保留根号)
∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.
延长AD交EF于点M，连结AC、CF，如图，
则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－ME＝EF－AB＝3－1＝2，∠AMF＝90°.
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°.
∵H为AF的中点，∴CH＝AF.
在Rt△AMF中，由勾股定理，
得AF＝＝＝2，
∴CH＝AF＝.
【变式】(山东聊城期中)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在AB边上，点F在OD上，过点E作EG⊥BD，垂足为点G，若EF⊥CF，OF＝，则BE的长为(B)
A．　　　　　　　　　B．2
C．2 D．3
∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∠ABD＝∠CDB＝45°，AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB∥CD.如图，
作FM⊥AB于点M，延长MF交CD于点N，作FH⊥AD于点H，则∠AMF＝∠AHF＝∠FND＝∠FHD＝∠MAH＝∠NDH＝∠FME＝∠FNC＝90°，∴MF＝AH.∵∠CDB＝45°，∴△DFN为等腰直角三角形，∴FN＝DN，∴DN＝HD，
∴AD－DH＝CD－DN，即AH＝CN，
∴MF＝CN.∵EF⊥CF，
∴∠CFE＝90°，
∴∠MFE＋∠CFN＝90°，∠CFN＋∠FCN＝90°，
∴∠MFE＝∠FCN.∵∠FME＝∠CNF＝90°，
∴△FME≌△CNF(ASA)，∴EF＝FC.∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠COF＝90°，∴∠EFG＋∠CFO＝90°，∠CFO＋∠FCO＝90°，∴∠EFG＝∠FCO.∵EG⊥BD，∴∠EGF＝∠FOC＝90°.∵EF＝FC，
∴△EFG≌△FCO(AAS)，
∴EG＝FO＝.∵∠ABD＝45°，EG⊥BG，
∴△EBG为等腰直角三角形，
∴EG＝BG＝，
∴BE＝＝2.
17.(推理能力)(1)将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，如图1.求证：四边形AEA′D是正方形；
(2)将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B′处，得到折痕EF，B′C′交AB于点M，如图2.线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，
∴AD＝A′D, AE＝A′E，
∠ADE＝∠A′DE＝45°，
∵AB∥CD，∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′E＝A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A＝90°，∴四边形AEA′D是正方形；
(2)MC′＝ME .
如图1，连结C′E，由(1)，知 AD＝AE，
图1
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，
由折叠，知B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
又EC′＝C′E，
在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′(HL)，
∴∠C′EA＝∠EC′B′，
∴MC′＝ME.

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