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19.1.3中位数和众数
1．将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数．当数据为奇数个时，中位数就是最中间的那个数；当数据为偶数个时，中位数即为最中间的两个数的平均数．
2．一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．
考点1?　中位数
【典例1】杜鹃花是苍南县的县花，品种多样，“春鹃”是其中的一种．某兴趣小组对7株“春鹃”的花径(cm)进行测量，记录所得数据为：5.5，5.7，5.5，5.6，5.8，5.7，5.8，则这7株“春鹃”花径的中位数为( C )
A.5.5 cm B．5.6 cm
C．5.7 cm D．5.8 cm
解析：把数据从小到大排列为5.5，5.5，5.6，5.7，5.7，5.8，5.8，则这组数据的中位数为5.7 cm.
(1)找中位数的方法是：①将数据从小到大或从大到小排列；②看这组数据是奇数个还是偶数个；③若这组数据的个数是奇数，则处于最中间的数据是这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则处于最中间的两个数据的平均数是这组数据的中位数；(2)中位数的优势在于受极端值的影响极小，故当一组数据中的个别数据的变化较大时，可用中位数描述其平均水平；(3)中位数的缺点在于不能充分利用数据的信息．
【变式训练】
1．下面是九年级一班23名女同学每分钟仰卧起坐的测试情况统计表：
个数/个 35 38 42 45 48
人数 3 5 7 4 4
则该班女同学每分钟仰卧起坐个数的中位数是(C)
A．35个 B．38个
C．42个 D．45个
考点2?　众数
【典例2】(浙江模拟)某厂30名工人一天包装某种商品的数量(百件)统计如下：
商品数量 10 11 14 15
人数 3 13 10 4
从该表格中我们可以得到工人包装某种商品的数量的众数是( B )
A.众数是10 B．众数是11
C.众数是14 D．众数是15
解析：由表可得，商品数量为11的最多，∴众数是11.
(1)众数是描述一组数据集中趋势的量，属于定量数据．(2)众数的大小只与这组数据中的个别数据有关，它一定是这组数据中的某个数据．(3)众数不一定唯一，可能是一个或几个，也可能没有．
【变式训练】
2．在一次数学测试中，第5小组同学的分数(分)分别是85，63，101，85，85，101，72，则这组数据的众数是(C)
A.63 B．72
C.85 D．101
考点?　选择统计量描述数据
【典例3】公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄(岁)如下：
甲 13 13 14 15 15 15 15 16 17 17
乙 3 4 4 5 5 6 6 6 54 57
请问：(1)甲群游客年龄的平均数是_15_，中位数是_15_，众数是_15_，其中能较好地反映甲群游客年龄的特征的是_平均数，中位数，众数_；
(2)乙群游客年龄的平均数是_15_，中位数是_5.5_，众数是_6_，其中能较好地反映乙群游客年龄特征的是_中位数，众数_．
解析：(1)甲群游客的平均年龄是×(13×2＋14＋15×4＋16＋17×2)＝15岁，中位数是15岁，众数是15岁，其中能较好地反映甲群游客年龄特征的是平均数，中位数，众数；
(2)乙群游客的平均年龄是×(3＋4×2＋5×2＋6×3＋54＋57)＝15岁，中位数是5.5岁，众数是6岁，其中能较好地反映乙群游客年龄特征的是中位数，众数．
中位数、众数、平均数都是反映一组数据平均程度的数据代表．平均数的大小与每个数据都有关；众数是出现次数最多的数据，而中位数仅与数据的排列位置有关．就是说，反映数据的平均程度，若极端值太大(或太小)，平均数就不能较好地反映平均程度，这时可选择中位数或众数；若极端值和其他数据的大小差不多，则平均数、中位数、众数都可以反映平均程度．
【变式训练】
3．如图是青岛市某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是(C)
A．这五天中，温差最大的是5月1号
B．这五天中，每日最低气温的众数是12 ℃
C．这五天中，每日最高气温的中位数是20 ℃
D．这五天中，每日最高气温的平均数为18.6 ℃
知识点1?　中位数
1．(河南濮阳期末)爱好运动的小颖同学利用“微信运动”这一公众号，连续记录了一周每天的步数(万步)分别为：1.3，1.4，1.7，1.4，1.4，1.8，1.6，则这组数据的中位数是(B)
A.1.3 B．1.4 C．1.6 D．1.7
2．(海南一模)在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80.这组数据的中位数是(B)
A．77 B．79 C．79.5 D．80
3．(海南陵水县期末)《奇迹再现》是一首充满激情与正能量的歌曲，歌词激励人心，旋律欢快激昂．以下是摘自歌曲简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是(B)
A．1 B．2 C．5 D．7
当中出现的音符从低到高排列为0，1，1，1，1，1，1，2，5，5，6，7，7，7，7，排在最中间的数是2，因此中位数为2.
4．为将中华优秀传统文化融入学校教育教学，积极引导青少年从小学习中华优秀传统文化知识，培养审美鉴赏和创造能力，筑牢中华优秀传统文化根基．某学校计划开展中小学生中华优秀传统文化知识竞赛．并对八年级(1)班的50名学生竞赛成绩进行了调查，统计结果如表所示．
分数(分) 90 92 94 96 98 100
人数(人) 4 10 11 13 9 3
在本次调查中，八年级(1)班这50名学生竞赛成绩的中位数是95分．
知识点2?　众数
5．某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为(C)
A.75 B．86 C．89 D．90
6．(河南安阳期末)费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄(岁)：32，35，29，33，40，35，则这组数据的中位数和众数分别是(A)
A.34，35 B．34，33
C.35，35 D．35，34
7．(河南南阳内乡期末)某学校为培养学生的节约意识，在暑期开展了“节约用水，从我做起”的主题活动，开学后从七年级300名学生中选出20名学生统计各自家庭一个月的节水情况，结果如表，则这组数据的众数是(C)
节水量/m3 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50
家庭数/个 2 4 4 8 2
A.0.2　　　B．4　　　C．0.40　　　D．8
8．一次体检中，某班学生视力情况如下表：
视力情况 0.7以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0以上
人数所占 的百分比 5% 8% 15% 20% 40% 12%
从表中看出全班视力情况的众数是1.0．
易错易混点　基本概念整合较弱导致解答失误
9．某校首届校园模拟电子射击比赛中，小宇和小轩两人在相同条件下各射击6次，命中的环数(环)如下：
小宇：7，9，8，6，9，8；
小轩：10，5，6，9，m，9，
如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么小轩的第五次成绩m是7环．
将命中的环数从小到大重新排序，小宇：6，7，8，8，9，9；∴小宇比赛成绩的中位数是(8＋8)÷2＝8；∵两人的比赛成绩的中位数相同，∴小轩比赛成绩的中位数是8；分析可知，小轩比赛成绩由小到大的排序为5，6，m，9，9，10，∴＝8，解得m＝7.
10．
(河南商丘虞城期末)在一次献爱心的捐款活动中，九(2)班50名同学捐款金额如图所示，则在这次捐款活动中，该班同学捐款金额的众数和平均数分别是(C)
A．20，16.2 B．20，17.1
C．10，16.2 D．10，17.1
11．(河南许昌期末)为落实“双减”，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量(道)，具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19.根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的(C)
A．最大数据 B．众数
C．中位数 D．平均数
这组数据的中位数是10，众数是8，平均数是≈11.56，最大数据是19，因此将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的中位数．
12．(海南琼中县期末)一组正整数2，3，4，x从小到大排列，已知这组数据的中位数和平均数相等，那么x的值是5．
13．(上海静安区模拟)数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是80分．
14．在节目《中国诗词大会》中，除才女武亦姝实力超群之外，其他选手的实力也不容小觑．以下是随机抽取的10名挑战者答对的题目数量的统计表，这10名挑战者答对题目数量的中位数和众数分别是5，5.
人数 3 4 2 1
答对题数 4 5 7 8
在这一组数据中5出现的次数最多，故众数是5.将这组数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是5，5，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是5.
15．小强在最近的5场篮球赛中，得分分别为10，13，9，8，10分．若小强下一场球赛得分是16分，则小强得分的平均数、中位数和众数中，发生改变的是平均数.
原数据8，9，10，10，13的平均数为＝10，众数为10、中位数为10；新数据8，9，10，10，13，16的平均数为＝11，众数为10、中位数为10.∴发生改变的是平均数．
16．(海南中考)为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩(百分制)的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图(如图).请根据图表信息解答以下问题：
(1)本次调查一共随机抽取了50名参赛学生的成绩；
(2)表中a＝8；
(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是C；
(4)请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生约有320人．
知识竞赛成绩分组统计表
组别 分数/分 频数
A 60≤x＜70 a
B 70≤x＜80 10
C 80≤x＜90 14
D 90≤x＜100 18
(1)本次调查一共随机抽取的学生人数有18÷36%＝50(人)；
(2)a＝50－18－14－10＝8；
(3)本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组；
(4)该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生有500×＝320(人).
17.(数据观念)某教育局为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图(如图).
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)a＝10%，并写出该扇形所对应圆心角的度数为36°，请补全条形图；
(2)在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
(3)如果该县共有八年级学生2 000人，请你估计“参加社会实践活动时间不少于7天”的学生人数有多少人．
(1)a＝1－(40%＋20%＋25%＋5%)＝1－90%＝10%，所对应的圆心角度数＝360°×10%＝36°.
被抽查的学生人数为240÷40%＝600，
8天的人数为600×10%＝60，
补全统计图如图所示．
(2)参加社会实践活动5天的人数最多，所以众数是5天，600人中，按照参加社会实践活动的天数从少到多排列，第300人和301人都是6天，所以，中位数是6天．
(3)2 000×(25%＋10%＋5%)＝2 000×40%＝800(人).19.1.3中位数和众数
1．将一组数据按照 (或 )的顺序排列，处于最 的一个数据或最中间两个数据的 叫做这组数据的中位数．当数据为奇数个时，中位数就是最 的那个数；当数据为偶数个时，中位数即为最中间的两个数的 ．
2．一组数据中出现 的那个数据叫做这组数据的众数．
考点1?　中位数
【典例1】杜鹃花是苍南县的县花，品种多样，“春鹃”是其中的一种．某兴趣小组对7株“春鹃”的花径(cm)进行测量，记录所得数据为：5.5，5.7，5.5，5.6，5.8，5.7，5.8，则这7株“春鹃”花径的中位数为( C )
A.5.5 cm B．5.6 cm
C．5.7 cm D．5.8 cm
(1)找中位数的方法是：①将数据从小到大或从大到小排列；②看这组数据是奇数个还是偶数个；③若这组数据的个数是奇数，则处于最中间的数据是这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则处于最中间的两个数据的平均数是这组数据的中位数；(2)中位数的优势在于受极端值的影响极小，故当一组数据中的个别数据的变化较大时，可用中位数描述其平均水平；(3)中位数的缺点在于不能充分利用数据的信息．
【变式训练】
1．下面是九年级一班23名女同学每分钟仰卧起坐的测试情况统计表：
个数/个 35 38 42 45 48
人数 3 5 7 4 4
则该班女同学每分钟仰卧起坐个数的中位数是( )
A．35个 B．38个
C．42个 D．45个
考点2?　众数
【典例2】(浙江模拟)某厂30名工人一天包装某种商品的数量(百件)统计如下：
商品数量 10 11 14 15
人数 3 13 10 4
从该表格中我们可以得到工人包装某种商品的数量的众数是( B )
A.众数是10 B．众数是11
C.众数是14 D．众数是15
(1)众数是描述一组数据集中趋势的量，属于定量数据．(2)众数的大小只与这组数据中的个别数据有关，它一定是这组数据中的某个数据．(3)众数不一定唯一，可能是一个或几个，也可能没有．
【变式训练】
2．在一次数学测试中，第5小组同学的分数(分)分别是85，63，101，85，85，101，72，则这组数据的众数是( )
A.63 B．72
C.85 D．101
考点?　选择统计量描述数据
【典例3】公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄(岁)如下：
甲 13 13 14 15 15 15 15 16 17 17
乙 3 4 4 5 5 6 6 6 54 57
请问：(1)甲群游客年龄的平均数是_ _，中位数是_ _，众数是_ _，其中能较好地反映甲群游客年龄的特征的是_ _；
(2)乙群游客年龄的平均数是_ _，中位数是_ _，众数是_ _，其中能较好地反映乙群游客年龄特征的是_ _．
中位数、众数、平均数都是反映一组数据平均程度的数据代表．平均数的大小与每个数据都有关；众数是出现次数最多的数据，而中位数仅与数据的排列位置有关．就是说，反映数据的平均程度，若极端值太大(或太小)，平均数就不能较好地反映平均程度，这时可选择中位数或众数；若极端值和其他数据的大小差不多，则平均数、中位数、众数都可以反映平均程度．
【变式训练】
3．如图是青岛市某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是( )
A．这五天中，温差最大的是5月1号
B．这五天中，每日最低气温的众数是12 ℃
C．这五天中，每日最高气温的中位数是20 ℃
D．这五天中，每日最高气温的平均数为18.6 ℃
知识点1?　中位数
1．(河南濮阳期末)爱好运动的小颖同学利用“微信运动”这一公众号，连续记录了一周每天的步数(万步)分别为：1.3，1.4，1.7，1.4，1.4，1.8，1.6，则这组数据的中位数是( )
A.1.3 B．1.4 C．1.6 D．1.7
2．(海南一模)在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80.这组数据的中位数是( )
A．77 B．79 C．79.5 D．80
3．(海南陵水县期末)《奇迹再现》是一首充满激情与正能量的歌曲，歌词激励人心，旋律欢快激昂．以下是摘自歌曲简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是( )
A．1 B．2 C．5 D．7
4．为将中华优秀传统文化融入学校教育教学，积极引导青少年从小学习中华优秀传统文化知识，培养审美鉴赏和创造能力，筑牢中华优秀传统文化根基．某学校计划开展中小学生中华优秀传统文化知识竞赛．并对八年级(1)班的50名学生竞赛成绩进行了调查，统计结果如表所示．
分数(分) 90 92 94 96 98 100
人数(人) 4 10 11 13 9 3
在本次调查中，八年级(1)班这50名学生竞赛成绩的中位数是 分．
知识点2?　众数
5．某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为( )
A.75 B．86 C．89 D．90
6．(河南安阳期末)费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄(岁)：32，35，29，33，40，35，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A.34，35 B．34，33
C.35，35 D．35，34
7．(河南南阳内乡期末)某学校为培养学生的节约意识，在暑期开展了“节约用水，从我做起”的主题活动，开学后从七年级300名学生中选出20名学生统计各自家庭一个月的节水情况，结果如表，则这组数据的众数是( )
节水量/m3 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50
家庭数/个 2 4 4 8 2
A.0.2　　　B．4　　　C．0.40　　　D．8
8．一次体检中，某班学生视力情况如下表：
视力情况 0.7以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0以上
人数所占 的百分比 5% 8% 15% 20% 40% 12%
从表中看出全班视力情况的众数是 ．
易错易混点　基本概念整合较弱导致解答失误
9．某校首届校园模拟电子射击比赛中，小宇和小轩两人在相同条件下各射击6次，命中的环数(环)如下：
小宇：7，9，8，6，9，8；
小轩：10，5，6，9，m，9，
如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么小轩的第五次成绩m是 环．
10．
(河南商丘虞城期末)在一次献爱心的捐款活动中，九(2)班50名同学捐款金额如图所示，则在这次捐款活动中，该班同学捐款金额的众数和平均数分别是( )
A．20，16.2 B．20，17.1
C．10，16.2 D．10，17.1
11．(河南许昌期末)为落实“双减”，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量(道)，具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19.根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的( )
A．最大数据 B．众数
C．中位数 D．平均数
12．(海南琼中县期末)一组正整数2，3，4，x从小到大排列，已知这组数据的中位数和平均数相等，那么x的值是 ．
13．(上海静安区模拟)数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是 分．
14．在节目《中国诗词大会》中，除才女武亦姝实力超群之外，其他选手的实力也不容小觑．以下是随机抽取的10名挑战者答对的题目数量的统计表，这10名挑战者答对题目数量的中位数和众数分别是 .
人数 3 4 2 1
答对题数 4 5 7 8
15．小强在最近的5场篮球赛中，得分分别为10，13，9，8，10分．若小强下一场球赛得分是16分，则小强得分的平均数、中位数和众数中，发生改变的是 .
16．(海南中考)为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩(百分制)的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图(如图).请根据图表信息解答以下问题：
(1)本次调查一共随机抽取了 名参赛学生的成绩；
(2)表中a＝ ；
(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是 ；
(4)请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生约有 人．
知识竞赛成绩分组统计表
组别 分数/分 频数
A 60≤x＜70 a
B 70≤x＜80 10
C 80≤x＜90 14
D 90≤x＜100 18
17.(数据观念)某教育局为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图(如图).
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)a＝ ，并写出该扇形所对应圆心角的度数为 ，请补全条形图；
(2)在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
(3)如果该县共有八年级学生2 000人，请你估计“参加社会实践活动时间不少于7天”的学生人数有多少人．

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