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19．2　数据的离散程度
1．方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即σ2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中，是x1，x2，…，xn的平均数，σ2是方差．
2．以计算13，13，12，9，11，16，12，10的方差为例，说明用计算器求方差的步骤：
(1)，打开计算器；
(2) ，启动“单变量统计”计算功能；
(3)……，输入所有数据；
(4)，即可获得这组数据的统计值，找出方差即可．
考点1?　方差
【典例1】小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(m)，此时这组成绩的平均数是20 m，方差是σ m2.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是σ m2，则σ __>__σ(填“＞”“＝”或“＜”).
解析：由题意，可得前9次投掷标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为20 m．　
∵第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，
∴σ＝σ，∴σ＞σ.
数据的波动越大，方差越大，数据越不稳定．
【变式训练】
1．有一组数据如下：92，93，a，94，95，它们的平均数是93，则这组数据的方差是2．
考点2?　用方差做决策
【典例2】今有两人跳高成绩按先后次序记录如下：
甲：1.9，1.6，1.7，1.6，1.2，1.7，1.7，1.9，1.8，1.9；
乙：1.2，1.4，1.6，1.8，1.7，1.7，1.8，1.9，1.9，2.0；
请你运用学过的统计知识回答下列问题：
(1)裁判根据他们的成绩最后评判甲获胜，你能说出裁判评判甲获胜的理由吗？
(2)教练根据他们的成绩最后选择乙去参加比赛，你能不能说出教练让乙去比赛的理由？
解：(1)甲的平均成绩：甲＝(1.9×3＋1.8＋1.7×3＋1.6×2＋1.2)÷10＝1.7米，
乙的平均成绩：乙＝(2.0＋1.9×2＋1.8×2＋1.7×2＋1.6＋1.4＋1.2)÷10＝1.7米；
甲的成绩的众数是1.9米和1.7米，中位数是1.7米；乙的成绩的众数是1.9米，1.8米和1.7米，中位数是1.75米；
甲的成绩的方差：σ＝(3×0.22＋3×0.12＋0.52)＝0.04；
乙的成绩的方差：σ＝(2×0.32＋2×0.22＋3×0.12＋0.52)＝0.054；
∴σ＜σ，∴裁判评判甲获胜的理由是甲的成绩更稳定．
(2)选择乙去参加比赛，因为乙的成绩在逐步提高，而且最后成绩高于甲．
方差的计算可以概括为“先平均、再求差、然后平方、最后再平均”，用方差做决策的时候，应该选方差小，趋势比较稳定的选手参赛．
【变式训练】
2．某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选50棵，每个品种产量的平均数(千克)及方差σ2(千克2)如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是(A)
甲 乙 丙 丁
20 20 19 18
σ2 1.6 1.7 1.6 1.7
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
知识点1?　离差平方和
1．在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分(分)分别为8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为2.5．
2．已知一组数据中各数据与这组数据的离差平方和是(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2＝50，则这组数据的方差σ2＝5．
知识点2?　方差
3．(海南澄迈县期末)某校八年级进行了三次1 000米跑步测试，甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差σ2分别为σ＝3.8，σ＝5.5，σ＝10，σ＝6，那么这四名同学跑步成绩最稳定的是(A)
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a－2，b－2，c－2的平均数和方差分别是(B)
A.3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4
∵数据a，b，c的平均数为5，
∴(a＋b＋c)＝5，
∴(a－2＋b－2＋c－2)＝(a＋b＋c)－2＝5－2＝3，
∴数据a－2，b－2，c－2的平均数是3；
∵数据a，b，c的方差为4，∴[(a－5)2＋(b－5)2＋(c－5)2]＝4，∴数据a－2，b－2，c－2的方差为[(a－2－3)2＋(b－2－3)2＋(c－2－3)2]＝[(a－5)2＋(b－5)2＋(c－5)2]＝4.
5．(河南南阳镇平期末)小明同学在周末测量了公园里几棵大树的直径(cm)，他将得到的数进行分析并列出方差公式为
σ2＝×[(50－)2×2＋(60－)2×3＋(70－)2×2]，则该组数据的平均数与众数分别(B)
A.60，50 B．60，60
C.70，60 D．70，70
6．(海南文昌期末)现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数均为1.82米，方差分别为σ＝3.7，σ＝4.2，则身高较整齐的球队是 甲队．
7．小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定．根据图中的信息，估计这两人中新手是小李．
易错易混点　不能从已知数据中获取信息解决未知参数导致解答错误
8．某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：
年龄(岁) 13 14 15 16
频数(名) 4 16 x 10－x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是②④．(请填入正确的序号)
①平均数；②中位数；③方差；④众数；
由题意，知总人数为30人，由表，可知年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x＋10－x＝10，∴年龄为14岁频数最全，则总人数为4＋16＋10＝30，故该组数据的众数为14岁．将数据由小到大排列后，排在中间的两个数为14，14，∴中位数为＝14(岁)，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数；故答案为②④.
9．一组数据的方差为σ2，如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的3倍，那么所得到的一组新数据的方差为(D)
A． B．σ2 C．3σ2 D．9σ2
10．(河南周口商水一模)某社团有30名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，当x变化时，下列关于年龄的统计量保持不变的是(C)
社团成员年龄分布统计表
年龄/岁 13 14 15 16 17
频数/名 5 12 x 11－x 2
A.平均数、中位数 B．平均数、方差
C．众数、 中位数 D．众数、方差
由表，可知年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x＋11－x＝11，14岁人数有12人，故该组数据的众数为12，中位数为(14＋14)÷2＝14.即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．
11．甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是(C)
A．两地气温的平均数相同
B．甲地气温的中位数是6 ℃
C．乙地气温的众数是4 ℃
D．乙地气温相对比较稳定
甲、乙两地气温的平均数都为6 ℃；甲地气温的中位数为6 ℃；乙地气温的众数为4 ℃和8 ℃；乙地气温的波动小，相对比较稳定．
12．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1－8，3x2－8，3x3－8，3x4－8，3x5－8的平均数是a，方差是b，则ab＝－8.
∵一组数据的平均数为(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝2，方差为[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＋(x5－2)2]＝，∴另一组数据的平均数为(3x1－8＋3x2－8＋3x3－8＋3x4－8＋3x5－8)＝－2，方差为[(3x1－8＋2)2＋(3x2－8＋2)2＋(3x3－8＋2)2＋(3x4－8＋2)2＋(3x5－8＋2)2]＝3，∴a＝－2，b＝3，∴ab＝(－2)3＝－8.
13.(数据观念)(海南海口期末)为了从甲、乙两名学生中选择一人参加法律知识竞赛，在相同条件下对他们的法律知识进行了10次测验，成绩(分)如下：
甲成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
(1)请填写下表：
平均数 中位数 众数 方差 85分及以 上的频率
甲 84 84 84 14.4 0.4
乙 84 84 90 34 0.5
(2)利用以上的信息，请你对甲、乙两名同学的成绩进行分析．
(1)甲的成绩由小到大排列为76，81，81，84，84，84，85，87，88，90，所以甲的中位数为(84＋84)＝84；由表格，知乙的众数为90；乙中85分及以上的次数为5；
∴乙中85分及以上的频率＝＝0.5.
(2)两个同学的成绩的平均数和中位数相同，乙的众数比甲的高，85分及以上的次数乙比甲多；但甲的方差比乙小，成绩更稳定．19．2　数据的离散程度
1．方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即σ2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中，是x1，x2，…，xn的平均数，σ2是方差．
2．以计算13，13，12，9，11，16，12，10的方差为例，说明用计算器求方差的步骤：
(1)，打开计算器；
(2) ，启动“单变量统计”计算功能；
(3)……，输入所有数据；
(4)，即可获得这组数据的统计值，找出方差即可．
考点1?　方差
【典例1】小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(m)，此时这组成绩的平均数是20 m，方差是σ m2.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是σ m2，则σ __ __σ(填“＞”“＝”或“＜”).
数据的波动越大，方差越大，数据越不稳定．
【变式训练】
1．有一组数据如下：92，93，a，94，95，它们的平均数是93，则这组数据的方差是 ．
考点2?　用方差做决策
【典例2】今有两人跳高成绩按先后次序记录如下：
甲：1.9，1.6，1.7，1.6，1.2，1.7，1.7，1.9，1.8，1.9；
乙：1.2，1.4，1.6，1.8，1.7，1.7，1.8，1.9，1.9，2.0；
请你运用学过的统计知识回答下列问题：
(1)裁判根据他们的成绩最后评判甲获胜，你能说出裁判评判甲获胜的理由吗？
(2)教练根据他们的成绩最后选择乙去参加比赛，你能不能说出教练让乙去比赛的理由？
方差的计算可以概括为“先平均、再求差、然后平方、最后再平均”，用方差做决策的时候，应该选方差小，趋势比较稳定的选手参赛．
【变式训练】
2．某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选50棵，每个品种产量的平均数(千克)及方差σ2(千克2)如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是( )
甲 乙 丙 丁
20 20 19 18
σ2 1.6 1.7 1.6 1.7
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
知识点1?　离差平方和
1．在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分(分)分别为8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为 ．
2．已知一组数据中各数据与这组数据的离差平方和是(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2＝50，则这组数据的方差σ2＝ ．
知识点2?　方差
3．(海南澄迈县期末)某校八年级进行了三次1 000米跑步测试，甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差σ2分别为σ＝3.8，σ＝5.5，σ＝10，σ＝6，那么这四名同学跑步成绩最稳定的是( )
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a－2，b－2，c－2的平均数和方差分别是( )
A.3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4
5．(河南南阳镇平期末)小明同学在周末测量了公园里几棵大树的直径(cm)，他将得到的数进行分析并列出方差公式为
σ2＝×[(50－)2×2＋(60－)2×3＋(70－)2×2]，则该组数据的平均数与众数分别( )
A.60，50 B．60，60
C.70，60 D．70，70
6．(海南文昌期末)现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数均为1.82米，方差分别为σ＝3.7，σ＝4.2，则身高较整齐的球队是 队．
7．小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定．根据图中的信息，估计这两人中新手是 ．
易错易混点　不能从已知数据中获取信息解决未知参数导致解答错误
8．某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：
年龄(岁) 13 14 15 16
频数(名) 4 16 x 10－x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是 ．(请填入正确的序号)
①平均数；②中位数；③方差；④众数；
9．一组数据的方差为σ2，如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的3倍，那么所得到的一组新数据的方差为( )
A． B．σ2 C．3σ2 D．9σ2
10．(河南周口商水一模)某社团有30名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，当x变化时，下列关于年龄的统计量保持不变的是( )
社团成员年龄分布统计表
年龄/岁 13 14 15 16 17
频数/名 5 12 x 11－x 2
A.平均数、中位数 B．平均数、方差
C．众数、 中位数 D．众数、方差
11．甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是( )
A．两地气温的平均数相同
B．甲地气温的中位数是6 ℃
C．乙地气温的众数是4 ℃
D．乙地气温相对比较稳定
12．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1－8，3x2－8，3x3－8，3x4－8，3x5－8的平均数是a，方差是b，则ab＝ .
13.(数据观念)(海南海口期末)为了从甲、乙两名学生中选择一人参加法律知识竞赛，在相同条件下对他们的法律知识进行了10次测验，成绩(分)如下：
甲成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
(1)请填写下表：
平均数 中位数 众数 方差 85分及以 上的频率
甲 84 84 14.4 0.4
乙 84 84 34
(2)利用以上的信息，请你对甲、乙两名同学的成绩进行分析．

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