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19．3　借助箱线图描述数据的分布
1．所有数据中小于这两个值的分别占25%和75%.把一组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的下四分位数、中位数、上四分位数．
2．为了更加直观地观察数据的分布特征，我们可以用数据的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图．
考点　四分位数和箱线图
【典例1】某银行有A和B两个理财经营团队.2025年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率(%)如下：
A：4.77　3.98　4.88　4.89　2.15　3.85
3．64　3.21　3.18　2.02　4.11　4.10
B：3.18　3.84　3.99　3.67　3.40　3.60
4．10　4.21　4.15　4.44　3.87　3.91
某同学想要利用四分位数分析A、B两个团队的经营水平，下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数表．
两个团队理财产品收益率(%)
数据的四分位数表
团队 m25 m50 m75
A 3.195 3.915 4.440
B a 3.890 b
请根据以上信息回答下列问题：
(1)表中a＝___3.635__，b＝___4.125___；
(2)该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示，获得了A团队数据的直观表示．请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价．
解：(1)将B团队负责经营的12项理财产品的收益率(%)按从小到大排列为3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44.
∵a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数，
∴a＝＝3.635，b＝＝4.125.
(2)补全B团队的箱线图，如图所示．
通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，故可知两个团队的总体经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动性大，即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适．
【变式训练】
绘制箱线图时，箱体的长度表示的统计信息是(D)
A．表示数据的平均值
B．表示数据的分布范围
C．表示数据的方差
D．表示数据的四分位距
知识点1?　四分位数
1．现有一组数据分别为106，113，96，98，100，102，104，111，则“下四分位数”是(B)
A.113 B．99 C．102 D．98
2．四分位数能更全面地反映数据的分布特征．我们把一组数据按从小到大排列，可求得中位数b，在小于b和大于b的这两部分数据中，再分别求得它们各自的中位数a和c.由于a，b，c把这组从小到大排列后的数据分成四部分，因此它们统称为这组数据的四分位数，我们称a，b，c分别为这组数据的第一、二、三四分位数．则数据1，3，4，5，2，6，7，8，9的第一四分位数为2.5．
3．在处理数据的过程中，会用到一种百分位数法，百分位数是一类统计量．如果把一组数据从小到大排序，用m50表示中位数，称为第50百分位数，那么中位数把这组数据分为两部分，分别记为S和T；进一步，用m25和m75分别表示S和T的中位数，那么，所有数据中小于或等于m25的占25%、小于或等于m75的占75%。这样，m25，m50，m75这三个数值把所有数据分为个数相等的四个部分，因此，称为四分位数．请求出以下这组数据的四分位数．4.77，3.98，6.44，4.98，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10
m25＝3.195，m50＝3.915，
m75＝4.44．
4．某校为了解八年级300名男生的体重情况，随机抽测了23名男生的体重(kg)，具体数据如下：
45　49　55　58　54　50　57　44　62　61　51
53　48　52　54　50　47　59　52　58　54　51
49
请计算这组数据的四分位数．
将这23个数据从小到大排列如下：44　45　47
48　49　49　50　50　51　51　52　52　53　54
54　54　55　57　58　58　59　61　62
∴该样本数据的第6，12，18项数据分别为49，52，57，
∴该样本数据的四分位数分别为49，52，57.
知识点2?　箱线图
5．人数相同的甲、乙、丙、丁四支篮球队队员的身高情况如图所示，下列说法正确是①②③④．
①四队中只有甲队有队员的身高超过200 cm；
②乙队的身高最为整齐；
③丙队身高在190 cm及以上的人数最多；
④丁队的平均身高最低．
6．如图为某地区5月和6月的空气质量指数(AQI)箱线图．AQI值越小，空气质量越好．则下列结论正确的是①③④．
①该地区5月的AQI值的平均数高于6月AQI值的平均数
②该地区6月的AQI值比5月的AQI值集中
③该地区5月的AQI值比6月的AQI值集中
④从整体上看，该地区5月的空气质量略好于6月
易错易混点　不理解四分位数的定义而出错
7．某地政府相关部门随机调查了18个旅游团对当地旅游满意度的综合评分(分)情况，得到如下数据：a，80，81，80，82，83，84，84，85，86，87，89，90，93，95，97，95，100.若a恰好是这组数据的上四分位数，则a的值不可能为(D)
A．93 B．94 C．95 D．96
8．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图(三个班级学生数相同)如图所示，根据该图判断下列说法正确的是①②．
①三个班级中，甲班分数的方差最小
②三个班级中，乙班分数的最高分与最低分的差别最大
③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数
④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高
9．互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4若它们的和为12，且这4个数据的最大值与最小值的差是中位数的2倍，则这4个数据的上四分位数为4.5．
10．已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱线图如图所示．由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？
由两班成绩箱线图可以看出，
甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高．
11．起源于汉代的“踢毽子”运动，虽有两千多年历史，但由于简便易行，至今仍很流行．某校为丰富课外活动、增强学生体质，在初三年级进行了“踢毽子”比赛，以学生每分钟踢毽子的个数记录分值，一个记一分．参赛学生踢毽子的分值均在40～100分之间，从中随机抽取了100个学生踢毽子的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如图所示的频率分布直方图，并称得分在80～90之间的人为“踢毽健将”，90分以上的人为“踢毽达人”．
(1)求样本的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替)；
(2)求下列数据的四分位数：13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.
(1)由题意，得＝45×0.005×10＋55×0.02×10＋65×0.035×10＋75×0.025×10＋85×0.01×10＋95×0.005×10＝68(分)，∴样本的平均值为68(分)；
(2)把12个数据按从小到大的顺序排列为12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31，
所以数据的第一四分位数为＝16.5，第二四分位数为＝21，第三四分位数为＝27.5.
12．(数据观念)某次测试中，甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98.
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95.
(1)求甲组数据的四分位数a，m，b；
(2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图[箱线图是一种基于五位数摘要(最小数、下四分位数、中位数、上四分位数和最大数)显示数据分布的标准化方法]，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3)根据对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法．
(1)把甲组的测试成绩从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，故m＝＝90，a＝70，b＝96；
(2)绘制甲组的箱线图如图所示：
(3)根据箱线图和四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中．(答案不唯一)19．3　借助箱线图描述数据的分布
1．所有数据中小于这两个值的分别占25%和75%.把一组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的 ，从小到大分别称为这组数据的 、 、 ．
2．为了更加直观地观察数据的分布特征，我们可以用数据的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出 ．
考点　四分位数和箱线图
【典例1】某银行有A和B两个理财经营团队.2025年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率(%)如下：
A：4.77　3.98　4.88　4.89　2.15　3.85
3．64　3.21　3.18　2.02　4.11　4.10
B：3.18　3.84　3.99　3.67　3.40　3.60
4．10　4.21　4.15　4.44　3.87　3.91
某同学想要利用四分位数分析A、B两个团队的经营水平，下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数表．
两个团队理财产品收益率(%)
数据的四分位数表
团队 m25 m50 m75
A 3.195 3.915 4.440
B a 3.890 b
请根据以上信息回答下列问题：
(1)表中a＝___ __，b＝___ ___；
(2)该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示，获得了A团队数据的直观表示．请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价．
解：(1)将B团队负责经营的12项理财产品的收益率(%)按从小到大排列为3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44.
∵a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数，
∴a＝＝3.635，b＝＝4.125.
(2)补全B团队的箱线图，如图所示．
通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，故可知两个团队的总体经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动性大，即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适．
【变式训练】
绘制箱线图时，箱体的长度表示的统计信息是( )
A．表示数据的平均值
B．表示数据的分布范围
C．表示数据的方差
D．表示数据的四分位距
知识点1?　四分位数
1．现有一组数据分别为106，113，96，98，100，102，104，111，则“下四分位数”是( )
A.113 B．99 C．102 D．98
2．四分位数能更全面地反映数据的分布特征．我们把一组数据按从小到大排列，可求得中位数b，在小于b和大于b的这两部分数据中，再分别求得它们各自的中位数a和c.由于a，b，c把这组从小到大排列后的数据分成四部分，因此它们统称为这组数据的四分位数，我们称a，b，c分别为这组数据的第一、二、三四分位数．则数据1，3，4，5，2，6，7，8，9的第一四分位数为 ．
3．在处理数据的过程中，会用到一种百分位数法，百分位数是一类统计量．如果把一组数据从小到大排序，用m50表示中位数，称为第50百分位数，那么中位数把这组数据分为两部分，分别记为S和T；进一步，用m25和m75分别表示S和T的中位数，那么，所有数据中小于或等于m25的占25%、小于或等于m75的占75%。这样，m25，m50，m75这三个数值把所有数据分为个数相等的四个部分，因此，称为四分位数．请求出以下这组数据的四分位数．4.77，3.98，6.44，4.98，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10
m25＝ ，m50＝ ，
m75＝ ．
4．某校为了解八年级300名男生的体重情况，随机抽测了23名男生的体重(kg)，具体数据如下：
45　49　55　58　54　50　57　44　62　61　51
53　48　52　54　50　47　59　52　58　54　51
49
请计算这组数据的四分位数．
知识点2?　箱线图
5．人数相同的甲、乙、丙、丁四支篮球队队员的身高情况如图所示，下列说法正确是 ．
①四队中只有甲队有队员的身高超过200 cm；
②乙队的身高最为整齐；
③丙队身高在190 cm及以上的人数最多；
④丁队的平均身高最低．
6．如图为某地区5月和6月的空气质量指数(AQI)箱线图．AQI值越小，空气质量越好．则下列结论正确的是 ．
①该地区5月的AQI值的平均数高于6月AQI值的平均数
②该地区6月的AQI值比5月的AQI值集中
③该地区5月的AQI值比6月的AQI值集中
④从整体上看，该地区5月的空气质量略好于6月
易错易混点　不理解四分位数的定义而出错
7．某地政府相关部门随机调查了18个旅游团对当地旅游满意度的综合评分(分)情况，得到如下数据：a，80，81，80，82，83，84，84，85，86，87，89，90，93，95，97，95，100.若a恰好是这组数据的上四分位数，则a的值不可能为( )
A．93 B．94 C．95 D．96
8．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图(三个班级学生数相同)如图所示，根据该图判断下列说法正确的是 ．
①三个班级中，甲班分数的方差最小
②三个班级中，乙班分数的最高分与最低分的差别最大
③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数
④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高
9．互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4若它们的和为12，且这4个数据的最大值与最小值的差是中位数的2倍，则这4个数据的上四分位数为 ．
10．已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱线图如图所示．由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？
11．起源于汉代的“踢毽子”运动，虽有两千多年历史，但由于简便易行，至今仍很流行．某校为丰富课外活动、增强学生体质，在初三年级进行了“踢毽子”比赛，以学生每分钟踢毽子的个数记录分值，一个记一分．参赛学生踢毽子的分值均在40～100分之间，从中随机抽取了100个学生踢毽子的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如图所示的频率分布直方图，并称得分在80～90之间的人为“踢毽健将”，90分以上的人为“踢毽达人”．
(1)求样本的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替)；
(2)求下列数据的四分位数：13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.
12．(数据观念)某次测试中，甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98.
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95.
(1)求甲组数据的四分位数a，m，b；
(2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图[箱线图是一种基于五位数摘要(最小数、下四分位数、中位数、上四分位数和最大数)显示数据分布的标准化方法]，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3)根据对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法．

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