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第5讲　小专题:动态平衡和临界极值问题
【学习目标】
1.掌握动态平衡的特点及临界极值的判断条件,熟练运用受力分析、矢量三角形法或正交分解法解决变力平衡问题。
2.掌握图解法、解析法、相似三角形法等动态平衡分析工具,能运用极限法、数学工具解决临界极值问题,提升动态逻辑推理与定量分析能力。
3.通过实验探究力的变化规律,培养实验设计与数据验证能力。
4.理解动态平衡在工程实践中的应用,养成严谨分析临界条件的科学习惯。
考点一　动态平衡问题
1.动态平衡
(1)所谓动态平衡问题,是指通过控制某些物理量,使物体的受力情况发生缓慢变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。
(2)基本思路:化“动”为“静”,“静”中求“动”。
2.分析动态平衡问题的方法
(1)图解法:一个力恒定,另一个力的方向恒定时可用此法。例如:挡板P由竖直位置沿逆时针方向向水平位置缓慢旋转时小球受力的变化(如图所示)。
(2)解析法:如果物体受到多个力的作用,可进行正交分解,利用解析法,建立平衡方程,根据自变量的变化确定因变量的变化。
(3)相似三角形法:一个力恒定、另外两个力的方向同时变化,当所作矢量三角形与空间的某个几何三角形总相似时用此法。(如表所示)
受力分析 力的矢量三角形 和几何三角形相似 比例关系
= =
= =
= =
(4)力的外接圆法和拉密定理法:一力恒定,另外两力方向均变化,但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题,可利用力的外接圆法或拉密定理法。
力的外 接圆法 作出某状态三个力的矢量三角形,根据不同位置判断另外两个力的大小变化
拉密 定理法 物体受三个共点力作用而处于平衡状态,对表示三个力的矢量组成的封闭三角形,根据拉密定理可推出 ==,若F1、α不变、β(或γ)的变化导致F2(或F3)变化
[例1] 【图解法】 如图所示,装有足球的轻网兜系在钉子上,墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后,则(　　)
A.网绳上的拉力变小
B.网绳上的拉力不变
C.墙壁对足球的支持力变大
D.墙壁对足球的支持力不变
[例2] 【解析法】 (2025·天津一模)抖空竹是一种以四肢协调作为核心的传统体育项目,是国家级非物质文化遗产之一。如图所示,表演者右手控制A点不动,左手控制B点沿图中的四个方向缓慢移动,忽略空竹转动的影响,不计空竹和轻质细线间的摩擦,且认为细线不可伸长。下列说法正确的是(　　)
A.沿虚线a向左移动,空竹的高度不变
B.沿虚线b向上移动,细线与竖直方向的夹角不变
C.沿虚线c斜向上移动,细线的拉力不变
D.沿虚线d向右移动,细线对空竹的合力减小
[例3] 【相似三角形法】 (2025·四川达州二模)如图所示,水平天花板下方O点固定一光滑小定滑轮,一轻质弹簧一端固定在定滑轮的正下方N处,另一端与小球P连接,同时一轻绳跨过定滑轮与小球P相连。开始时在外力F作用下系统在图示位置静止。改变F大小使小球P缓慢移动,在小球P到达N点正上方前,下列说法正确的是(　　)
A.外力F大小不变
B.外力F逐渐变大
C.弹簧弹力逐渐变小
D.小球的运动轨迹是圆弧
[例4] 【力的外接圆法或拉密定理法】 某中学为增强学生体魄,组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中,一学生将铅球置于两手之间,其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变,将右手由图所示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦,则在转动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.右手对铅球的弹力一直增大
B.右手对铅球的弹力先增大后减小
C.左手对铅球的弹力一直增大
D.左手对铅球的弹力先增大后减小
[变式] 在[例4]中,若保持两手之间夹角不变,将右手由图所示位置沿逆时针缓慢旋转30°至竖直位置,则在转动过程中,左、右手对铅球的弹力大小如何变化
分析动态平衡问题的流程
受力
分析画不同状态下的
受力平衡图构造
矢量三角形
考点二　平衡中的临界、极值问题
1.临界、极值问题特征
(1)临界问题:当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
常见的种类:
①由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力。
②绳子恰好绷紧,拉力F=0。
③刚好离开接触面,支持力FN=0。
(2)极值问题:平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
2.解决极值和临界问题的三种方法
物理 分析法 根据平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值或最小值
极限法 正确进行受力分析和变化过程分析,找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找,不能在一个状态上研究临界问题,要把某个物理量推向极大或极小
数学 分析法 通过对问题的分析,根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
[例5] 【物理分析法】 (2025·贵州贵阳模拟)如图,四分之一光滑圆弧轨道ABC固定在水平面上,一质量为m的小球(视为质点)处于圆弧AB的中点P,在推力F的作用下处于静止,则推力F的大小不可能是(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.2mg
[变式] 如图,半径为R的光滑半圆弧槽固定在水平面上,质量为2m的小球A和质量为3m的小球B用长为R的轻杆通过光滑铰链连接,给小球B施加一个推力,使A、B两球处于如图所示静止状态,小球B处于圆弧最低点,不计小球大小,则作用在小球B上的最小推力为多少
[例6] 【极限法】 (2025·重庆模拟)如图所示,两根半圆柱静止于粗糙程度处处相同的水平地面上,紧靠但无相互作用力。现将一根圆柱轻放在这两根半圆柱上,三者均静止。已知圆柱和两半圆柱的材料、长度、半径、密度均相同,不考虑它们之间的摩擦,则半圆柱与水平地面间的动摩擦因数至少为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
A. B. C. D.
[变式] 若用水平向右的力拉右侧半圆柱A,使A缓慢移动,直至圆柱C恰好落到地面。整个过程中左侧半圆柱B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。求半圆柱与地面间动摩擦因数的最小值μmin。
[例7] 【数学分析法】 (2025·河北廊坊一模)如图所示,运动员拖轮胎做负重训练时,用两根不计质量的等长细绳拴在质量为60 kg的轮胎上,两根细绳之间的夹角为θ,轮胎与水平地面间的动摩擦因数为0.75。轮胎在地面上匀速运动时,已知cos =0.9,重力加速度g取10 m/s2,则每根细绳的最小拉力是(　　)
A.360 N B.225 N
C.200 N D.180 N
[变式] 若将质量为m的物体放置在倾角θ=30°的粗糙固定斜面上,物体与斜面间的动摩擦因数μ=,现用拉力F(与斜面的夹角为β)拉动物体沿斜面向上匀速运动,则斜面的夹角β为多少时拉力F最小 并求拉力F的最小值。
辅助角公式的应用
y=acos θ+bsin θ=(cos θ+sin θ),
令sin φ=,cos φ=,
则有y=(sin φcos θ+cos φsin θ)
=sin(φ+θ),
所以当φ+θ=时,y有最大值,且ymax=。
第5讲　小专题:动态平衡和临界极值问题
考点一
[例1] C　[例2] B　[例3] D　[例4] B　
[变式] 【答案】 右手对铅球的作用力逐渐减小,左手对铅球的作用力逐渐增大
【解析】
整个过程铅球处于动态平衡,受力分析如图所示,当转动到右手竖直时,由图可知该过程中右手对铅球的作用力F1逐渐减小,左手对铅球的作用力F2逐渐增大。
考点二
[例5] A　
[变式] 【答案】 mg
【解析】 根据力的作用效果可知,作用在小球B上的最小作用力等于轻杆作用在B球上作用力的水平分力,对A球分析可知,根据力的平衡,杆对A球的作用力等于A球所受的重力,因此最小推力为Fmin=2mgcos 30°=mg。
[例6] B　
[变式] 【答案】
【解析】 对B受力分析,如图所示,C恰好落地时,B受C压力的水平分力最大,此时F与竖直方向夹角θ=60°,
对C有2Fcos 60°=mg,
对B有Ff=Fsin 60°,
且Ff=μminFNB,
又FNB=mg+Fcos 60°=mg,
解得μmin=。
[例7] C　
[变式] 【答案】 当β=30°时,拉力F最小,最小值为mg
【解析】 对物体受力分析如图所示,
Fcos β=Ff+mgsin θ,
Ff=μFN,
FN=mgcos θ-Fsin β,
联立解得
F=
=,
其中tan α==,即α=60°,
可知当β=30°时,拉力F最小,最小值为mg。第1讲　重力　弹力　摩擦力
【学习目标】
1.建立重力、弹力、摩擦力的清晰概念,形成正确的力的物理观念。
2.掌握弹力、摩擦力的有无及方向的判断方法,以及用胡克定律、平衡条件、整体法、隔离法分析计算力的大小的能力,提升逻辑思维与建模能力。
3.通过探究胡克定律、滑动摩擦力与压力关系等实验,培养实验设计、数据处理和误差分析的科学探究能力。
4.联系生活实际(如弹簧测力计、刹车系统、重心稳定),认识物理知识的应用价值,养成依据规律分析问题的科学态度。
[footnoteRef:0] [0:
1.(多选)关于重力和弹力,下列说法正确的是(　　)
A.在地球上的物体都要受到重力作用,所受的重力与它的运动状态无关,也与是否存在其他力的作用无关
B.在地球各处的重力方向都是一样的
C.两个物体只要接触就一定有弹力
D.弹力的方向一定与施力物体发生弹性形变的方向相反
2. 如图所示,重为500 N的沙发放在水平地面上,某同学沿水平方向推沙发,当水平推力大小为90 N时沙发恰好开始运动。沙发运动后,用75 N的水平力即可使沙发保持匀速直线运动。下列说法正确的是(　　)
A.沙发与地面之间的动摩擦因数为0.18
B.若用80 N的水平力推静止的沙发,沙发所受的摩擦力大小为75 N
C.若用100 N的水平力推静止的沙发,沙发所受的摩擦力大小为100 N
D.若用50 N的水平力推已经运动的沙发,沙发所受的摩擦力大小为75 N]
考点一　重力和重心
1.重力
(1)重力的大小与运动状态无关,与所处的纬度和高度有关。重力加速度随纬度的减小而减小,随高度的增加而减小。
(2)重力的方向总是竖直向下的,但并不一定垂直于地面,也不一定指向地心。
(3)重力是由于地球的吸引而产生的,但重力并不等于地球的引力,它实际上是万有引力的一个分力。
2.重心
(1)重心的位置可以在物体上,也可以在物体外。
(2)质量分布均匀、形状规则的物体的重心在其几何中心上;对形状不规则的薄物体,可用支撑法或悬挂法来确定其重心。
[例1] 【对重力的理解】 (2025·广西南宁阶段检测)下列关于重力的说法正确的是(　　)
A.重力等于地球对物体的吸引力
B.运动的物体不受重力作用
C.同一物体在地球上不同位置受到的重力可能不同
D.重力方向垂直向下
[变式] 物体挂在弹簧测力计下,弹簧测力计的示数是否一定等于物体受到的重力
[例2] 【对重心的理解】 (2025·青海西宁期末)如图为仰韶文化时期的尖底瓶,装水后的尖底瓶“虚则欹、中则正、满则覆”。下列说法正确的是(　　)
A.瓶的重心是瓶各部分所受重力的等效作用点
B.向瓶中缓慢注入水的过程中,瓶(包括水)的重心位置逐渐升高
C.瓶的重心可能在瓶口
D.瓶的重心一定在瓶底
考点二　弹力
轻绳、轻杆、橡皮筋、轻弹簧四个物体中,
(1)受外力作用形变量较小、通常可忽略的是哪些
(2)产生弹力方向一定沿物体本身的是哪些 弹力方向可以与其本身成任意角度的是哪个
(3)既可产生拉伸、又可产生压缩形变的是哪些 既可以产生拉伸、也可以产生压缩、又可以产生弯曲形变的是哪个
(4)弹力大小可以突变的是哪些 不能突变的是哪些
1.弹力有无的判断
2.弹力方向的判断
(1)按接触面分。
面与面 点与平面 点与曲面 曲面与平面
垂直于 接触面 垂直于 接触面 垂直于切面 垂直于平面
(2)按模型分。
轻绳 轻杆 轻弹簧
沿绳 沿杆 不沿杆 沿弹簧
[例3] 【弹力有无及方向的判断】 (多选)(2025·浙江丽水期中)下列情境中关于球所受弹力的描述,正确的是(　　)
A.图甲,反弹出去的排球在空中运动时,受到沿运动方向的弹力
B.图乙,小球静止,其中a绳处于竖直方向,则b绳对小球无拉力
C.图丙,小球随车厢(底部光滑)一起向右做匀速直线运动,车厢左壁对小球无弹力
D.图丁,静止在杆顶端的铁球受到沿杆向上的弹力
[例4] 【胡克定律的应用】 (2024·重庆模拟)质量分别为m1、m2的小球1、2用劲度系数分别为ka、kb的a、b轻质弹簧悬挂,平衡后状态如图甲所示。若将小球1、2交换位置,平衡后状态如图乙所示,则(　　)
A.ka>kb B.m1C.m1>m2 D.ka[变式] 若用S1和S2表示劲度系数分别为k1和k2的两根弹簧,k1>k2;a和b表示质量分别为ma和mb的两个小物体,ma>mb,将弹簧与物体按图示方式悬挂起来,现要求两根弹簧的总长度最大,则应使S1和S2、a和b的位置顺序怎样
[例5] 【杆的弹力大小计算】 (多选)如图所示,固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ,在斜杆下端固定有质量为m的小球。关于斜杆对小球的作用力F,下列判断正确的是(　　)
A.小车静止时,F=mg,方向竖直向上
B.小车静止时,F=mgcos θ,方向垂直于斜杆向上
C.小车向右以加速度a加速运动时,一定有F=
D.小车向左以加速度a加速运动时,F=,方向向左上方,与竖直方向的夹角为α,且tan α=
计算弹力大小的三种方法
(1)公式法:利用胡克定律F=kx计算。适用于弹簧、橡皮筋等弹力的计算。
(2)平衡法:静止或做匀速直线运动时利用平衡条件计算。
(3)牛顿运动定律:利用牛顿第二定律和牛顿第三定律分析求解。
考点三　摩擦力
请思考下列与摩擦力有关的几个问题:
(1)若两物体间有摩擦力,则两物体间一定有弹力吗 若两物体间有弹力,则两物体间一定有摩擦力吗
(2)静止物体受到的摩擦力一定是静摩擦力吗 运动物体受到的摩擦力一定是滑动摩擦力吗
(3)滑动摩擦力的大小是否与物体间的接触面积有关 静摩擦力呢
(4)摩擦力的方向是不是可以与物体运动方向相反,也可以与物体运动方向相同,还可以与物体运动方向成任意角度 试举例说明。
(5)摩擦力都是物体运动的阻力吗
1.明确三个方向
名称 释义
运动方向 一般指物体相对地面(以地面为参考系)的运动方向
相对运动 方向 指以其中一个物体为参考系,另一个物体相对参考系的运动方向
相对运动 趋势方向 能发生却没有发生的相对运动的方向,导致两物体间存在静摩擦力
2.静摩擦力有无及方向的判断
(1)假设法。
(2)状态法:根据平衡条件、牛顿第二定律,通过受力分析确定静摩擦力的有无及方向。
(3)转换对象法:先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向,再根据“力的相互性”确定另一物体受到的静摩擦力的方向。
3.静摩擦力大小的分析与计算
(1)物体处于平衡状态(静止或匀速直线运动)时,利用力的平衡条件来计算静摩擦力的大小。
(2)物体有加速度时,若只有静摩擦力提供加速度,则Ff=ma;若除受静摩擦力外,物体还受其他力,则F合=ma,先求合力再求静摩擦力。
4.滑动摩擦力大小的分析与计算
(1)滑动摩擦力略小于最大静摩擦力,一般情况下,可认为最大静摩擦力与滑动摩擦力近似
相等。
(2)滑动摩擦力的大小用公式Ff=μFN来计算,其中FN为两接触面间的正压力,其大小不一定等于物体受到的重力。
[例6] 【摩擦力的有无及方向判断】 (2025·宁夏银川模拟)如图,水平地面上放着一辆手推小车,小车的水平板上放置一只金属桶。当小车水平向左启动时,桶相对小车先向右运动一小段距离,随后相对小车静止一起向左匀速运动。则(　　)
A.桶相对地面先向右运动,后向左运动
B.桶匀速运动前,受到水平向右的滑动摩擦力
C.桶对小车先是滑动摩擦力,后是静摩擦力
D.桶匀速运动后,桶对小车没有摩擦力
(1)摩擦力的方向总是与物体间相对运动(或相对运动趋势)的方向相反,但不一定与物体的运动方向相反。
(2)摩擦力总是阻碍物体间的相对运动(或相对运动趋势),但不一定阻碍物体的运动。即摩擦力可以作为阻力使物体减速,也可以作为动力使物体加速。
(3)受静摩擦力作用的物体不一定静止,但一定与静摩擦力的施力物体保持相对静止。
[例7] 【摩擦力大小的分析与计算】 (多选)如图甲所示,质量为m=20 kg的木箱静止在水平地面上,人至少要用F=35 N的水平推力才能使其运动。木箱运动后,人再用30 N的水平推力,就可以使木箱继续做匀速直线运动(g取10 m/s2)。下列说法正确的是(　　)
A.木箱与地面间的滑动摩擦力大小为35 N
B.木箱与地面间的动摩擦因数等于0.15
C.若用F=32 N的水平推力推静止的木箱,木箱所受摩擦力大小为30 N
D.若在该木箱上叠放一个相同木箱,60 N水平推力可使两木箱保持匀速直线运动
第1讲　重力　弹力　摩擦力
考点一
[例1] C　
[变式] 物体挂在弹簧测力计下处于平衡状态时,弹簧测力计的示数才等于物体受到的重力。
[例2] A　
考点二
模理探真:(1)轻绳、轻杆。
(2)轻绳、橡皮筋、轻弹簧;轻杆。
(3)轻杆、轻弹簧;轻杆。
(4)轻绳、轻杆;橡皮筋、轻弹簧。
[例3] BC　[例4] C　
[变式] 【答案】 S2在上,b在上
【解析】 先对下方的物体受力分析,受重力和下方弹簧的拉力而平衡,即下方弹簧的拉力等于下方物体的重力,有k下x下=m下g;再对两个物体整体受力分析,受到总重力和上方弹簧的拉力,根据共点力平衡条件,有k上x上=(ma+mb)g,则弹簧总长度为L=L1+L2+x上+x下=L1+L2+
+,要使总长度最大,k上要取较小值k2,k下则取较大值k1,m下要取较大值ma,故S2在上,b在上。
[例5] AD　
考点三
模理探真:(1)有摩擦力一定有弹力,有弹力不一定有摩擦力。
(2)发生相对运动的两物体中的一个物体,可能相对地面是静止的,所以静止的物体也可以受到滑动摩擦力;同理运动的物体也可以受到静摩擦力。
(3)滑动摩擦力Ff=μFN,大小与接触面积无关;静摩擦力大小由外部条件决定,与接触面积无关。
(4)用手握住水杯,水杯所受静摩擦力竖直向上,当水杯向上运动、向下运动、水平运动、斜向上运动、斜向下运动时,静摩擦力可以与物体运动方向相反,也可以与物体运动方向相同,还可以与物体运动方向成任意角度。
(5)摩擦力既可以是动力也可以是阻力。
[例6] D　[例7] BD　第4讲　牛顿第三定律　共点力的平衡
【学习目标】
1.理解牛顿第三定律的作用力与反作用力关系,并能区分平衡力与相互作用力;建立共点力平衡条件的物理模型,能分析静力学问题,并能分析实际情境中的受力平衡问题。
2.运用整体法、隔离法和转换研究对象法,构建多物体系统的受力分析策略;通过矢量三角形法、正交分解法等数学工具,解决复杂平衡问题,体现模型建构与逻辑推理能力。
3.通过实验验证牛顿第三定律的普适性,探究不同条件下共点力平衡的临界与极值现象,培养实验设计与误差分析能力。
4.认识力学规律在工程与生活中的应用,养成严谨分析的习惯,理解科学结论的普适性与局
限性。
[footnoteRef:0] [0:
1. 有一种吊篮花盆如图所示,三根等长的链条对称分布,下列说法正确的是(　　)
A.三根链条对花盆的作用力相同
B.三根链条对花盆作用力的合力方向一定竖直向上
C.若将每根链条增加相同的长度,则每根链条的拉力都增大
D.若将每根链条缩短相同的长度,则三根链条对花盆作用力的合力增大
2. 在一场精彩的杂技表演中,如图是甲演员举起乙演员的一个场景,两名杂技演员处于静止状态。下列说法正确的是(　　)
A.水平地面对甲演员的摩擦力水平向右
B.水平地面对甲演员的支持力和甲演员所受重力是一对平衡力
C.甲演员对乙演员的作用力大小小于乙演员对甲演员的作用力大小
D.甲演员对乙演员的作用力大小等于乙演员所受重力大小]
考点一　牛顿第三定律
如图所示,体育项目“押加”实际上相当于两个人拔河,如果甲、乙两人在“押加”比赛中,甲获胜,是因为甲对乙的拉力大于乙对甲的拉力吗 如果不是,请说明甲获胜的原因。
1.作用力和反作用力的三个关系
2.作用力和反作用力与一对平衡力的比较
比较项目 作用力和反作用力 一对平衡力
不 同 点 受力 物体 作用在两个相互作用的物体上 作用在同一物体上
依赖 关系 同时产生, 同时消失 不一定同时产生、同时消失
叠加性 两力作用效果不可抵消,不可叠加,不可求合力 两力作用效果可相互抵消,可叠加,可求合力,合力为零
力的 性质 一定是同性质的力 性质不一定相同
相同点 大小相等,方向相反,作用在同一条直线上
[例1] 【对牛顿第三定律的理解】 (2025·吉林二模)为保护中国天眼(FAST)的反射面板,巡检维护工作需采用“微重力蜘蛛人”系统,如图所示,“微重力”是通过氦气球的浮力“减轻人的重力”实现的。某次作业过程中工作人员处于静止状态,其与氦气球连接的轻绳保持竖直,下列说法正确的是(　　)
A.人对面板的压力和面板对人的支持力是一对平衡力
B.绳对气球的力和绳对人的力是一对作用力与反作用力
C.人对面板的作用力大小等于面板对人受到的作用力大小
D.气球对人的作用力大小等于人受到的重力大小
[例2] 【转换研究对象法的应用】 (2024·贵州卷,4)如图甲,一质量为m的匀质球置于固定钢质支架的水平横杆和竖直墙之间,并处于静止状态,其中一个视图如图乙所示。测得球与横杆接触点到墙面的距离为球半径的1.8倍,已知重力加速度大小为g,不计所有摩擦,则球对横杆的压力大小为(　　)
A.mg B.mg C.mg D.mg
在计算物体所受某力大小时,如果不便于直接分析求出物体受到的某些力时,可先求这个力的反作用力,再根据牛顿第三定律求待求力。如求压力时,可先求支持力,在许多问题中,摩擦力的求解亦是如此。利用牛顿第三定律转换研究对象,使我们分析问题的思路更灵活、更宽阔。
考点二　受力分析
1.受力分析的一般步骤
2.受力分析的四种方法
假设法 在未知某力是否存在时,先对其做出不存在的假设,然后根据该力不存在对物体运动和受力状态的影响来判断该力是否存在
整体法 将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法
隔离法 将所研究的对象从周围的物体中分离出来,单独进行受力分析的方法
动力学 分析法 对加速运动的物体进行受力分析时,应用牛顿运动定律进行分析求解的方法
[例3] 【单个物体的受力分析】 如图所示,甲、乙两人分别乘坐两种电动扶梯,此时两电梯均匀速向上运行,则(　　)
A.甲受到三个力的作用
B.甲对扶梯有摩擦力的作用
C.乙受到三个力的作用
D.乙受到的摩擦力方向沿斜面向下
[变式] 在[例3]中,若甲乘坐电动扶梯,与扶梯一起加速向上运动,则甲受到几个力的作用 扶梯对甲有没有摩擦力的作用
[例4] 【多个物体的受力分析】 (2025·湖北一模)如图所示,质量为M、倾角为30°的粗糙斜面体置于水平面上,质量为m的木块放置在斜面上,一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点,另一端系在木块上,弹簧方向与斜面垂直,斜面体与木块均处于静止。已知木块与斜面间的动摩擦因数为0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则(　　)
A.木块一定受到四个力的作用
B.弹簧一定处于拉伸状态
C.斜面体可能受到四个或者五个力的作用
D.斜面体对水平面的压力大小等于Mg+mg
考点三　共点力的平衡
静止的物体速度为零,处于平衡状态;竖直上抛的物体到达最高点时速度为零,也处于平衡状态。这两种说法都对吗 物体的哪个运动学物理量为零时一定处于平衡状态
1.处理共点力平衡问题的基本思路
确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论。
2.解决平衡问题的四种常用方法
合成法 三个共点力平衡时,任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反
分解法 三个共点力平衡时,将任意一个力沿着另外两个力的方向分解,则其分力一定分别与另外两个力大小相等、方向相反
正交 分解法 物体受到多个力作用而平衡时,将物体所受的力分解为相互垂直的两组,每组力都满足平衡条件
三角 形法 三个共点力平衡时,将力的矢量图平移使三力组成一个首尾顺次相接的矢量三角形,结合正弦定理、余弦定理、相似三角形或直角三角形等数学知识求解有关问题
[例5] 【合成法(或分解法)】 (2025·山东菏泽期末)如图所示,光滑半圆球形碗内放有一根质量分布不均匀的筷子,O点为半球的球心。当筷子静止时,筷子与碗接触点A、B的连线与碗的直径BC夹角为30°,在A点碗对筷子的作用力大小为FA,在B点碗对筷子的作用力大小为FB,筷子的质量为m,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.FA=mg B.FB=mg
C.FA=FB D.FA=2FB
[例6] 【正交分解法】 (2024·河北卷,5)如图,弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体,球体静止于带有固定挡板的斜面上,斜面倾角为30°,挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向,读数为1.0 N,g取10 m/s2,挡板对球体支持力的大小为(　　)
A. N B.1.0 N
C. N D.2.0 N
[例7] 【三角形法】 如图所示,两个可视为质点的光滑小球a和b,先用一刚性轻细杆相连,再用两根细绳分别连接a、b球,并将细绳悬挂在O点。已知小球a和b的质量之比ma∶mb=∶1,细绳Oa的长度是细绳Ob长度的倍,两球处于平衡状态时,绳Oa上的拉力大小为Fa,绳Ob上的拉力大小为Fb,则Fa∶Fb为(　　)
A.∶1 B.∶1
C.∶ D.∶
[例8] 【整体法与隔离法解多物体平衡问题】 (多选)(2024·河南开封期末)质量为M的正方体A与质量为m的圆球B在水平向右的外力F作用下静止在墙角处,它们的截面图如图所示,截面正方形的对角线与截面圆的一条直径恰好在一条直线上,所有摩擦忽略不计,重力加速度为g。则(　　)
A.F=mg
B.F=(M+m)g
C.地面受到的压力FN=(M+m)g
D.地面受到的压力FN>(M+m)g
[变式] 如图所示,若质量为m的正方体A和质量为M的正方体B放在两竖直墙和水平面间,处于静止状态。A和B的接触面与竖直方向的夹角为α,重力加速度为g,若不计一切摩擦,求水平面对正方体B的弹力大小和墙面对正方体A的弹力大小。
处理多物体平衡问题的技巧
(1)合理选择研究对象:在分析两个或两个以上物体间的相互作用时,一般采用整体法与隔离法进行分析,在使用时有时需要先整体再隔离,有时需要先隔离再整体,交替使用整体法和隔离法。
(2)转移研究对象:用隔离法直接分析一个物体的受力情况不方便时,可转移研究对象,先隔离分析相互作用的另一个物体的受力情况,再根据牛顿第三定律分析该物体的受力情况。
第4讲　牛顿第三定律　共点力的平衡
考点一
模理探真:不是。甲对乙的拉力与乙对甲的拉力是一对作用力与反作用力,大小总是相等;甲获胜的原因是地面对甲的摩擦力大于地面对乙的摩擦力。
[例1] C　[例2] D　
考点二
[例3] C　
[变式] 【答案】 见解析
【解析】 甲与扶梯一起加速运动,所以人的加速度方向为斜向右上,可以将人的加速度分解为竖直向上的加速度和水平向右的加速度;竖直方向受到重力以及扶梯的支持力,有FN-mg=may,水平方向受到水平向右的摩擦力,有Ff=max。综上所述,甲受到三个力的作用;扶梯对甲有摩擦力的作用,摩擦力的方向为水平向右。
[例4] A　
考点三
模理探真:第一种说法对,第二种说法不对。物体保持静止或做匀速直线运动时处于平衡状态,某一时刻速度为零不是物体处于平衡状态的判断依据。物体的加速度为零时一定处于平衡
状态。
[例5] C　[例6] A　[例7] B　[例8] AC　
[变式] 【答案】 (M+m)g　
【解析】 对A和B构成的整体进行受力分析,如图甲所示,整体受重力(M+m)g、水平面的支持力FN、两墙面的弹力FNA和FNB,由于两正方体受力平衡,根据共点力平衡条件,水平面对正方体B的弹力大小为FN=(M+m)g;
隔离A,对A进行受力分析,受重力mg、墙面的弹力FNA、B的弹力FNBA,如图乙所示,
根据共点力平衡条件有,
竖直方向mg=FNBAsin α,
水平方向FNA=FNBAcos α,
解得FNA=,
即墙面对正方体A的弹力大小为。第6讲　实验:探究弹簧弹力与形变量的关系 探究两个互成角度的力的合成规律
【学习目标】
1.掌握胡克定律的适用条件,理解合力与分力的等效替代关系,会应用矢量合成法则(平行四边形定则)。
2.学会用图像法处理实验数据,分析误差来源,培养用数学工具解决物理问题的能力。
3.通过实验操作,提升方案设计、器材选择和误差分析的实践能力。
4.认识实验规律在生活中的应用,养成实事求是、严谨记录数据的科学态度。
实验一:探究弹簧弹力与形变量的关系
一、装置与器材
铁架台、毫米刻度尺、弹簧、钩码(若干)、铅笔、重垂线、坐标纸等,装置如图所示。
二、实验步骤
1.将弹簧的一端挂在铁架台上,让其自然下垂,用刻度尺测出弹簧自然伸长状态时的长度l0,即原长。
2.在弹簧下端挂质量为m1的钩码,测出此时弹簧的长度l1,记录m1和l1,得出弹簧的伸长量x1,将这些数据填入自己设计的表格中。
3.改变所挂钩码的质量,测出对应的弹簧长度,记录m2、m3、m4、m5和相应的弹簧长度l2、l3、l4、l5,并得出每次弹簧的伸长量x2、x3、x4、x5。
三、数据处理
1.列表法:将实验数据填入表中,研究测量的数据,可发现在　　　　　　的范围内,弹力与弹簧伸长量的比值不变。
2.图像法:以　　　　　　为纵轴,　　　　　　　　为横轴,用描点法作图,根据描点的情况,作出弹力F与弹簧伸长量x间的变化图线。
四、注意事项
1.操作:弹簧　　　　悬挂,待钩码　　　　时测出弹簧长度。
2.作图:坐标轴标度要适中,单位要标注,连线时要使各数据点均匀分布在图线的两侧,明显偏离图线的点要舍去。
3.适量:弹簧下端所挂钩码不要　　　　,以免超出弹性限度。
4.多测:要使用轻质弹簧尽可能多测几组数据。
5.统一:弹力及伸长量对应关系及单位应统一。
五、误差分析
1.钩码标称值不准确、弹簧长度测量不准确以及画图时描点连线不准确等都会引起实验误差。
2.悬挂钩码数量　　　　,导致弹簧超出了其弹性限度,不再符合胡克定律(F=kx),故图线发生弯曲,如图甲所示。
3.弹簧水平放置测量其原长,由于　　　　　　　　　,将其悬挂起来后会有一定的伸长量,故图像横轴截距不为零,如图乙所示。
实验二:探究两个互成角度的力的合成规律
一、装置与器材
木板、白纸、图钉若干、橡皮条、细绳、轻质小圆环、弹簧测力计两个、三角板、刻度尺等,装置如图所示。
二、实验步骤
1.用图钉把白纸钉在水平桌面上方的木板上。
2.用图钉把橡皮条的一端固定在G点,橡皮条的另一端连接轻质小圆环,橡皮条的原长为GE,如图甲所示。
3.用两个弹簧测力计分别通过连接小圆环的细绳,互成角度地拉动小圆环至某点O,橡皮条伸长的长度为EO。记录　　　　　　　　　　　　,用铅笔描下　　　　的位置及此时　　　　　　　　　　　　(即细绳方向),如图乙所示。
4.改用一个弹簧测力计单独拉住小圆环到　　　　,记录弹簧测力计的　　　 　,如图丙所示。
5.改变两个力F1、F2的大小和夹角,再重复3、4两个实验步骤。
三、数据处理
1.用铅笔和刻度尺从O点沿两条细绳方向画直线,按选定的标度作出这两个弹簧测力计的拉力F1和F2的图示。
2.用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的方向作出只用一个弹簧测力计时拉力F的图示。
3.以F1和F2为邻边用刻度尺作平行四边形,过O点作出平行四边形的对角线,此对角线代表的力记为F',看F'与F在误差允许范围内是否重合。
四、注意事项
1.同一实验中的两个弹簧测力计的选取方法是:将两个弹簧测力计调零后互钩对拉,读数
　　　　。
2.在同一次实验中,使橡皮条拉长时,结点O的位置一定要　　　　。
3.用两个弹簧测力计钩住绳套互成角度地拉橡皮条时,夹角　　　　 　　　,在60°~100°为宜。
4.实验时弹簧测力计应与木板平行,读数时眼睛要正视弹簧测力计的刻度,在合力不超过量程及橡皮条弹性限度的前提下,拉力的数值　　　　　。
5.细绳套应　　　　　　,便于确定力的方向。不要直接沿细绳套的方向画直线,应在细绳套末端用铅笔画一个点,移开细绳套后,再将所标点与O点连接,即可确定力的方向。
6.在同一次实验中,画力的图示所选定的标度要相同,并且要恰当选取标度,使所作力的图示稍长一些。
五、误差分析
1.误差来源
(1)　　　　　和作图误差。
(2)两力F1、F2间的夹角θ过大或过小,用平行四边形定则作图得出的合力F'的相对误差越大。
2.减小误差的办法
(1)实验过程中,读数时眼睛一定要
弹簧测力计的刻度,要按有效数字和弹簧测力计的精度正确读数和记录。
(2)用刻度尺作平行四边形时借助于三角板,使表示两力的对边平行。
考点一　基础性实验
[例1] 【实验原理与实验操作】 (2025·天津北辰阶段练习)某实验小组利用如图甲所示实验装置“探究弹簧弹力与形变量的关系”,他们的实验步骤如下:
A.将铁架台固定于水平桌面上,按如图所示安装好实验装置;
B.以弹簧的弹力F(弹簧下端所挂钩码受的重力)为纵轴,以弹簧伸长的长度x(x=L-L0)为横轴建立直角坐标系,根据测得的数据,用描点法作图,画出F-x图像;
C.依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个……钩码,并分别记录钩码静止时,弹簧下端所对应的刻度L,然后取下钩码;
D.记下弹簧自由下垂时,其下端在刻度尺上的刻度L0;
E.根据图像写出弹簧弹力F与伸长量x的关系式,得出弹力与伸长量的规律,分析函数表达式中常数的物理意义。
(1)请按实验操作的先后顺序排序:A　　　　E。
(2)另一个小组在实验步骤D的操作中,将同一弹簧水平放置测出其自然长度L0',然后竖直悬挂完成实验。他们得到的F-x图像用虚线表示,前面小组得到的F-x图像用实线表示。下列图像最符合实际的是　　　　(填字母)。
A　　　B
C　　　D
[例2] 【实验原理与实验操作】 (2023·全国乙卷,22)在“验证力的平行四边形定则”的实验中使用的器材有:木板、白纸、两个标准弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、刻度尺、铅笔、细线和图钉若干。完成下列实验步骤:
(1)用图钉将白纸固定在水平木板上。
(2)将橡皮条的一端固定在木板上,另一端系在轻质小圆环上。将两细线也系在小圆环上,它们的另一端均挂上测力计。用互成一定角度、方向平行于木板、大小适当的力拉动两个测力计,小圆环停止时由两个测力计的示数得到两拉力F1和F2的大小,并　　　　。(多选,填字母)
A.用刻度尺量出橡皮条的长度
B.用刻度尺量出两细线的长度
C.用铅笔在白纸上标记出小圆环的位置
D.用铅笔在白纸上标记出两细线的方向
(3)撤掉一个测力计,用另一个测力计把小圆环拉到　　　　　　,由测力计的示数得到拉力F的大小,沿细线标记此时F的方向。
(4)选择合适标度,由步骤(2)的结果在白纸上根据力的平行四边形定则作F1和F2的合成图,得出合力F'的大小和方向;按同一标度在白纸上画出力F的图示。
(5)比较F'和F的　　　　　　,从而判断本次实验是否验证了力的平行四边形定则。
[例3] 【实验数据处理与误差分析】 (2025·湖北二模)某同学用图甲装置做“探究弹簧弹力与形变量的关系”实验。
(1)在图乙中,刻度尺保持竖直,为了便于直接读出弹簧的长度,刻度尺的零刻度应与弹簧的
　　　　(选填“上端”或“下端”)对齐,不挂钩码时指针所指刻度尺的位置如图乙所示,则此时弹簧的长度L0=　　　　 cm。
(2)改变所挂钩码的个数,进行多次实验,记录每次所挂钩码的质量m及弹簧的长度L,根据F=mg求得弹力(重力加速度g取10 m/s2),根据x=L-L0求弹簧的伸长量,得到多组F、x的值作F-x图像,如图丙所示。由图像求出弹簧的劲度系数k=　　　　 N/m。
(3)本实验中弹簧自重对弹簧劲度系数的测量结果　　　(选填“有”或“无”)影响。
[例4] 【实验数据处理与误差分析】 (2025·新疆喀什模拟)如图甲所示,某小组在水平放置的方木板上做“探究两个互成角度的力的合成规律”实验。实验的主要过程如下:
①将橡皮筋的一端固定,两名同学合作,先同时用两个力F1、F2将橡皮筋的另一端拉到某一点O,同时记录F1和F2的大小和方向,再用一个力F'将橡皮筋的端点拉到同一位置O,记录F'的大小和方向;
②过O点,按统一标度作出力F1、F2和F'的图示,如图乙所示;
③以F1、F2这两个力为邻边作出平行四边形,其对角线为如图乙所示的F。
回答下列问题:
(1)下列说法正确的是　　　。(填字母)
A.F1、F2之间的夹角最好为120°
B.为了避免摩擦力的影响,要斜向上拉弹簧测力计
C.用一个弹簧测力计拉橡皮筋时,需调整弹簧测力计的拉力大小与方向,直到橡皮筋结点与事先标记的O点重合
D.平行四边形求和的方法适用于某些矢量的求和,速度的合成遵循这种求和的方法,位移以及磁感应强度的合成不遵循这种方法
(2)对图乙,F1、F2合力的理论值是　　　　,实际测量值是　　　　(均选填“F'”或“F”)。
(3)实验小组重新做了一次实验,如图丙所示,若图中每一小格边长均代表1.5 N,则在图中作出F1与F2的合力为　　　　N(结果保留两位有效数字)。
考点二　创新性实验
[例5] 【实验原理的创新】 (2025·甘肃白银期末)弹簧是大家在生活中比较常见的机械零件,弹簧在外力作用下发生形变,撤去外力后,弹簧就能恢复原状。很多工具和设备都是利用弹簧这一性质来工作的。实验室中有五根一模一样的弹簧,某实验小组的两名同学想测量这批弹簧的劲度系数,将弹簧等间距地悬挂在铁架台的水平横杆上,如图甲所示,1号弹簧下端不挂钩码,2号弹簧下端挂1个钩码,3号弹簧下端挂2个钩码,依此类推,钩码均相同。
(1)为了更直观地呈现出弹簧弹力大小F与弹簧伸长量Δx的关系,该实验小组同学以1号弹簧末端指针所指的位置为坐标原点,竖直方向为y轴,水平方向为x轴建立直角坐标系,其中y轴代表　　　　(选填“钩码重力mg”“钩码个数n”或“弹簧的伸长量Δx”),x轴代表弹力F。
(2)为了测量弹簧的伸长量,同学A取来一把米尺,将其竖直放置在地上,米尺的100.00 cm 刻度线刚好与1号弹簧末端指针在同一水平线上,测量2号弹簧伸长量时,弹簧末端指针位置如图乙所示,已知此时弹簧的弹力F=2.00 N,则这根弹簧的劲度系数为　　　 N/cm。(结果保留三位有效数字)
(3)同学B重新实验,依次测量1号、2号、3号、4号、5号弹簧的实验数据,根据测量的数据作出图像如图丙所示,已知图丙中数据的单位均取国际单位制单位,则这些弹簧的劲度系数为
　　　　 N/m。(结果保留三位有效数字)
[例6] 【实验目的的创新】 (2025·吉林模拟)如图甲所示,实验小组打算用量程为5 N的弹簧测力计,测量一个超出其量程的物体所受的重力。
(1)将表面印有等距圆环的白纸固定在竖直放置的木板上。
(2)三根细线分别与弹簧测力计一端、一个图钉、待测重物相连,弹簧测力计的另一端固定,通过改变图钉在木板上的位置调节细线OB,使细线的结点O与圆环的圆心位置重合。
(3)标出OA、OB、OC的拉力方向,记录弹簧测力计的读数如图甲所示,为　　 　 N。
(4)设定相邻两环间距离表示1 N,根据共点力平衡条件和平行四边形定则,用“力的图示”在图乙中作出OA、OB拉力的合力,由作图结果可得重物的重力为　　　　 N(结果保留一位有效数字)。
(5)若结点O和图钉的位置不动,使弹簧测力计拉动细线OA从图示位置逆时针缓慢转动至水平,则弹簧测力计示数大小变化情况为　　　　　(选填“增大”“减小”或“先减小后增大”)。
[例7] 【实验器材的创新】 (2025·四川卷,11)某学习小组利用生活中常见的物品开展“探究弹簧弹力与形变量的关系”实验。已知水的密度为1.0×103 kg/m3,当地重力加速度为9.8 m/s2。
实验过程如下:
(1)将两根细绳分别系在弹簧两端,将其平放在较光滑的水平桌面上,让其中一个系绳点与刻度尺零刻度线对齐,另一个系绳点对应的刻度如图甲所示,可得弹簧原长为　　　　cm。
(2)将弹簧一端细绳系到墙上挂钩上,另一端细绳跨过固定在桌面边缘的光滑金属杆后,系一个空的小桶。使弹簧和桌面上方的细绳均与桌面平行,如图乙所示。
(3)用带有刻度的杯子量取50 mL水,缓慢加到小桶里,待弹簧稳定后,测量两系绳点之间的弹簧长度并记录数据。按此步骤操作6次。
(4)以小桶中水的体积V为横坐标,弹簧伸长量x为纵坐标,根据实验数据拟合成如图丙所示直线,其斜率为200 m-2。由此可得该弹簧的劲度系数为　　　　N/m(结果保留两位有效数字)。
(5)图丙中直线的截距为0.005 6 m,可得所用小桶质量为　　　kg(结果保留两位有效数字)。
[例8] 【数据处理的创新】 (2025·黑吉辽内蒙古卷,12)某兴趣小组设计了一个可以测量质量的装置。如图甲,细绳1、2和橡皮筋相连于一点,绳1上端固定在A点,绳2下端与水杯相连,橡皮筋的另一端与绳套相连。
为确定杯中物体质量m与橡皮筋长度x的关系,该小组逐次加入等质量的水,拉动绳套,使绳1每次与竖直方向夹角均为30°且橡皮筋与绳1垂直,待装置稳定后测量对应的橡皮筋长度。根据测得的数据作出x-m关系图线,如图乙所示。
回答下列问题。
(1)将一芒果放入此空杯,按上述操作测得x=11.60 cm,由图乙可知,该芒果的质量m0=　　　　 g(结果保留到个位)。若杯中放入芒果后,绳1与竖直方向夹角为30°但与橡皮筋不垂直,由图像读出的芒果质量与m0相比　　　　(选填“偏大”或“偏小”)。
(2)另一组同学利用同样方法得到的x-m图像在后半部分弯曲,下列原因可能的是　　　　。
A.水杯质量过小
B.绳套长度过大
C.橡皮筋伸长量过大,弹力与其伸长量不成正比
(3)写出一条可以使上述装置测量质量范围增大的措施。 　
。
第6讲　实验:探究弹簧弹力与形变量的
关系　探究两个互成角度的力的合成规律
考点一
[例1] 【答案】 (1)DCB　(2)C
【解析】 (1)安装好实验装置后,记下弹簧自然下垂时下端所对应的刻度,接下来开始实验操作记录数据,根据数据作出图像,最后得出结论,故正确顺序为ADCBE。
(2)弹簧竖直悬挂时,弹簧在自身重力作用下要伸长,即竖直悬挂时弹簧的原长比水平放置在桌面上所测原长要长,即还未挂钩码弹簧就有了一定的伸长量,图线应与横轴交于正半轴,两种情况下弹簧的劲度系数相同,两图线平行。
[例2] 【答案】 (2)CD　(3)相同位置　(5)大小和方向
【解析】 (2)当得到两拉力F1和F2的大小后,还需要用铅笔在白纸上标记出小圆环的位置以及两细线的方向。
(3)撤掉一个测力计,用另一个测力计把小圆环拉到相同位置,由测力计的示数得到拉力F的大小,沿细线标记此时F的方向。
(5)比较F′和F的大小和方向,从而判断本次实验是否验证了力的平行四边形定则。
[例3] 【答案】 (1)上端　14.94　(2)187.5　(3)无
【解析】 (1)为了方便读出弹簧的长度,刻度尺的零刻度应与弹簧的上端对齐。由题图乙可知该刻度尺的分度值为1 mm,估读到分度值的下一位,则弹簧的长度L0=14.94 cm。
(2)根据胡克定律,结合Fx图像可知,弹簧的劲度系数
k== N/m=187.5 N/m。
(3)由于本实验是竖直悬挂测弹簧原长,之后悬挂重物做实验,所以弹簧自重对测量结果没有影响。
[例4] 【答案】 (1)C　(2)F　F′　(3)9.0
【解析】 (1)两绳之间的夹角不能太大也不能太小,也不一定是特殊的120°,故A错误;使用弹簧测力计时,弹簧测力计的面板应与木板平行,不可以斜向上拉弹簧测力计,故B错误;用一个弹簧测力计拉细绳时,需调整弹簧测力计的大小与方向,直到橡皮筋结点与事先标记的O点重合,这样才能保证F′与F1、F2是等效替代关系,故C正确;平行四边形求和的方法适用于一切矢量的求和,位移、速度、磁感应强度的合成都遵循这种求和的方法,故D错误。
(2)对题图乙,F1、F2合力的理论值是平行四边形的对角线,即F。实际测量值是F′。
(3)根据平行四边形定则,作出的合力如图所示,图中每一小格边长均代表1.5 N,则作出F1与F2的合力大小为F=6×1.5 N=9.0 N。
考点二
[例5] 【答案】 (1)弹簧的伸长量Δx　(2)0.500　(3)50.0
【解析】 (1)由题意,已知x轴代表弹力F,由题图甲知,1号弹簧对应1位置,表示弹簧的长度,每挂一个钩码弹簧都会变长一些,y轴记录了弹簧挂上钩码后伸长的长度,故y轴代表弹簧的伸长量Δx。
(2)刻度尺的分度值为1 mm,读数时需要估读到分度值的下一位,由题图乙知,2号弹簧末端指针位置对应的刻度为96.00 cm,故弹簧伸长量Δx=100 cm-96.00 cm=4.00 cm,劲度系数k===0.500 N/cm。
(3)根据胡克定律,有k=,由题图丙得k′===50.0 N/m。
[例6] 【答案】 (3)3.00　(4)8　(5)先减小后增大
【解析】 (3)由于弹簧测力计的分度值为0.1 N,需要估读到分度值的下一位,故其读数为
3.00 N。
(4)根据力的图示可知,重力的大小等于合力的大小,即G=F合=8 N。
(5)作出如图所示的动态矢量三角形,可知弹簧测力计的示数先减小后增大。
[例7] 【答案】 (1)13.15　(4)49　(5)0.028
【解析】 (1)由题图甲知,该刻度尺的分度值为0.1 cm,读数时应估读到分度值的下一位,故弹簧原长为13.15 cm。
(4)设小桶质量为m,由胡克定律可知mg+ρVg=kx,化简可得x=V+,由图像可知=200 m-2,代入数据解得该弹簧的劲度系数为k=49 N/m。
(5)由题图丙可知=0.005 6 m,代入数据可得所用小桶质量为m=0.028 kg。
[例8] 【答案】 (1)106　偏大　(2)C
(3)减小细绳与竖直方向的夹角(或增加橡皮筋的条数)
【解析】 (1)操作测得x=11.60 cm,由题图乙的图像坐标可知,该芒果的质量为106 g;若杯中放入芒果后,绳1与竖直方向夹角为30°但与橡皮筋不垂直,根据共点力平衡作受力分析图如图,可知橡皮筋的拉力变大,导致橡皮筋的长度偏大,则根据图像读出的芒果质量与m0相比偏大。
(2)另一组同学利用同样方法得到的xm图像在后半部分弯曲,可能是所测物体的质量过大,导致橡皮筋所受的弹力过大,伸长超过了弹性限度,从而使橡皮筋弹力与其伸长量不成正比,故选C。
(3)根据共点力平衡条件可知,减小绳子与竖直方向的夹角或增加橡皮筋的条数都可以增大质量测量范围。第2讲　小专题:摩擦力的综合分析
【学习目标】
1.深入理解摩擦力的产生条件、方向判断及大小计算,能结合平衡条件与牛顿运动定律分析实际问题。
2.掌握处理摩擦力突变和临界问题的方法,提升逻辑推理与模型建构能力。
3.通过实验探究影响摩擦力的因素,学会误差分析与方案设计。
4.认识摩擦力在科技与生活中的双重作用,辩证分析其利弊,培养科学严谨的态度。
考点一　摩擦力的计算
摩擦力大小的计算方法
(1)公式法。
①滑动摩擦力:根据公式Ff=μFN计算。
②最大静摩擦力:与接触面间的压力成正比,其值略大于滑动摩擦力,当认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力时,Fmax=μFN。
(2)状态法。
①物体处于平衡状态可利用力的平衡条件来计算。
②物体处于变速状态可根据牛顿第二定律进行分析。
[例1] 【公式法求摩擦力】 (2025·云南昆明阶段检测)如图甲、乙、丙所示,一个质量为1 kg 的圆柱工件放在“V”形槽中,槽顶角α=60°,槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同且大小为μ=0.25。现把整个装置倾斜,工件沿槽下滑。已知工件的轴线与水平方向的夹角为37°,工件对“V”形槽两侧面的压力大小相等,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2,则(　　)
A.工件对“V”形槽一侧的压力为10 N
B.“V”形槽对工件的摩擦力为6 N
C.“V”形槽对工件的摩擦力为2 N
D.“V”形槽对工件的摩擦力为4 N
[变式] 在[例1]中,若工件恰好能沿槽匀速下滑,求此时槽与工件接触处的动摩擦因数μ'。
[例2] 【状态法求摩擦力】 (2025·山东济南期末)如图所示,粗糙斜面C置于粗糙水平地面上,轻绳跨过光滑的定滑轮,一端悬挂物块A,另一端与斜面上的物块B相连,滑轮左侧的轻绳与斜面平行,整个装置保持静止状态。已知物块A的质量为1.2 kg,物块B的质量为1 kg,斜面倾角θ=37°,物块B与斜面C之间的动摩擦因数μ=0.8,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,下列说法正确的是(　　)
A.地面对斜面C的摩擦力大小为12 N
B.斜面C对物块B的摩擦力大小为12 N
C.若剪断轻绳,则地面对斜面C的摩擦力大小为0
D.若剪断轻绳,则斜面C对物块B的摩擦力大小为6.4 N
考点二　摩擦力的突变问题
1.摩擦力突变常见的情况
分类及图示 案例
“静—静” 突变 在水平力F作用下物体静止于斜面上,F突然增大时物体仍静止,则物体所受静摩擦力的大小或方向将“突变”
“静—动” 突变 物体放在粗糙水平面上,作用在物体上的水平力F从零逐渐增大,当物体开始滑动时,物体受水平面的摩擦力由静摩擦力“突变”为滑动摩擦力
“动—静” 突变 滑块以v0冲上斜面做减速运动,当到达某位置时速度减为零,而后静止在斜面上,滑动摩擦力“突变”为静摩擦力
“动—动” 突变 水平传送带的速度v1大于滑块的速度v2,滑块受到的滑动摩擦力方向水平向右,当传送带突然被卡住时,滑块受到的滑动摩擦力方向“突变”为向左
2.分析摩擦力突变问题的方法
(1)在涉及摩擦力的情况中,题目中出现“最大”“最小”和“刚好”等关键词时,一般隐藏着摩擦力突变的临界问题。某个物理量在变化过程中发生突变,可能导致摩擦力突变,则该物理量突变时的状态即为临界状态。
(2)存在静摩擦力的情境中,物体由相对静止变为相对运动,或者由相对运动变为相对静止,或者受力情况发生突变,往往是摩擦力突变问题的临界状态。
(3)确定各阶段摩擦力的性质和受力情况,对各阶段摩擦力进行分析。
[例3] 【“静—静”突变】 (2025·甘肃兰州模拟)如图所示,木块A、B分别重50 N和60 N,与水平地面之间的动摩擦因数均为0.2。夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了2 cm,弹簧的劲度系数为400 N/m。用F=2 N 的水平拉力拉木块B,木块A、B均保持静止。最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,下列说法正确的是(　　)
A.弹簧的弹力大小为80 N
B.木块A受到的摩擦力大小为10 N
C.木块B受到的摩擦力大小为6 N
D.地面对A、B组成的系统的摩擦力大小为2 N
[例4] 【“静—动”突变】 (多选)某同学利用图甲所示装置研究摩擦力的变化情况,实验台上固定一个力传感器,传感器用棉线拉住物块,物块放置在粗糙的长木板上。水平向左拉木板,传感器记录的Ft图像如图乙所示。已知物块质量为m=1 kg,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.实验中必须让木板保持匀速运动,否则力传感器的示数不等于摩擦力
B.图乙中曲线反映的是拉力随时间的变化,其数值等于对应时刻物块受到的摩擦力大小
C.由图乙可知,物块与木板间的最大静摩擦力约为10 N,滑动摩擦力约为7 N,则动摩擦因数μ=0.7　
D.若增大拉力使木板加速运动,力传感器的示数会持续增大
[例5] 【“动—静”突变】 如图所示,把一重力为G的物体,用一个水平的推力F=kt(k为恒量,t为时间)压在竖直的足够高的平整墙面上,从t=0 开始,物体所受的摩擦力Ff随t的变化关系正确的是(　　)
A　 B
C　 D
[例6] 【“动—动”突变】 (多选)如图所示,足够长的传送带与水平面间的夹角为θ,以速度v0逆时针匀速转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块,小木块与传送带间的动摩擦因数μA　 B
C　 D
[变式] 在[例6]中,若小木块与传送带间的动摩擦因数μ>tan θ,选沿传送带向下为正方向,则下列能客观地反映小木块的受力或运动情况的是(　　)
A　 B
C　 D
摩擦力突变问题的注意事项
(1)静摩擦力是被动力,其大小、方向取决于物体间的相对运动趋势,而且静摩擦力存在最大值。存在静摩擦力的连接系统,相对滑动与相对静止的临界状态是静摩擦力达到最大值。
(2)滑动摩擦力的突变问题:滑动摩擦力的大小与接触面的动摩擦因数和接触面受到的压力均成正比,发生相对运动的物体,如果接触面的动摩擦因数发生变化或接触面受到的压力发生变化,则滑动摩擦力就会发生变化。
(3)研究传送带问题时,物体和传送带速度相等的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性质发生变化的分界点。
第2讲　小专题:摩擦力的综合分析
考点一
[例1] D　
[变式] 【答案】 0.375
【解析】 把整个装置倾斜,则重力沿压紧两侧斜面的分力F1′=F2′=mgcos 37°=0.8mg,匀速下滑,此时工件每个侧面所受槽的摩擦力大小Ff′=,由Ff′=μ′F2′,解得μ′==0.375。
[例2] C　
考点二
[例3] D　[例4] BC　[例5] B　
[例6] BD　[变式] C　第3讲　力的合成与分解
【学习目标】
1.理解合力与分力的等效替代关系,掌握平行四边形定则和正交分解法,建立矢量合成的运算思想。
2.运用平行四边形定则或三角形定则分析多力合成与分解,掌握正交分解法解决实际问题。
3.通过实验探究合力与分力的关系,培养误差分析与方案设计能力。
4.认识力学规律在工程中的应用价值,养成严谨的矢量运算习惯,避免标量思维误区。
[footnoteRef:0] [0:
1.(多选)(2025·云南昆明期中)关于力的合成和分解,下列说法正确的是(　　)
A.两个力的合力,可能比这两个分力都小
B.已知合力及一个分力的大小和方向,求另一个分力有唯一解
C.两个分力大小一定,夹角越大,合力越小
D.把一个力分解为两个分力,两个分力不能同时大于这个力的2倍
2.(多选)如图所示,把光滑斜面上物体所受的重力G分解为F1、F2两个力,则(　　)
A.F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力,F2是物体对斜面的压力
B.物体受到G、FN、F1、F2四个力作用
C.物体受到的合力为Gsin θ,方向沿斜面向下
D.FN、F1、F2三个力的作用效果和G与FN两个力的作用效果相同]
考点一　共点力的合成
(1)互成角度的两个力,其中一个力增大后,合力一定增大吗 请作图说明。
(2)有三个共点力F1=8 N,F2=7 N,F3=16 N,这三个力合力的最大值和最小值分别是多少 若F3=10 N 呢
1.共点力合成的方法
(1)作图法。
(2)计算法。
①图甲中,F1与F2垂直,F=。
②图乙中,F1与F2大小相等,夹角为θ,F=2F1cos 。
③图丙中,F1与F2大小相等,夹角为120°,F=F1=F2。
2.合力大小的范围
(1)两个共点力的合成。
①当两个力方向相同时,合力最大,Fmax=F1+F2。
②当两个力方向相反时,合力最小,Fmin=|F1-F2|。
③合力大小的变化范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2。
(2)三个共点力的合成。
①最大值:当三个分力同方向时,合力最大,即Fmax=F1+F2+F3。
②最小值:如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内,则其合力的最小值为零,即Fmin=0;如果不处于,则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和,即Fmin=F1-(F2+F3)(F1为三个力中最大的力)。
3.多个共点力的合成方法
依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力,再求这个合力与第三个力的合力,依次类推,求完为止。
[例1] 【两个力的合成及合力的范围】 (2025·山西太原期末)两个力F1和F2之间的夹角为θ,其合力为F。下列说法正确的是(　　)
A.若F1和F2大小不变,θ角越大,合力F就越大
B.合力F总比分力F1、F2中的任何一个力都大
C.合力F的大小范围是|F1-F2|D.若夹角θ不变,F1大小不变,F2增大,合力F可能先减小后增大
[例2] 【作图法求合力】 (2025·广东茂名期末)某质点在同一平面内同时受三个共点力作用的四种情况分别如图甲、乙、丙、丁所示,已知图中每个正方形方格的边长表示大小为1 N的力,则下列关于该质点所受合力大小的说法正确的是(　　)
A.图甲中质点所受的合力大小等于4 N
B.图乙中质点所受的合力大小等于5 N
C.图丙中质点所受的合力大小等于0
D.图丁中质点所受的合力大小等于3 N
[例3] 【共点力的合成】 (2025·山西大同阶段检测)如图所示,一个“Y”形弹弓顶部跨度为L,两根相同的橡皮条自由长度均为L,在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律,且劲度系数为k,发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为1.5L(弹性限度内),则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为(　　)
A.kL B.kL
C.kL D.2kL
考点二　力的分解
1.力的分解常用的方法
项目 正交分解法 效果分解法
分解 方法 将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解 根据一个力产生的实际效果进行分解
实例 分析 x轴方向上的分力 Fx=Fcos θ, y轴方向上的分力 Fy=Fsin θ F1=, F2=Gtan θ
力的分 解方法 选取 原则 一般来说,当物体受到三个或三个以下的力时,常按效果分解法进行分解。若这三个力中,有两个力互相垂直,优先选用正交分解法。当物体受到三个以上的力时,常用正交分解法
2.一个已知力分解时有无解的讨论
已知合力F和两个分力F1、F2的方向,求两个分力的大小,有唯一解
已知合力F和一个分力(大小、方向)求另一个分力(大小、方向),有唯一解
已知合力F和两分力F1、F2(F1>F2)的大小,求两分力的方向 F>F1+F2,无解
F=F1+F2,有唯一解,F1和F2与F同向
F=F1-F2,有唯一解,F1与F同向,F2与F反向
F1-F2已知合力F和F1的方向、F2的大小(F1与合力的夹角为θ) F2F2=Fsin θ,有唯一解
Fsin θF2≥F,有唯一解
[例4] 【力的正交分解法】 (2024·湖北卷,6)如图所示,两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进,两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f,方向与船的运动方向相反,则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
A.f B.f
C.2f D.3f
[例5] 【力的效果分解法】 (2025·广东佛山开学考试)如图甲所示是斧子砍进木桩时的示意图,其横截面如图乙所示,斧子的剖面可视作顶角为θ的等腰三角形,若施加竖直向下的力与斧子所受重力合为F,则(　　)
A.侧向分力F1、F2的大小为
B.F越小,斧子对木桩的侧向压力越大
C.相同的力F,θ越大的斧子,越容易劈开木桩
D.相同的力F,θ越小的斧子,越容易劈开木桩
[例6] 【力的分解的多解问题】 (多选)已知力F,且它的一个分力F1与F成30°角,大小未知,另一个分力F2的大小为F,方向未知,则F1的大小可能是(　　)
A. B.
C. D.F
[变式] 若已知力F,且它的一个分力F1与F成30°角,F1大小未知,当另一个分力F2取最小值时,分力F1大小为多少
考点三　“活结—死结”模型与“动杆—定杆”模型
1.“活结—死结”模型
模型结构 模型解读 模型特点
“活结”把绳子分为两段,且可沿绳移动,“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成,绳子因“活结”而弯曲,但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
“死结”把绳子分为两段,且不可沿绳子移动,“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上的张力不一定相等
2.“定杆—动杆”模型
模型结构 模型解读 模型特点
轻杆被固定, 不发生转动 杆受到的弹力方向不一定沿杆
轻杆用光滑的转轴或铰链连接 杆平衡时,杆所受到的弹力方向一定沿着杆,否则杆会转动
[例7] 【“活结—死结”模型】 如图,悬挂物体甲的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处;绳的一端固定在墙上,另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连,甲、乙两物体质量相等。系统平衡时,O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α=70°,则β等于(　　)
A.45° B.55° C.60° D.70°
[变式] 在[例7]中,若甲、乙两物体的质量均为m=2 kg,重力加速度g取10 m/s2,取sin 55°=0.82,sin 70°=0.94。绳OA的拉力约为多大
[例8] 【“定杆—动杆”模型】 (多选)(2025·山东期中)如图甲所示,水平轻杆BC一端固定在竖直墙上,另一端C处固定一个光滑轻质定滑轮,一端固定的轻绳AD跨过定滑轮拴接一个质量为m的重物P,∠ACB=30°。如图乙所示,水平轻杆HG一端用光滑铰链固定在竖直墙上,另一端通过轻绳EG固定,∠EGH=30°,在轻杆的G端用轻绳GF悬挂一个与重物P质量相等的重物Q。重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.轻杆BC产生的弹力方向沿杆向外
B.轻杆BC对定滑轮的作用力大小为mg
C.轻杆HG产生的弹力方向沿杆向外
D.轻绳EG上的拉力大小为2mg
第3讲　力的合成与分解
考点一
模理探真:(1)不一定。如图,F2增大后,合力F可能减小,可能不变,还可能增大。
(2)31 N,1 N;25 N,0。
[例1] D　[例2] B　
[例3] A　
考点二
[例4] B　[例5] D　
[例6] AC　
[变式] 【答案】 F
【解析】 根据三角形定则知,当另一个分力F2与F1垂直时,F2最小,则F1=Fcos 30°=F。
考点三
[例7] B　
[变式] 【答案】 23 N
【解析】 如图所示,由拉密定理得
=,
又FTOC=mg=20 N,
解得FTOA=F合=23 N。
[例8] BCD　

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