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第3讲　小专题:抛体运动中的综合性问题
【学习目标】
1.深化理解抛体运动的合成与分解原理,掌握复杂情境下的运动分析与临界条件判断。
2.熟练运用数学工具解决抛体运动的极值、相遇等问题,培养多过程综合建模能力。
3.关注抛体运动在航天、体育等领域的实际应用,强化科学建模的实践意识。
考点一　分解法处理类平抛和斜抛运动
1.类平抛运动问题分析
(1)受力特点。
物体所受的合外力为恒力,且与初速度的方向垂直。
(2)运动特点。
在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度 a=。
(3)分解方法。
通常将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动,和垂直于初速度方向的初速度为零的匀加速直线运动来处理,平抛运动中的结论或推论在此仍然成立。
2.斜抛运动的分解方法
图 示
分解 方法 水平、竖直正交分解,化曲为直 将初速度和重力加速度沿斜面和垂直于斜面分解
基本 规律 水平方向: vx=v0cos θ x=v0cos θ·t 竖直方向: vy=v0sin θ-gt y=v0sin θ·t-gt2 最高点: hm= 垂直于斜面: g1=gcos α v1=v0sin θ-g1·t y=v0sin θ·t-g1t2 沿着斜面: g2=gsin α v2=v0cos θ+g2·t x=v0cos θ·t+g2t2 最高点: hm=
[例1] 【类平抛运动的分析】 (2025·黑龙江大庆期末)风洞,被称为飞行器的摇篮,我国的风洞技术世界领先。如图所示,在一次实验中,风洞竖直放置且足够长,质量为m的小球从A点以速度v0=10 m/s沿直径水平进入风洞。小球在风洞中运动时受到的风力F恒定,方向竖直向上,风力大小F可在0~3mg间调节。小球可视作质点,碰壁后不反弹,重力加速度g取10 m/s2,风洞横截面直径L=10 m。
(1)当F=0时,求小球撞击右壁的速度大小和方向;
(2)保持v0不变,调节F的大小,求小球撞击右壁的区域长度。
[例2] 【分解法处理斜抛运动】 (多选)(2024·山东卷,12)如图所示,工程队向峡谷对岸平台抛射重物,初速度v0大小为20 m/s,与水平方向的夹角为30°,抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°,重力加速度大小取10 m/s2,忽略空气阻力。重物在此运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物与PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
建立斜坐标系处理斜抛运动
(1)本题也可以建立初速度方向和竖直方向的斜坐标系,如图:
初速度方向为匀速直线运动,竖直方向为自由落体运动。
初速度方向有x=v0t,
竖直方向有y=gt2,
由几何关系得v0t=gt2,lPQ=v0t。
(2)将斜抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动时,平抛运动中的两个推论仍然是成立的。
考点二　抛体中的多物体问题
抛体中的多物体问题主要指抛体运动中的相遇问题。抛体运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动,所谓相遇就是二者同时到达空间中同一位置。根据问题情境不同,运用相应物理规律和几何条件列方程解答。
[例3] 【平抛运动中的多物体问题】 (2025·四川乐山期中)如图所示,将a、b两小球(均可视为质点)以大小为20 m/s 的初速度分别从A、B两点先后相差1 s水平相向抛出,a小球从A点抛出后,经过时间t,a、b两小球恰好在空中相遇,且速度方向相互垂直,不计空气阻力,g取10 m/s2,则抛出点A、B间的水平距离是(　　)
A.60 m B.100 m
C.140 m D.180 m
[例4] 【斜抛运动中的多物体问题】 (多选)(2025·山东开学考试)如图所示,从同一水平面上的M、N两点同时抛出两个小球P、Q,出射速度与水平方向夹角分别为30°和60°,两小球运动轨迹在同一竖直面内,射出后经t=1 s两小球在空中相遇,已知M、N两点间的距离为x=20 m,忽略空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.小球P的出射速度大小为5 m/s
B.小球Q的出射速度大小为10 m/s
C.两小球相遇时P小球处于上升阶段
D.两小球相遇位置与M点的水平距离大于与N点的水平距离
[例5] 【平抛和斜抛运动中的多物体问题】 (多选)(2025·山东潍坊二模)如图所示,P、Q、M为同一竖直平面内的三点,P、Q位于同一条竖直线上,Q、M位于水平地面上,且PQ=QM。某一时刻小球甲从P点水平抛出,同时小球乙从Q点与QM成θ角抛出,速度方向如图,两球在M点相遇,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.从抛出到相遇,乙速度变化量大于甲
B.甲、乙初速度大小之比为1∶
C.相遇前瞬间,甲、乙速度大小之比为2∶
D.仅改变乙抛出的θ角,则其落地时一定位于M点的左侧
考点三　平抛运动中的临界问题
1.常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极值点往往是临界点。
2.解题技巧:在题中找出有关临界问题的关键字,如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等,然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
[例6] 【平抛运动的临界问题】 (2025·安徽芜湖二模)如图所示,运动员将网球在边界A处正上方B点正对球网水平向右击出,恰好过中间网C的上边沿落在D点。已知AB=H,网高h=H,AC=L,重力加速度大小为g,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.网球的初速度大小为L
B.网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为 2∶1
C.若网球的初速度变为原来的两倍,网球还可以落在对方界内
D.若击球高度低于H(仍大于h),应减小击球速度,才能让球落在对方界内
[例7] 【平抛运动的极值问题】 (2023·新课标卷,24)将扁平的石子向水面快速抛出,石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方,俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果,石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”,一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出,抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时的空气阻力,重力加速度大小为g)
[变式] 在[例7] 中,若该同学在某次“打水漂”时,将一石子从距水面高度为h处以大小为v0的速度水平抛出,观察到在水面跳了三次,第四次已不能从水面跳起。已知,石子每次与水面接触后水平方向的速度方向不变,大小减为接触前的一半,竖直方向的速度方向反向,大小减为接触前的四分之三。这次“打水漂”石子抛出速度大小的范围是多少
平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹,画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律,结合临界条件列方程求解。
第3讲　小专题:抛体运动中的综合性问题
考点一
[例1] 【答案】 (1)10 m/s,速度方向与水平方向夹角为45°
(2)15 m
【解析】 (1)当F=0时,小球做平抛运动,水平方向有
L=v0t1,
解得t1=1 s,
竖直分速度为
vy1=gt1,
小球撞击右壁的速度大小
v=,
设速度与水平方向夹角为θ,则有
v=10 m/s,θ=45°。
(2)结合上述,当F=0时,小球做平抛运动,竖直方向的分位移
y1=g,
解得y1=5 m;
当F=3mg时,根据牛顿第二定律有
3mg-mg=ma,
小球做类平抛运动,则有
L=v0t1,y2=a,
解得y2=10 m,
则小球撞击右壁的区域长度
L0=y1+y2=15 m。
[例2] BD　
考点二
[例3] D　[例4] BD　[例5] BD　
考点三
[例6] B　
[例7] 【答案】
【解析】 石子做平抛运动,竖直方向为自由落体运动,则有2gh=,
可得落到水面上时的竖直速度vy=,
由题意可知
≤tan θ,则有
v0≥,
石子抛出速度的最小值为。
[变式] 【答案】 ≤v0<
【解析】 由题意可知第三次落到水面时水平方向速度为,竖直方向速度为vy=,
则≤tan θ,
第四次落到水面时水平方向速度为,竖直方向速度为
vy=,则>tan θ,
解得石子抛出速度范围为≤v0<。第4讲　圆周运动
【学习目标】
1.理解匀速圆周运动的运动学特征,掌握线速度、角速度、向心加速度的定量关系及变速率圆周运动的分析方法。
2.能通过受力分析建立圆周运动的动力学方程,明确解决圆周运动的动力学问题的思路,解决生活中的圆周运动问题。
3.认识圆周运动在科技、生活中的应用,理解安全设计中的物理原理。
[footnoteRef:0] [0:
1.如图所示,修正带的核心部件是两个半径之比为3∶1的大小齿轮,两个齿轮通过相互啮合进行工作,A和B分别为两个齿轮边缘处的两点。若两齿轮匀速转动,下列说法正确的是(　　)
A.A、B两点的线速度大小之比为1∶1
B.A、B两点的线速度大小之比为3∶1
C.A、B两点的角速度大小之比为3∶1
D.A、B两点的向心加速度大小之比为3∶1
2.(多选)(2025·山东潍坊开学考试)如图所示,两个同轴心的玻璃漏斗内表面光滑,两漏斗与竖直转轴的夹角分别是α、β,且α<β,A、B、C三个小球在漏斗上做匀速圆周运动,A、B两球在同一漏斗的不同位置,C球在另一个漏斗上且与B球位置等高,下列说法正确的是(　　)
A.A球与B球受到的支持力一定大小相等
B.A球与B球的向心加速度一定大小相等
C.B球与C球的线速度一定大小相等
D.B球的周期一定等于C球的周期]
考点一　圆周运动的运动学问题
1.圆周运动各物理量间的关系
2.常见的传动方式及特点
项目 同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接,A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合,A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
转向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比: = 向心加速度与半径成正比: = 角速度与半径成反比: = 向心加速度与半径成反比: = 角速度与半径成反比: = 向心加速度与半径成反比: =
[例1] 【圆周运动物理量的关系】 (2024·黑吉辽卷,2)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图,当篮球在指尖上绕轴转动时,球面上P、Q两点做圆周运动的(　　)
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
[例2] 【圆周运动中的传动问题】 (2025·陕西西安模拟)如图为自行车的部分示意图,A、B、C分别为大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的点,后轮上粘有一小块泥巴D。 将后轮架空,用力踩脚踏板使后轮匀速转动,则(　　)
A.A点的线速度大于B点的线速度
B.A点的角速度大于C点的角速度
C.A点的向心加速度小于C点的向心加速度
D.D通过最高点时最容易脱落
[例3] 【圆周运动的多解问题】 (多选)(2025·江西上饶期中)如图所示,直径为0.25 m的水平圆筒表面有一小孔,圆筒绕中心轴线以恒定的角速度匀速转动。现将一小球从圆筒正上方距圆筒上表面高度为0.2 m处由静止释放,当小球到达圆筒处时,小球恰好从小孔进入圆筒。重力加速度大小g取10 m/s2,不计空气阻力。若小球能够顺利离开圆筒,则圆筒转动的角速度大小可能为(　　)
A.10π rad/s B.20π rad/s
C.30π rad/s D.40π rad/s
考点二　圆周运动的动力学问题
1.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况,沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。
2.匀速圆周运动的实例
运动模型 向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
飞车走壁
汽车在水平 路面转弯
水平转台
3.变速圆周运动
如图所示,当小球在竖直面内摆动时,沿半径方向的合力提供向心力,F=FT-mgcos θ=m。
[例4] 【圆周运动的动力学问题】 (2025·山东卷,4)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球,让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片,曝光时间为 s。由于小球运动,在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为(g取10 m/s2)
(　　)
A.11 N B.9 N
C.7 N D.5 N
解决圆周运动的动力学问题的一般思路
[例5] 【圆锥摆(筒)模型】 (2024·江苏卷,11)如图所示,细绳穿过竖直的管子拴住一个小球,让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动。现用力将细绳缓慢下拉,使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动,A、B在同一竖直线上,不计一切摩擦,则(　　)
A.线速度vA>vB
B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAD.向心力FA>FB
[变式] (1)若改变拉力F,使得小球在同一水平面A、B两处做圆锥摆运动,则小球在A、B两处的角速度和线速度大小是否相同
(2)若改变拉力F,使得小球在不同水平面A、B两处做圆锥摆运动,但绳与竖直方向之间的夹角相同,则小球在A、B两处的向心加速度和所受绳拉力的大小是否相同
圆锥摆和圆锥筒的模型分析
圆锥摆 (1)向心力F=mgtan θ=m=mω2r,且r=Lsin θ, 解得v=,ω=。 (2)稳定状态下,θ越大,角速度ω和线速度v就越大,小球受到的拉力FT=和运动所需向心力也越大
圆锥筒 (1)筒内壁光滑,向心力由重力mg和支持力FN的合力提供,即=m=mω2r,解得v=,ω=。 (2)稳定状态下小球所处的位置越高,半径r越大,角速度ω越小,线速度v越大,支持力FN=和向心力F=并不随位置的变化而变化
[例6] 【生活中的圆周运动】 (2025·贵州阶段练习)如图所示的路段是一段半径为100 m的水平圆弧形弯道。在晴天时,路面对轮胎的最大静摩擦力为正压力的;雨天时,路面被雨水淋湿,路面对轮胎的最大静摩擦力变为正压力的。一辆质量m=2.0×103 kg的汽车(可视为质点)在该公路的弯道上行驶。重力加速度大小g取10 m/s2,取sin 15°=0.26,cos 15°=0.97,tan 15°=
0.27,=5.48。
(1)若路面水平,求在晴天时,汽车能安全通过该水平圆弧形弯道的最大速率;(结果保留根号)
(2)若将弯道处路面设计为向内侧倾斜,与水平面的夹角为θ=15°:
①晴天时,汽车以多大速度通过该水平圆弧形弯道时轮胎与路面间的侧向摩擦力为零 这种情况下汽车受到路面的弹力为多少 (结果保留三位有效数字);
②雨天时,求汽车能安全通过此倾斜圆弧形弯道的最大速率。(结果保留整数)
第4讲　圆周运动
考点一
[例1] D　[例2] C　[例3] AC　
考点二
[例4] C　[例5] C　
[变式] 【答案】 (1)角速度相同,线速度大小不相同
(2)向心加速度大小相同,受到绳的拉力大小也相同
【解析】 (1)对题图甲中小球受力分析,设绳与竖直方向的夹角为θ,小球的质量为m,小球到竖直管顶端的竖直距离为h,则mgtan θ=mω2lsin θ,解得ω==,所以小球在A、B两处的角速度相同,根据v=ωr,可知线速度大小不相同。
(2)对题图乙中小球受力分析,设绳与竖直方向的夹角为θ,小球的质量为m,绳上拉力为FT,则有mgtan θ=ma,FTcos θ=mg,解得a=gtan θ,FT=,所以小球在A、B两处的向心加速度大小相同,受到绳的拉力大小也相同。
[例6] 【答案】 (1)10 m/s
(2)①16.4 m/s　2.06×104 N　②27 m/s
【解析】 (1)晴天时,汽车达到安全通过该水平圆弧形弯道的最大速率时,摩擦力达到最大静摩擦力,
Ffm=0.6mg,
由牛顿第二定律有Ffm=m,
解得vm=10 m/s。
(2)①由题意可知,轮胎与路面间的侧向摩擦力为零时,由牛顿第二定律有
mgtan θ=m,
解得v=3 m/s=16.4 m/s,
由平衡条件有FN=,
解得FN=2.06×104 N。
②由题意,通过受力分析,由牛顿第二定律可知
FN′sin θ+Ffm′cos θ=m,
由平衡条件有
FN′cos θ=Ffm′sin θ+mg,
又有Ffm′=0.4FN′,
解得vm′=27 m/s。第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
【学习目标】
1.理解曲线运动的条件,掌握运动的合成与分解原理,能分析平抛、斜抛等典型曲线运动。
2.熟练运用矢量分解与合成方法处理复杂运动,通过数学推导建立位移、速度、加速度的关联规律。
3.认识曲线运动在生活与科技中的应用,形成理论联系实际的科学视角。
考点一　曲线运动的条件和特征
1.曲线运动中合力方向、速度方向与轨迹间的关系
(1)
(2)
2.曲线运动中速率变化的判断
[例1] 【对曲线运动的理解】 下列对曲线运动的描述正确的是(　　)
A.速度大小和方向都在不断变化
B.加速度一定变化
C.加速度和速度的方向可能始终垂直
D.物体只有在所受的合力方向与速度方向垂直时,才能做曲线运动
[例2] 【曲线运动的轨迹分析】 (2025·安徽合肥二模)如图所示,一物体在光滑水平面上做匀速直线运动,从a点开始受到水平恒力F的作用,经过一段时间到达b点,此时F突然反向且大小不变,再经过相同时间物体到达c点。下列关于该物体在a、c两点间的运动轨迹可能正确的是(　　)
A　 　 B
C　 　D
考点二　运动的合成与分解
1.合运动和分运动的关系
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性 各分运动独立进行,不受其他分运动的影响
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动有完全相同的效果
2.合运动的性质判断
(1)加速度(或合力)
(2)
[例3] 【合运动与分运动的关系】 (2025·河北秦皇岛一模)一个质量为m=2.7 g 的乒乓球,以v0=15 m/s的初速度水平向北抛出,此时正好有风,风力水平向西,俯视图如图所示,已知重力加速度g取10 m/s2,乒乓球受到的水平风力大小恒为0.027 N,空气阻力忽略不计。乒乓球在空中运动0.2 s过程中,下列说法正确的是(　　)
A.乒乓球做变加速曲线运动
B.乒乓球的加速度大小为10 m/s2
C.乒乓球向北运动的位移大小为3 m
D.乒乓球下落高度为0.4 m
[例4] 【合运动轨迹的判断】 (2025·河南漯河模拟)漯河红枫广场无人机灯光表演向广大市民展现了科技的惊艳,同时也很好地烘托了节日的氛围,并给漯河的文化、经济等做了极大的宣传。在一次无人机表演中,若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向,某架参演的无人机在x、y方向的vt图像分别如图甲、乙所示,则在0~t2时间内,该无人机的运动轨迹为(　　)
A　　　　B
C　　　　D
考点三　小船渡河模型
1.船的实际运动:随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度:船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情境
渡河时 间最短 当船头方向垂直于河岸时,渡河时间最短,最短时间 tmin=
渡河位 移最短 如果v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时,合速度垂直于河岸,渡河位移最短,等于河宽d
如果v船[例5] 【渡河时间问题】 (2025·云南昆明开学考试)假设一只小船匀速横渡一条河流,当船头垂直于对岸方向航行时,在出发后10 min到达对岸下游120 m处;若船头保持与上游河岸成α角向上游航行,出发后12.5 min到达正对岸,两次渡河时小船相对于静水的速度大小相等。以下说法正确的是(　　)
A.船头与河岸间的夹角α为37°
B.船头与河岸间的夹角α为60°
C.小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D.河的宽度为200 m
[例6] 【渡河位移问题】 (2025·河北廊坊月考)如图甲是河水中的漩涡,漩涡边沿水的流速相对中心处的流速较慢,压强较大,从而形成压力差,导致周边物体易被“吸入”漩涡。如图乙所示的河道水流速度大小恒为v1= m/s,M处的下游O处有一个半径为r的漩涡危险圆区,其与河岸相切于N点,MN两点距离为r。若一小船(可视为质点)从河岸的M处沿直线到对岸,为了能避开危险区,小船相对静水的最小速度v2为(　　)
A.1.2 m/s B.1.5 m/s
C.1.8 m/s D.2.5 m/s
“三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题
考点四　关联速度问题
1.关联速度模型
(1)模型特点。
与绳(杆)相连的物体的运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
(2)绳(杆)端速度的分解思路。
2.常见模型(如图所示)
[例7] 【绳端速度的分解】 (2025·黑吉辽内蒙古卷,6)如图,趣味运动会的“聚力建高塔”活动中,两长度相等的细绳一端系在同一塔块上,两名同学分别握住绳的另一端,保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落,则v(　　)
A.一直减小 B.一直增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
[例8] 【杆端速度的分解】 如图所示,一根长为L的直杆一端抵在墙角,一端倚靠在物块的光滑竖直侧壁上,物块向左以速度大小v运动时,直杆绕O点做圆周运动且与物块间始终有弹力。当直杆与水平方向的夹角为θ时,直杆上与物块接触的A点线速度大小为(　　)
A. B.
C.vsin θ D.vcos θ
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
考点一
[例1] C　[例2] A　
考点二
[例3] C　[例4] A　
考点三
[例5] D　[例6] B　
考点四
[例7] B　[例8] A　第7讲　实验:探究向心力大小的表达式
【学习目标】
1.理解向心力公式F=mω2r的物理意义,掌握控制变量法,探究向心力与各因素间的定量关系。
2.能通过实验数据建立向心力与半径、角速度、质量的关系模型,并用图像法(如Fω2图线)验证理论。
3.规范操作向心力演示器,设计对比实验,分析误差来源并优化实验方案。
4.认识实验在圆周运动规律发现中的作用,培养严谨的科学态度,关注向心力在工程中的应用。
一、装置与器材
质量相同及不同的小球若干、向心力演示器。
二、实验步骤
1.把两个质量　　　　的小球分别放在长槽和短槽上,使它们的转动半径相同;调整塔轮上的皮带,使两个小球的　　　　不一样,探究向心力的大小与角速度的关系。
2.保持两个小球　　　　不变,增大长槽上小球的转动半径;调整塔轮上的皮带,使两个小球的　　　　相同,探究向心力的大小与转动半径的关系。
3.换成　　　　不同的小球,使两球的转动半径　　　　;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度也　　　　,探究向心力的大小与　　　　的关系。
4.重复几次以上实验。
三、数据处理
分别作出F-ω2、　　　　、F-m的图像,分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系,并得出结论。
四、注意事项
1.将横臂紧固螺钉旋紧,以防小球和其他部件飞出而造成事故。
2.摇动手柄时应力求缓慢加速,注意观察其中一个标尺上的格数。达到预定格数时,即保持转速均匀恒定。
考点一　基础性实验
[例1] 【实验原理与实验操作】 (2025·湖北一模)某物理学习小组利用如图甲所示的向心力演示器探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量、角速度和半径之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处到各自转轴中心的距离之比为2∶1∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式,左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1,如图乙所示。
(1)下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是　　　　。(多选)
A.用单摆测量重力加速度
B.探究一定质量气体的压强、体积、温度之间的关系
C.探究加速度与力、质量的关系
D.电池电动势和内阻的测量
(2)在某次实验中,为探究向心力与质量之间的关系,先把质量为m的钢球放在短槽C位置,则应把另一质量为2m的钢球放在长槽　　　　(选填“A”或“B”)处,还需要将传动皮带调至第
　　　　(选填“一”“二”或“三”)层塔轮。
(3)在另一次实验中,把两个质量相等的钢球分别放在槽B、槽C位置,传动皮带位于第三层塔轮,转动手柄,则当塔轮匀速转动时,左右两标尺露出的格数之比约为　　　　。
A.3∶1 B.1∶3
C.1∶9 D.9∶1
[例2] 【实验数据处理与误差分析】 (2025·安徽芜湖阶段检测)(1)某同学通过向心力演示器,探究向心力大小F与物体的质量m、角速度ω和转动半径r的关系。
①如图甲所示为向心力演示器的原理图,某次实验中,该同学将两个质量相等的小球分别放在挡板B和挡板C处,皮带放在塔轮的第一层,则他探究的是向心力大小和　　　　(选填“质量”“角速度”或“半径”)的关系。
②在探究向心力的大小与圆周运动角速度的关系时,将两个质量相同的小球,分别放在挡板C与　　　　　　(选填“挡板A”或“挡板B”)位置,转动时发现左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比约为1∶4,则皮带放置的左、右两边塔轮的半径之比为　　　　。
(2)为了进一步精确探究,该同学利用传感器验证向心力的表达式,如图乙,装置中水平直槽能随竖直转轴一起转动,将滑块套在水平直槽上,用细线将滑块与固定的力传感器连接。当滑块随水平直槽一起匀速转动时,细线的拉力大小可以通过力传感器测得,滑块转动的角速度可以通过角速度传感器测得。
将相同滑块分别以半径r为0.14 m、0.12 m、0.10 m、0.08 m、0.06 m做圆周运动,在同一坐标系中分别得到图丙中①、②、③、④、⑤五条F-ω图线,则图线①对应的半径为　　　　,各图线不过坐标原点的原因是　 　 。
考点二　创新性实验
[例3] 【实验原理的创新】 (2025·安徽三模)两学习小组A、B用如图所示实验装置验证向心力大小与速度的平方成正比。轻绳(未知长度)一端在圆心O处与DIS传感器相连(图中未画出),用于测量摆锤做圆周运动过程中绳拉力F的大小,另一端与一摆锤相连,摆锤平衡时重心恰在等高线O处,装置中的标尺盘相邻等高线间距相等。利用光电门可测得摆锤通过光电门时的速度v。已知重力加速度为g。
(1)A组同学控制摆锤的质量m(未知)、运动半径r(未知)不变,多次改变摆锤的释放点高度,记录摆锤每次运动至最低点时绳中的拉力大小F及摆锤经过光电门的速度大小v,若以F为纵坐标,以　　　 (选填“v”“v2”或“”)为横坐标,可在坐标纸中描出数据点作一条直线,即可说明摆锤的向心力与速度平方成正比。若测得图线的斜率为k,纵截距为b,则摆锤的质量m=
　　　　。(用已知及所测物理量字母表示)
(2)B组同学控制摆锤的质量m(未知)、运动半径r(未知)不变,将摆锤从不同高度的等高线处由静止释放,记录每次高度h及对应的摆锤运动至最低点时绳中的拉力大小F,描绘出Fh图像,若表达式　　　　　　　　成立,则可证明摆锤的向心力与速度平方成正比,根据图线的斜率或纵截距,也可求出摆锤质量。
(3)在实验中B组同学测得的摆锤质量比A组同学明显偏小,造成这个误差的最主要原因可能是　　　　。(填字母)
A.B组同学每次释放时将摆锤的最高点与高度为h的等高线对齐
B.B组同学每次释放时将摆锤的最低点与高度为h的等高线对齐
C.B组同学每次释放时摆锤初速度不为零
[例4] 【实验目的的创新】 (2025·广西南宁一模)某校物理小组尝试利用智能手机对竖直面内的圆周运动进行拓展探究。实验装置如图甲所示,轻绳一端连接拉力传感器,另一端连接智能手机,把手机拉开一定角度,由静止释放,手机在竖直面内摆动过程中,手机中的陀螺仪传感器可以采集角速度实时变化的数据并输出图像,同时,拉力传感器可以采集轻绳拉力实时变化的数据并输出图像。经查阅资料可知,面向手机屏幕,手机逆时针摆动时陀螺仪传感器记录的角速度为正值,反之为负值。
(1)某次实验,手机输出的角速度随时间变化的图像如图乙所示,由此可知在0~t0时间段内　　　。(多选)
A.手机20次通过最低点
B.手机10次通过最低点
C.手机做阻尼振动
D.手机振动的周期越来越小
(2)为进一步拓展研究,分别从力传感器输出图像和手机角速度—时间图像中读取几组手机运动到最低点时的拉力和角速度的数据,并在坐标图像中以F(单位:N)为纵坐标、ω2(单位:s-2)为横坐标进行描点,请在图丙中作出F-ω2的图像。
(3)根据图像求得实验所用手机的质量为　　　　kg,手机重心做圆周运动的半径为　　　　 m。(结果均保留两位有效数字,重力加速度g取9.8 m/s2)
[例5] 【实验器材的创新】 (2025·广东广州二模)某小组用图甲装置探究“向心力大小与半径、周期的关系”。通过紧固螺钉(图中未画出)可在竖直方向调整水平横梁位置,位移传感器、力传感器均固定在横梁上,两传感器和光电门都与计算机相连;小球放在一端有挡光片的水平横槽上,细绳一端P连接小球,另一端Q绕过转向轮后连接力传感器,力传感器可测量细绳拉力,位移传感器可测量横梁与底座之间的距离。小球和细绳所受摩擦力可忽略,细绳Q端与直流电机转轴在同一竖直线上。光电门未被挡光时输出低电压,被挡光时输出高电压。
实验步骤如下:
(1)如图乙所示,用螺旋测微器测量小球直径d=　　　　 mm,若测得直流电机转轴到小球之间绳长为L,则小球做圆周运动的半径r=　　　　(用d、L表示)。
(2)探究向心力大小与半径的关系:启动直流电机,横槽带动小球做匀速圆周运动,保持　　　　　　不变,记录力传感器读数F0、位移传感器读数H0、小球做圆周运动半径r0。降低横梁高度,当位移传感器读数为H1时,小球做圆周运动半径r1=　　　　　　(用r0、H0、H1表示),待电机转动稳定后再次记录力传感器读数F1,重复多次实验得到多组数据,通过计算机拟合Fr图,可得线性图像。
(3)探究向心力大小与周期的关系:保持小球做圆周运动半径不变,调节直流电机转速,待电机转动稳定后,计算机采集到光电门输出电压u与时间t的关系如图丙所示,则小球做圆周运动周期T=　　　　(用t0、t1、t2表示)。记录力传感器读数F和周期T,重复多次实验得到多组数据,通过计算机拟合　　　　图,可得线性图像。(填字母)
A.FT　　B.FT2　　C.F
[例6] 【数据处理的创新】 (2025·河北石家庄月考)某实验小组对水平面内的圆周运动进行探究,装置如图甲所示。滑块套在水平杆上,随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动,力传感器通过一细绳连接滑块,用来测量细绳拉力F的大小,滑块上固定一遮光片,宽度为d,遮光片与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的角速度ω,滑块旋转半径为r,滑块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)若测得遮光片经过光电门时的遮光时间为Δt,则角速度ω=　　　　。
(2)为了提高实验精度,遮光片的宽度应适当　　　　(选填“小”或“大”)些。
(3)改变水平杆转动的角速度,测得多组数据,以F为纵坐标,以为横坐标,在坐标纸中描出数据点,请在图乙中作出F的图像。
(4)若F图像的斜率为k,纵截距为-b,重力加速度为g,则滑块的质量m=　　　　,滑块与水平杆间的动摩擦因数μ=　　　　(用题中物理量k、b、d、r、g表示)。
第7讲　实验:探究向心力大小的表达式
考点一
[例1] 【答案】 (1)BC　(2)B　一　(3)C
【解析】 (1)探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系,采用的实验方法是控制变量法。
(2)要探究向心力与质量之间的关系,需要控制两小球做圆周运动的角速度和半径相等,故将另一钢球放在B处,将传动皮带调至第一层塔轮。
(3)在某次实验中,把两个质量相等的钢球放在B、C位置,可知两小球做圆周运动的半径相等,传动皮带位于第三层塔轮,根据v=ωR可知两小球做圆周运动的角速度之比为ω左∶ω右=
1∶3,根据F=mω2r,当塔轮匀速转动时,左右两标尺露出的格数之比约为F左∶F右=∶=1∶9。
[例2] 【答案】 (1)①半径　②挡板A　2∶1　
(2)0.14 m　滑块受到水平直槽的摩擦力作用
【解析】 (1)①该同学将两个质量相等的小球分别放在挡板B和挡板C处,两球质量相等,圆周运动的半径不同,皮带放在塔轮的第一层,确保两小球转动的角速度相同,可知他探究的是向心力大小和半径的关系。
②在探究向心力的大小与圆周运动角速度的关系时,需要确保质量与半径一定,即应将两个质量相同的小球,分别放在挡板C与挡板A位置;转动时发现左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比约为1∶4,即向心力大小之比为1∶4,根据F=mω2r,知两小球的角速度之比为1∶2,皮带传动过程中,两边塔轮边缘的线速度大小相等,根据v=ωR可知,皮带放置的左、右两边塔轮的半径之比为2∶1。
(2)当滑块随水平直槽一起匀速转动时,细线的拉力与摩擦力的合力提供圆周运动的向心力,则有F=mω2r-Ff,将相同滑块,即质量m相等的滑块分别以半径r为0.14 m、0.12 m、0.10 m、0.08 m、0.06 m做圆周运动,可知,当角速度相等时,半径越大,细线拉力越大,结合题图乙可知,图线①对应的半径为0.14 m;对滑块进行受力分析,可知滑块做圆周运动的向心力由水平直槽对滑块的摩擦力与细线拉力的合力提供,可知各图线不过坐标原点的原因是滑块受到水平直槽的摩擦力作用。
考点二
[例3] 【答案】 (1)v2　　(2)F=mg+h　(3)A
【解析】 (1)由牛顿第二定律有F-mg=m,得F=mg+v2,即若以F为纵坐标,以v2为横坐标,可在坐标纸中描出数据点作一条直线,则b=mg,解得m=。
(2)根据mgh=mv2,F-mg=m,得F=mg+h。
(3)将摆锤最高点与高度为h的等高线对齐,设此时摆锤重心与摆锤最高点距离为Δh,根据mg(h-Δh)=mv2,解得F=mg+m=mg-+h,纵截距偏小,测得摆锤质量偏小,A正确,B错误;若初速度不为零,则mgh=mv2-m,再由F-mg=m,得F=mg+m+h,纵截距偏大,测得摆锤质量偏大,C错误。
[例4] 【答案】 (1)AC　(2)图见解析　(3)0.21　0.28
【解析】 (1)分析可知,当手机通过最低点时角速度达到最大值,由题图乙可知,在0~t0时间内手机20次通过最低点,故A正确,B错误;手机的角速度会随着振幅的减小而衰减,根据题图乙可知,手机的角速度随着时间在衰减,可知手机在做阻尼振动,故C正确;阻尼振动的周期不变,其周期由系统本身的性质决定,故D错误。
(2)由于手机在做圆周运动,短时间内在不考虑其振动衰减的情况下,在最低点对手机由牛顿第二定律有F-mg=mω2L,可得F=mLω2+mg,式中L为悬点到手机重心的距离,根据上式可知,手机运动到最低点时的拉力和角速度的平方呈线性变化,作图时应用直线将各点迹连接起来,不能落在直线上的点迹应使其均匀地分布在图线的两侧,有明显偏差的点迹直接舍去,作出的图像如图所示。
(3)根据图像结合其函数关系可得mg=2.01 N,mL= kg·m=0.058 kg·m,解得 m=0.21 kg,
L=0.28 m。
[例5] 【答案】 (1)7.883　L+
(2)周期　r0+H0-H1　(3)t2-t0　C
【解析】 (1)螺旋测微器的精度为0.01 mm,读数为d=7.5 mm+0.01 mm×38.3=7.883 mm,小球做圆周运动的半径r=L+。
(2)探究向心力大小与半径的关系,应保证小球转动周期不变。由于绳子长度固定不变,因此有H0+r0=H1+r1,整理得r1=r0+H0-H1。
(3)挡光片t0时刻进入光电门,t2时刻再次进入,则T=t2-t0。由向心力公式F=mr可知,应拟合F图像,C正确。
[例6] 【答案】 (1)　(2)小　(3)图见解析 (4)　
【解析】 (1)滑块转动的线速度为v=,由v=ωr,解得ω=。
(2)极短时间内,平均速度可近似看作瞬时速度,为了提高实验精度,需要缩短遮光时间,即遮光片的宽度应适当小些。
(3)将F图像中的点连接,舍弃明显偏离的点迹,如图所示。
(4)对滑块进行受力分析,合外力提供滑块的向心力,即 F+Ff=mω2r,且Ff=Ffmax=μmg,方程联立可得F=·-μmg,可知k=,-b=-μmg,则滑块的质量m=,滑块与水平杆间的动摩擦因数μ==。第5讲　小专题:圆周运动的临界问题
【学习目标】
1.掌握圆周运动中临界条件的力学本质,理解向心力供需平衡的临界分析。
2.能通过受力分析与动力学方程推导水平面内、竖直面内及斜面上的临界速度、临界角速度等极值,建立数学模型解决复杂情境问题。
3.关注临界问题在工程安全中的应用,培养风险预判与科学决策意识。
考点一　水平面内圆周运动的临界问题
1.运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆。
(2)合外力沿水平方向指向圆心,提供向心力,竖直方向合力为零,物体在水平面内做匀速圆周运动。
2.常见的两种临界极值问题
(1)与摩擦力有关的临界极值问题。
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
(2)与弹力有关的临界极值问题。
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零;绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
3.解决此类问题的一般思路
首先要找到临界条件时物体所处的状态;再分析该状态下物体的受力特点;最后根据圆周运动知识列动力学方程求解。
[例1] 【与摩擦力有关的临界极值问题】 (2025·四川成都模拟)如图所示,一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动,紧贴在一起的M、N两物体(可视为质点)随圆盘做圆周运动,N恰好不下滑,M恰好不滑动,两物体与转轴距离为r,已知M与N间的动摩擦因数为μ1,M与圆盘面间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则μ1与μ2应满足的关系式为(　　)
A.μ1+μ2=1 B.=1
C.μ1μ2=1 D.=1
[变式] 如图所示,若将M、N两物体叠放在一起,随盘一起加速转动。已知M、N间的动摩擦因数μ1小于M与圆盘间的动摩擦因数μ2,哪个物体先远离圆心
[例2] 【与弹力有关的临界极值问题】 (2025·陕西宝鸡二模)如图所示,质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质竖直细杆的A点和B点,绳a与竖直杆AB成θ角,绳b处于水平方向且长为L。当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,则下列说法正确的是(　　)
A.a绳的弹力有可能为0
B.b绳的弹力不可能为0
C.当角速度ω>时,b绳一定有弹力
D.当角速度ω>时,b绳一定有弹力
考点二　竖直面内圆周运动的临界问题
1.竖直面内圆周运动的两类模型
项目 轻绳模型 轻杆模型
常见类型 小球在最高点没有支撑 小球在最高点有支撑
最高点受力特征 除重力外,小球受到的弹力 向下或等于零 除重力外,小球受到的弹力 向下、等于零或向上
最高点受 力示意图
动力学方程 mg+F弹=m mg±F弹=m
临界特征 F弹=0 mg=m 即vmin= (1)恰好过最高点,v=0,F弹=mg。 (2)恰好无弹力,F弹=0,v=
过最高点的条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0
2.解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时,根据合力提供向心力列牛顿第二定律方程。
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中,用动能定理找出两位置间的速度关系。
(3)注意:求对轨道的压力时,转换研究对象,先求物体所受支持力,再根据牛顿第三定律求出
压力。
[例3] 【轻绳模型】 (2025·贵州遵义模拟)某人站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为1 kg 的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动,其简化示意图如图。握绳的手离地面高度为1 m且保持不变,现不断改变绳长使球重复上述运动,每次绳在球运动到最低点时都恰好达到最大拉力被拉断,球以绳断时的速度水平飞出,通过水平距离x后落地。已知绳能承受的最大拉力为15 N,重力加速度g取10 m/s2,忽略手的运动半径和空气阻力,则x的最大值为(　　)
A.0.4 m B.0.5 m
C.1.0 m D.1.2 m
[例4] 【轻杆模型】 (2025·天津滨海新区期中)如图甲所示,一轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为FN,小球在最高点的速度大小为v,FN-v2图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.当地重力加速度大小为
B.小球的质量为
C.当v2=c时,杆对小球的弹力方向向上
D.若v2=2b,则杆对小球的弹力大小为2a
考点三　斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做匀速圆周运动时,设斜面的倾角为θ,重力垂直于斜面的分力与物体受到的支持力大小相等,平行于斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。同理可知,在转动过程中,物体最容易滑动的位置是最低点,恰好滑动时,有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。
[例5] (2025·海南模拟)如图甲所示,倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上,细线一端与可看成质点的质量为m的小球相连,另一端穿入小孔O与力传感器(位于斜面体内部)连接,传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时,细线水平,小球位于小孔O的右侧,现敲击小球,使小球获得一平行于斜面向上的初速度v0,此后传感器记录细线拉力FT的大小随细线扫过角度α的变化图像如图乙所示,图中F0已知,小球与O点的距离为l,重力加速度为g,则下列说法不正确的是(　　)
A.小球位于初始位置时的加速度为
B.小球通过最高点时的速度为
C.小球通过最高点时的速度为v0
D.小球通过最低点时的速度为v0
第5讲　小专题:圆周运动的临界问题
考点一
[例1] C　
[变式] 【答案】 物体N
【解析】 对两物体整体受力分析,有
μ2(mM+mN)g=(mM+mN)r,
整体发生相对滑动的临界角速度为
ωM=,
对物体N受力分析有μ1mNg=mNr,
物体N发生相对滑动的临界角速度为
ωN=,
因为μ1<μ2,即ωN<ωM,
所以圆盘做加速圆周运动,物体N先达到临界角速度,则物体N将先远离圆心。
[例2] D　
考点二
[例3] B　[例4] B　
考点三
[例5] A　第2讲　抛体运动
【学习目标】
1.掌握抛体运动的分解方法,理解运动轨迹、射程、射高的决定因素。
2.能通过运动学公式与数学推导解决斜抛运动的最值问题,并利用矢量合成分析复杂抛体
运动。
3.认识抛体运动在体育、工程中的应用,形成理论联系实际的科学态度。
[footnoteRef:0] [0:
1.关于平抛运动,下列说法正确的是(　　)
A.抛出点离地面越高,物体落地时间一定越长
B.初速度越大,物体在空中运动的时间越长
C.物体落地时的水平位移与物体的初速度无关
D.物体落地时的水平位移与物体抛出点的高度无关
2.若把某比赛中铅球的运动简化为如图所示的模型:铅球从离水平地面一定高度的O点被抛出,抛出时的速度大小为v0、方向与水平方向的夹角为θ,经过一段时间铅球落地,落地时的速度方向与水平方向的夹角为α,不计空气阻力,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.铅球上升到最高点的速度为零
B.铅球上升到最高点的加速度为零
C.铅球落地时的速度大小为
D.铅球落地时的速度大小为]
考点一　对平抛运动的理解及应用
(1)无人机在距离水平地面高度h处,以速度v0水平匀速飞行并释放一包裹,不计空气阻力,重力加速度为g。包裹在下落过程中速度的变化量有什么特点
(2)如图所示,包裹下落到空中的A点时,设其位移与水平方向的夹角为α,在A点速度偏向角为θ,试证明tan θ=2tan α。
(3)包裹在下落过程中某时刻恰好在空中的A点,此时瞬时速度的反向延长线通过水平位移的B点,如图所示,试证明xB=。
1.平抛(或类平抛)运动所涉及物理量的计算
物理量 公式 决定因素
飞行 时间 t= 取决于下落高度h和重力加速度g,与初速度v0无关
水平 射程 x=v0t= v0 由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同决定
落地 速度 v= = 与初速度v0、下落高度h和重力加速度g有关
2.两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处,速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为:tan θ=2tan α。
[例1] 【对平抛运动规律的理解】 关于平抛运动,下列说法正确的是(　　)
A.速度方向不断改变,不可能是匀变速运动
B.在任意相等时间内的速度变化量都相等
C.在任意相等时间内的位移都相等
D.加速度随时间逐渐增大
[例2] 【平抛运动规律的应用】 (2025·云南卷,3)如图所示,某同学将两颗鸟食从O点水平抛出,两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动,两运动轨迹在同一竖直平面内,则(　　)
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
1.落点在斜面上的三种情境分析
模型
方法 分解速度,构建速度三角形,找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度,构建速度的矢量三角形 分解位移,构建位移三角形,隐含条件:斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角
运动时间 由tan θ==得 t= 由tan θ==得 t= 由tan θ==得 t=
2.落点在曲面上的三种情境分析
模型
处理方法 分解速度 利用位移关系 利用位移关系
物理量 分析 因tan θ== 得t= x=R+R·cos θ=v0t y=Rsin θ=gt2 (x-R)2+y2=R2 x=v0t y=gt2 x2+y2=R2
[例3] 【从斜面上平抛又落到斜面上的平抛运动】 跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动,运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出,在空中飞一段距离后落地。如图所示,运动员从跳台A处沿水平方向以v0=20 m/s的速度飞出,落在斜坡上的B处,斜坡与水平方向的夹角θ为37°,不计空气阻力,求:(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2)
(1)运动员在空中飞行的时间;
(2)运动员落在B处时的速度大小;
(3)运动员在空中与坡面的最大距离。
灵活建立坐标系解决平抛问题
(1)坐标系的建立是任意的,和斜面结合的平抛运动也可以沿斜面和垂直于斜面建立直角坐
标系。
(2)如求解[例3]第(3)问时,把初速度v0、重力加速度g分解成沿斜面和垂直于斜面的两个分量。沿斜面方向的是初速度为v0cos θ、加速度为 gsin θ的匀加速直线运动,垂直于斜面方向的是初速度为v0sin θ、加速度为-gcos θ的类竖直上抛运动。这样仅用垂直于斜面方向的分运动即可求解与坡面的最大距离(垂直斜面分速度减为0时)。
[变式] (1)运动员在空中与坡面的最大距离处,运动特征有哪些
(2)若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半,则运动员在空中飞行时间变为原来的多少倍 沿斜面飞行距离变为原来的多少倍
(3)初速度改变后,落在斜面上,速度方向与斜面夹角变化吗
[例4] 【从空中平抛落到斜面上的平抛运动】 如图所示,斜面倾角为θ,位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出,小球到达斜面的时间为t,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.若小球以最小位移到达斜面,则t=
B.若小球垂直击中斜面,则t=
C.若小球能击中斜面中点,则t=
D.无论小球怎样到达斜面,运动时间均为t=　
[例5] 【与圆弧面有关的平抛运动】 (多选)(2025·云南昆明期中)如图所示,内壁光滑的四分之一圆弧轨道BC竖直固定放置,轨道半径为R0,圆心为A,AB、AC分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度v0(未知量),小球从A点离开后运动到圆弧上的D点,重力加速度为g,小球可视为质点,下列说法正确的是(　　)
A.若∠BAD=θ,小球运动到D点时速度与水平方向的夹角为β,则有tan θtan β=2
B.无论调整v0的大小为何值,球都不可能垂直撞击在圆弧BC上
C.改变v0的大小,小球落到圆弧BC上的速度最大值为
D.改变v0的大小,小球落到圆弧BC上速度的最小值为
[变式] 如图所示,AB为建筑工地上的四分之一圆弧轨道,圆心为O,半径OB竖直,M、N点将OB分成3等份。工件甲、乙分别从M、N点水平向右抛出,不计空气阻力,则能垂直击中AB轨道的是哪个工件 求此工件抛出时的速度大小。
考点三　斜抛运动
1.当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
(1)射高:h==。
(2)斜抛运动的飞行时间:t==。
(3)射程:s=v0cos θ·t==,对于给定的v0,当θ=45°时,射程达到最大值,smax=。
2.逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动过程,可以逆向看成平抛运动;分析完整的斜上抛运动,还可根据对称性求解有关问题。
[例6] 【对斜抛运动的理解】 (2024·江苏卷,4)喷泉a、b形成如图所示的形状,不计空气阻力,则喷泉a、b的(　　)
A.加速度相同
B.初速度相同
C.最高点的速度相同
D.在空中运动的时间相同
[例7] 【逆向思维法处理斜抛问题】 (2025·重庆三模)用图甲所示的足球发球机在球门正前方的A、B两个相同高度的位置发射同一足球,情景如图乙所示,两次足球都水平击中球门横梁上的同一点P,不计空气阻力。则(　　)
A.两次击中横梁的速度相同
B.足球两次运动的速度变化量相同
C.从B位置发射的足球初速度较大
D.从A位置发射的足球在空中运动的时间长
第2讲　抛体运动
考点一
模理探真:(1)因为平抛运动的加速度为重力加速度g恒定不变,所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv=gΔt是相同的,方向恒为竖直向下,如图所示。
(2)tan θ=2tan α。
(3)xB=。
[例1] B　[例2] D　
考点二
[例3] 【答案】 (1)3 s　(2)10 m/s　(3)9 m
【解析】 (1)运动员做平抛运动,
设在空中飞行的时间为t,
则有x=v0t,y=gt2,
由题图可知tan θ=,联立解得t=tan θ=3 s。
(2)运动员落在B处时,有vx=v0,vy=gt,
所以vB==10 m/s。
(3)取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分析运动员的运动,则在垂直于斜坡方向上,
vy0′=v0sin θ=12 m/s,
ay=-gcos θ=-8 m/s2,
当vy′=0时,运动员在空中离坡面的距离最大,则有
d==9 m。
[变式] 【答案】 见解析
【解析】 (1)该时刻速度与斜面平行,该时刻是运动全过程的中间时刻。
(2)由[例3]第(1)问知t=tan θ,可知t∝v0,故在空中飞行时间变为原来的。
由l===,可知l∝,故沿斜面飞行距离变为原来的。
(3)落在斜面上时,位移方向相同,由平抛运动的推论可知速度方向相同,故速度方向与斜面夹角不变。
[例4] B　[例5] ABD　
[变式] 【答案】 甲　
【解析】 设工件在OB上某点C水平抛出正好垂直落在圆弧上D点,可知速度反向延长线交于水平位移中点,如图所示,可见OC=ED,故OB中点下方水平抛出的工件,都不可能垂直落于AB圆弧轨道上,从M点水平抛出,可见竖直位移为=gt2,水平位移为=vt,可得水平速度为v=,即甲能垂直击中AB轨道,乙不能。
考点三
[例6] A　[例7] B　第6讲　实验:探究平抛运动的特点
【学习目标】
1.掌握平抛运动的分解原理,理解轨迹特征与运动参量的定量关系。
2.能通过实验数据验证分运动独立性,运用图像法分析运动规律。
3.规范使用实验装置,设计对比方案探究初速度对射程的影响,提升误差分析能力。
4.认识平抛实验在科学探究中的建模价值,培养严谨操作习惯,关注其在实际应用中的意义。
一、装置与器材
末端水平的斜槽、背板、挡板、　　　　、白纸、钢球、刻度尺、重垂线、三角板、铅笔等。
二、实验步骤
1.安装(调整)背板:将白纸放在复写纸下面,然后固定在装置背板上,并用　　　　检查背板是否竖直。
2.安装(调整)斜槽:将固定有斜槽的木板放在实验桌上,用平衡法检查斜槽末端是否水平,即将小球放在斜槽末端直轨道上,小球若能静止在直轨道上的　　　　位置,则表明斜槽末端已调水平。
3.描绘运动轨迹:让小球在斜槽的某一固定位置由　　　　滚下,并从斜槽末端飞出开始做平抛运动,小球落到倾斜的挡板上,挤压复写纸,会在白纸上留下印迹。取下白纸过这些印迹作
　　　　　　,就得到小球做平抛运动的轨迹。
4.确定坐标原点及坐标轴:选定斜槽末端处　　　　在白纸上的投影点为坐标原点O,从坐标原点O画出竖直向下的y轴和水平向右的x轴。
三、数据处理
1.判断平抛运动的轨迹是不是抛物线
如图所示,在x轴上作出　　 　　的几个点A1、A2、A3、…,把线段OA1的长度记为l,则OA2=2l,OA3=3l,…,由A1、A2、A3、…向下作垂线,与轨迹交点分别记为M1、M2、M3、…,若轨迹是一条抛物线,则各点的y坐标和x坐标之间应该满足关系式　　　　　(a是待定常量),用刻度尺测量某点的x、y两个坐标值代入y=ax2求出a,再测量其他几个点的x、y坐标值,代入y=ax2,若在误差范围内都满足这个关系式,则这条曲线是一条抛物线。
2.计算平抛物体的初速度
情境1:若　　　　为抛出点,利用公式x=v0t和y=gt2,即可求出多个初速度v0=　　　　　　,最后求出初速度的平均值,这就是做平抛运动的物体的初速度。
情境2:若原点O不是抛出点
(1)在轨迹曲线上取三点A、B、C,使　　　　　　　,如图所示。A到B与B到C的时间相等,设为T。
(2)用刻度尺分别测出yA、yB、yC,则有yAB=yB-yA,yBC=yC-yB。
(3)　　　　　　=gT2,且v0T=x,由以上两式得v0=　　　　　　。
四、注意事项
1.固定斜槽时,要保证斜槽末端的切线水平,保证小球的初速度水平。
2.固定木板时,木板必须处在竖直平面内且与小球运动轨迹所在的竖直平面平行,固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直。
3.小球每次从斜槽上的同一位置由静止释放,为此,可在斜槽上某一位置固定一个挡板。
4.要在斜槽上适当高度释放小球,使它以适当的水平初速度抛出,其轨迹由木板左上角到达右下角,这样可以减小测量误差。
5.坐标原点不是槽口的端点,应是小球出槽口时球心在木板上的投影点。
6.计算小球的初速度时,应选距抛出点稍远一些的点,以便于测量和计算。
五、误差分析
1.斜槽末端没有调节成水平状态,导致初速度方向不水平。
2.坐标原点不够精确等。
考点一　基础性实验
[例1] 【实验原理与实验操作】 (2024·河北卷,11)图甲为探究平抛运动特点的装置,其斜槽位置固定且末端水平,固定坐标纸的背板处于竖直面内,钢球在斜槽中从某一高度滚下,从末端飞出,落在倾斜的挡板上挤压复写纸,在坐标纸上留下印迹。某同学利用此装置通过多次释放钢球,得到了如图乙所示的印迹,坐标纸的y轴对应竖直方向,坐标原点对应平抛起点。
(1)每次由静止释放钢球时,钢球在斜槽上的高度　　　　(选填“相同”或“不同”)。
(2)在图乙中描绘出钢球做平抛运动的轨迹。
(3)根据轨迹,求得钢球做平抛运动的初速度大小为　　　　m/s(当地重力加速度g为9.8 m/s2,结果保留两位有效数字)。
[例2] 【实验数据处理】 (2025·广东茂名期末)图甲是研究物体平抛运动的实验装置图。
(1)下列说法正确的是　　　　。(多选)
A.通过调节使斜槽的末端保持水平
B.每次释放小球的位置可以不同
C.应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滑下
D.为描出小球的运动轨迹,可以将描绘的点用折线连接起来
(2)图乙是正确实验取得的数据,其中O点为抛出点,则此小球做平抛运动的初速度为　　　　 m/s(g取9.8 m/s2)。
(3)在另一次实验中将白纸换成方格纸,每个格的边长L=5 cm,通过频闪照相机,记录了小球在运动途中的三个位置,如图丙所示,则照相机的闪光时间间隔为　　　　 s;该小球做平抛运动的初速度为　　　　 m/s;抛出点与A点的竖直距离为　　　　 cm(g取10 m/s2)。
考点二　创新性实验
[例3] 【实验原理的创新】 (2025·安徽合肥一模)某同学设计了一个研究平抛运动的实验。实验装置示意图如图甲所示,A是一块水平放置的木板,在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽(图甲中P0P0′、P1P1′、…),槽间距均为d。把覆盖复写纸的白纸铺贴在硬板B上。实验时依次将B板插入A板P0P0′、P1P1′、P2P2′、…插槽中,每次让小球从斜轨的同一位置由静止释放。每打完一点后,把B板插入后一槽中。
(1)对于实验的操作要求,下列说法正确的是　　　。
A.斜槽轨道必须光滑
B.将小球放置在槽的末端,小球要能够静止
C.B板无须竖直放置
(2)该同学因操作失误直接将B板从A板的某一插槽插入开始实验,并逐一往后面的插槽移动直至完成实验,得到实验结果如图乙所示,并且在打第3个点(图乙中的d点)时点迹很不清晰,该同学依然使用这一实验结果完成了实验。他测量出图乙中bc的距离为y1,ce的距离为y2,则小球平抛初速度的计算式为v0=　　　　(用d、y1、y2、g表示)。
[例4] 【实验目的的创新】 (2025·甘肃模拟)某同学用如图甲所示的实验装置做“探究平抛运动的规律”实验,斜槽末端安装有光电门,距水平地面的高度为H。将小球从斜槽上某处由静止释放,记录小球通过光电门的时间t,测得小球的水平射程为x;改变小球在斜槽上的释放位置,多次测量得到多组t、x值,回答下列问题。
(1)实验中用游标卡尺测量小球的直径,如图乙所示,小球的直径d=　　　　 mm。
(2)以x为纵坐标,为横坐标,作出的x图像为过原点、斜率为k的直线,如图丙所示,则当地的重力加速度大小g=　　　　(用d、H、k表示)。
[例5] 【实验器材的创新】 (2025·广东佛山开学考试)某同学在佛山利用二维运动传感器研究平抛运动,实验装置如图甲所示,圆形信号发射器每隔0.05 s 发出一次信号,计算机利用信号接收点1、2接收到的信号之间的差异,可计算出信号发射器的实时位置,图乙是某次实验计算机绘制出的信号发射器平抛运动时的平面坐标位置图,图中每个小方格的边长为1 cm。
(1)图乙数据若满足　　　　　≈　　　　　≈　　　　　(使用图乙中物理量符号表示),即可认为圆形信号发射器在竖直方向的运动近似为匀加速直线运动。
(2)根据图乙中数据,计算出圆形信号发射器经过A点时水平方向的速度为　　　　m/s,以及当地重力加速度的大小为　　　　m/s2。(结果均保留三位有效数字)
(3)通过查找资料发现,广东地区的重力加速度为9.78 m/s2,实验结果出现该偏差的原因可能是　　　。
A.圆形信号发射器运动过程中受到空气阻力
B.信号实际发射间隔大于0.05 s
C.轨道的出口处不水平
D.轨道不光滑
[例6] 【数据处理的创新】 (2025·黑龙江二模)学习小组利用距离传感器研究平抛运动的规律,实验装置如图甲所示。某次实验得到了不同时刻小球的位置坐标图,如图乙所示,其中O点为抛出点,标记为n=0,其他点依次标记为n=1、2、3、…。相邻点的时间间隔均为Δt=0.02 s。把各点用平滑的曲线连接起来就是平抛运动的轨迹图。
(1)经数据分析可得小球竖直方向为自由落体运动,若根据轨迹图计算当地的重力加速度,则需要知道的物理量为　　 　 　 (填字母),重力加速度的表达式为g=　　　　(用所选物理量符号和题中所给物理量符号表示)。
A.第n个点到O点的竖直距离yn
B.第n个点到O点的水平距离xn
C.第n个点到O点的距离sn
(2)若测出重力加速度g=9.80 m/s2,描点连线画出y-x2图线为过原点的一条直线,如图丙所示,则说明平抛运动的轨迹为抛物线。可求出平抛运动的初速度为　　　　 m/s(结果保留两位有效数字)。
第6讲　实验:探究平抛运动的特点
考点一
[例1] 【答案】 (1)相同　(2)图见解析　(3)0.72　
【解析】 (1)为保证钢球每次平抛运动的初速度相同,必须让钢球在斜槽上同一位置由静止释放,故高度相同。
(2)描点连线用平滑曲线连接,钢球做平抛运动的轨迹如图所示。
(3)因为抛出点在坐标原点,在图线上选取坐标为(13.6 cm,17.6 cm)的点为研究位置,根据平抛运动规律x=v0t,y=gt2,解得v0=0.72 m/s。
[例2] 【答案】 (1)AC　(2)1.6　(3)0.1　1.5　5
【解析】 (1)为了保证小球抛出的初速度处于水平方向,通过调节使斜槽的末端保持水平,故A正确;为了保证小球每次抛出的初速度相同,应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滑下,故B错误,C正确;小球的运动轨迹是平滑曲线,所以连线不能用折线,故D错误。
(2)根据平抛运动规律有y=gt2,x=v0t,可得小球做平抛运动的初速度为v0=x=0.32× m/s=1.6 m/s。
(3)由题图丙知,竖直方向有Δy=5L-3L=gT2,可得照相机的闪光时间间隔为T== s=
0.1 s;水平方向有3L=v0T,可得小球做平抛运动的初速度为v0== m/s=1.5 m/s;小球经过B点的竖直分速度为vBy=== m/s=2 m/s,小球经过A点的竖直分速度为vAy=vBy-
gT=2 m/s-10×0.1 m/s=1 m/s,则抛出点与A点的竖直距离为h== m=0.05 m=5 cm。
考点二
[例3] 【答案】 (1)B　(2)d
【解析】 (1)为保证小球做平抛运动的初速度大小相等,方向水平,斜槽的末端切线必须水平,小球每次从同一位置由静止释放,斜槽轨道不需要光滑,将小球放置在槽的末端,小球要能够静止,故A错误,B正确;实验通过插槽位置确定小球的水平位移,B板必须竖直放置,故C错误。
(2)设小球做平抛运动过程中水平方向每经过距离d用时为T,在竖直方向上,bc间用时为T,ce间用时为2T,设b点的竖直速度为vby,则y1=vbyT+gT2,y1+y2=vby·3T+g(3T)2,解得T=,小球平抛初速度的计算式为v0==d。
[例4] 【答案】 (1)3.60　(2)
【解析】 (1)游标卡尺的精度为0.05 mm,小球的直径d=3 mm+12×0.05 mm=3.60 mm。
(2)小球在水平方向做匀速直线运动,在竖直方向做自由落体运动,有H=gt′2,x=vt′,其中v=,整理得x=d·,则x图像斜率k=d,解得g=。
[例5] 【答案】 (1)x4-x3　x3-x2　x2-x1　
(2)1.00　9.90　(3)B
【解析】 (1)根据匀变速直线运动推论,连续相等时间内的位移差相等,可知若x4-x3≈x3-x2≈
x2-x1,即可认为圆形信号发射器在竖直方向的运动近似为匀加速直线运动。
(2)根据题意,由题图乙中数据可得,圆形信号发射器经过A点时水平方向的速度为vA==
m/s=1.00 m/s,竖直方向上,由逐差法有(x4+x3)-(x2+x1)=g(2T)2,解得当地重力加速度的大小为g=9.90 m/s2。
(3)圆形信号发射器运动过程中受到空气阻力,则测得的重力加速度偏小,故A不符合题意;信号实际发射间隔大于0.05 s,则时间T偏小,测得的重力加速度偏大,故B符合题意;轨道的出口处不水平、轨道不光滑不影响竖直方向上重力加速度的测量,故C、D不符合题意。
[例6] 【答案】 (1)A　　(2)0.70
【解析】 (1)平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动,根据自由落体运动规律,竖直位移yn=g(nΔt)2,可得重力加速度g=,因此根据轨迹图计算当地的重力加速度,需要知道的物理量为第n个点的纵坐标yn,故B、C错误,A正确。
(2)yx2图线为过原点的一条直线,有y=kx2,k为定值,说明平抛运动的轨迹为抛物线;水平方向的位移x=v0t,竖直方向的位移y=gt2,联立解得y=x2,yx2图像的斜率k= m-1=10 m-1,结合yx2函数斜率的意义,图像斜率k=,代入数据解得初速度v0=0.70 m/s。

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