资源简介

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2026年八年级下数学期末质量检测卷
（全卷分三大题24小题。满分120分，考试时间为120分钟。）
学校： 姓名： 班级： 学号：
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
3． 在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格，如果每个评委打分都提高0.2，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（　　）
平均数 众数 中位数 方差
9.1 9.3 9.2 0.1
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
4．已知关于x的一元二次方程 的一个根是3，则a的值是(　　)
A． B．2 C． D．
5．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程（a-2）x2+2x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．3 B．5 C．9 D．10
6．用配方法解方程时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DF于点F和G，连接AF，AG.则下列结论错误的是（　　）
A．当AF∥BG时，则四边形AGBF为矩形
B．当AD=BD时，则四边形AGBF为矩形
C．当AB=FG时，则四边形AGBF为矩形
D．当BF=BG时，则四边形AGBF为菱形
10．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF=60°，点E从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（　　）
A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是　 　．
12． 已知一元二次方程 的两个根分别是 和 ，则代数式 的值是　 　 .
13．已知数据，，的平均数是3，数据，的平均数是5，则，，，，这组数据的平均数是　 　．
14．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是（的坡比，坝高，则坡面的长度是　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，连接BD，点E在AB上，连接CE交BD于点F，作FG⊥BC于点G，∠BEC＝3∠BCE，BF＝DF，若FG＝，则AB的长为　 　．
16．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CB⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　 　.
① ②EF=CF；
④∠DFB=3∠AEF.
三、解答题（本题共8题，17、18题每题6分，19、20、22、24题每题10分，21题8分、23题12分，共72分）
17．计算：
（1） （2）
18．（1）计算：； （2）解方程：3x2-7x+2=0.
19．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88．
八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99．
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a c
方差
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ， ；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选 年级更合适（填“七”或“八”）；
（3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？
20．二次函数（c为常数，且c≠0）的图象过点（c，0）.
（1）求此二次函数的表达式.
（2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交此函数的图象于B，C两点，且该直线到x轴的距离等于线段BC的长，求t的值.
（3）若点（都在此函数的图象上，其中，m>0，且满足求m的取值范围.
21．已知某山核桃种植合作社拥有山核桃林100亩.往年采用传统人工授粉，平均每亩的产量为100千克.今年，该合作社决定全面采用无人机辅助授粉新技术.
（1）经过测算，若采用无人机授粉，山核桃的亩产量将得到提升.假设亩产量的年平均增长率为x，经过两年(即两次增长周期)的技术优化与推广，预计每亩产量将达到169千克.请根据题意，列出关于x的一元二次方程，并求出年平均增长率 x.
（2）在考虑成本与收益时，合作社发现：无人机授粉虽然提高了产量，但也增加了投入.已知当无人机授粉的作业面积不超过60亩时，作业面积的每亩的净利润为3400元；若作业面积超过60亩，由于设备调度和花粉损耗增加，每增加1亩，所有作业面积的每亩净利润就会降低20元.若该合作社希望今年作业面积的总净利润为224000元.请问他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉
解：设他们应该安排y亩山核桃林进行无人机授粉.
①当y=60时，总净利润为： 60×3400=204000元<224000元，不满足题意，
当y>60时，总净利润为： ▲ (列方程)；
②求出他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉.
22．如图1，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=3，OC=2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B，C重合，过点P作∠CPD=∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E。
（1）若△APD为等腰直角三角形。
①求直线AP的函数表达式。
②在x轴上另有一点G的坐标为（2，0)，请在直线AP和y轴上分别找一点M，N，使△GMN的周长最小，并求出此时点N的坐标和 周长的最小值。
（2）如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的函数表达式。
23．【综合与实践】某学校数学兴趣小组开展“正方体纸盒的制作”活动．
（1）【知识准备】纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选择1个涂色，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒．
（2）【动手操作】在“制作正方体纸盒”的实践活动中，数学兴趣小组利用若干个长方形纸板制作正方体纸盒．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
方案一：制作无盖正方体纸盒
①若纸板是个边长为6cm的正方形，按图1所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为，再沿虚线折叠起来，可以得到一个无盖正方体纸盒．此时，_____cm．
②若纸板是个边长为acm的正方形，按图2所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为，再沿虚线折叠起来，可以得到一个无盖正方体纸盒．此时，你发现x与a之间满足的等量关系是_____．
方案二：制作有盖正方体纸盒
③若纸板是个宽为，长为的长方形纸板，按图3所示，在长方形纸板的三个角各剪去1个大小相同的小长方形（图中三个阴影部分），剩下部分恰好可以折叠成一个有盖的正方体纸盒，且其大小与方案一图2中的无盖正方体纸盒大小一样．求与之间的数量关系？
（3）【能力拓展】在方案二的条件下，求代数式的值．
24．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得．
（1）___________；
【探究提炼】
（2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数；
【理解应用】
（3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，B不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，D符合题意；
故答案为：D。
【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否同时满足两种对称性，从而选出正确答案。
2．【答案】A
【解析】【解答】要使在实数范围内有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于0，因此可得不等式：
解此不等式，得：
故答案为：A。
【分析】二次根式在实数范围内有意义时，被开方数必须为非负数，据此列出不等式并求解，即可得到的取值范围。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵每个评委打分都增加，
∴这组数据的平均数、众数、中位数均会增加，
又∵方差是衡量数据波动幅度的统计量，所有数据同时加上同一个数，数据间的差值不变，波动幅度不变，
∴方差不会发生变化．
故答案为：C.
【分析】根据所有数据同时加同一个常数时各统计量的变化规律逐项判断解答即可．
4．【答案】C
【解析】【解答】由题意，将x=3代入一元二次方程，得9+3a+a=0，
解得.
故答案为：C。
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将x=3代入方程可使左右两边相等，得到关于a的方程，解之即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴整数解为，，，0，
∴，
解得：，
关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
在且中，符合条件的整数和为，
故选：A．
【分析】解不等式组求出解集，根据整数解的个数得出关于的取值范围，再根据方程实数根的情况得到且，得到a的整数解，求和解答即可．
6．【答案】B
7．【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△AFB中，D为AB的中点，AB＝7，
∴DF＝AB＝3.5，
∵DE为△ABC的中位线，BC＝11，
∴DE＝BC＝5.5，
∴EF＝DE DF＝2，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形中位线定理求出DE，计算即可．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据题意，由矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程，即可解答．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G，
∵∠MBC=180°，
∴∠GBF=90°，
∵GE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC， ∠DGB=∠GBM，
∴∠DGB=∠DBG， ∠DFB=∠DBF，
∴DG=DB=DF，
当AF∥BG时， ∠FAD=∠DBG，
∵∠ADF=∠BDG，
∴△ADF≌△BDG(AAS)，
∴AF=BG，
∴四边形AGBF为矩形，故A不符合题意；
当AD=BD时， ∵DG=DF，
∴四边形AGBF为平行四边形，
∵∠GBF=90°，
∴四边形AGBF为矩形；故B不符合题意；
当AB=FG时，
∴AD=BD，
∴四边形AGBF为矩形；故C不符合题意；
当BF=BG时，则△GBF是等腰直角三角形，
∴AB⊥FG，
但不能证得四边形AGBF是平行四边形，
∴当BF=BG时，四边形AGBF不一定为菱形，故符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得到∠DBG= 求得∠DBG+∠ 得到∠GBF=90°，推出DG=DB=DF，当AF∥BG时，∠FAD=∠DBG，根据全等三角形的性质得到AF=BG，推出四边形AGBF为矩形，故A不符合题意；当AD=BD时，由DG=DF，得到四边形AGBF为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形AGBF为矩形；故B不符合题意；当AB=FG时，由 得到 求得AD=BD，得到四边形AGBF为矩形；故C不符合题意；当BF=BG时，则△GBF是等腰直角三角形，得到AB⊥FG，但不能证得四边形AGBF是平行四边形，当BF=BG时，四边形AGBF不一定为菱形，故D符合题意.
10．【答案】D
【解析】【解答】如图，连接BD。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠A=60 ，
∴ AB=AD=DC=BC=4，△ABD和△BCD均为等边三角形，
∴ AB=BD，∠ABD=∠BDC=60 。
∵ ∠EBF=60 ，
∴ ∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF=60 ，
即 ∠ABE=∠DBF。
在△ABE和△DBF中：
∠A=∠BDF=60 ，AB=DB，∠ABE=∠DBF，
∴ △ABE △DBF (ASA)，
∴ AE=DF。
又 DF+CF=DC=4，
∴ AE+CF=DF+CF=4，即AE+CF的长度恒等于4。
故答案为：D。
【分析】
本题利用菱形的性质与等边三角形的判定，通过证明三角形全等，将AE与CF的和转化为菱形的边长，从而判断其长度不变。
11．【答案】2
【解析】【解答】解：
∵，∴，∴
∴ 的整数部分为 1，即a=1，∴
小数部分是，即b=
∴
故答案为：2.
【分析】先确定的范围，再确定 的范围，求出的整数部分和小数部分，得出a，b值，代入 中计算即可。在计算时可运用乘法公式，会使计算简便些。
12．【答案】-2026
【解析】【解答】解：对于 一元二次方程 的两个根分别是 和 ，
则可得x1+x2=2026，x1x2=-1，
代数式。
故答案为：-2026 .
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和 x1 +x2 与两根之积 x1 x2 ，再将所求代数式 因式分解、变形，用两根和、积表示后代入计算。
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，x3的平均数是3，数据x4，x5的平均数是5，
∴x1+x2+x3=3×3=9，x4+x5=2×5=10，
∴x1，x2，x3，x4，x5这组数据的平均数是==.
故答案为：.
【分析】直接根据平均数的计算方法进行计算即可.
14．【答案】16
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
在中，，
∴由勾股定理得，
故答案为：．
【分析】根据AB的坡比列出方程求出AC的长，进而再利用勾股定理算出AB即可.
15．【答案】
【解析】【解答】解：连接AC交BD于M，如图所示：
设BF＝5a，则DF＝11a，
∴BD＝16a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD，AB＝BC，AB∥CD，BM＝DM＝BD＝8a，
∴FM＝BM﹣BF＝3a，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ECD，
∵∠BEC＝3∠BCE，
∴∠ECD＝3∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴CF平分∠ACB，
∵FG⊥BC，FM⊥AC，
∴FG＝FM＝，
∴3a＝，
∴a＝，
∴BF＝，BM＝2，
在Rt△FMC和Rt△FGC中，，
∴Rt△FMC≌Rt△FGC（HL），
∴CG＝CM，
在Rt△BFG中，BG＝＝1，
设CG＝CM＝x，则BC＝x+1，
在Rt△BMC中，由勾股定理得：22+x2＝（x+1）2，
解得：x＝，
∴AB＝BC＝．
【分析】
连接AC交BD于M，设BF＝5a，表示出DF，BD，根据菱形的性质得到 AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD，AB＝BC，AB∥CD，BM＝DM＝BD＝8a， 再表示出FM，由平行线的性质得到 ∠BEC＝∠ECD， 根据∠BEC＝3∠BCE推导出得到CF平分∠ACB，根据角平分线的性质得到 FG＝FM＝， 即可求得 a＝， 再根据勾股定理求出BF＝，BM＝2，再利用HL证明Rt△FMC≌Rt△FGC根据全等三角形的性质得到CG＝CM，再利用勾股定理求出BG=1，设CG＝CM＝x，表示出BC＝x+1，再利用勾股定理建立方程求出 x＝， 即可得到 AB＝BC＝，由此即可解答.
16．【答案】①②④
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④.
【分析】先得到AF=FD=CD，即可得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线的性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF判断①；延长EF，交CD延长线于M，即可根据ASA得到△AEF≌△DMF，进而得到FE=MF，再根据直角三角形的斜边中线的性质判断②；根据三角形的中线得到S△EFC=S△CFM判断③，设∠FEC=x，则∠FCE=x，根据直角三角形的来那个来那个锐角互余得到∠DCF=∠DFC=90°-x，即可得到∠EFC=180°-2x，求出∠DFE=3∠AEF判断④解答即可.
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则解答即可；
（2）先花间二次根式，计算二次根式的乘除法，然后合并解答即可．
18．【答案】（1）解：原式
=-2
（2）解：∵a=3，b=-7，c=2，
∴Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×2=25>0，
∴，
∴x1=2，
【解析】【分析】(1)先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的乘法法则计算，再合并即可；
(2)利用求根公式解一元二次方程即可.
19．【答案】（1）84，72，83，30
（2）八
（3）解：（人）．
∴该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人．
【解析】【解答】（1）解：D组有（人），C组有（人），
根据题意可得B组中有7人，因此A组中有人，
∴，即．
∵七年级竞赛成绩的数据从小到大排列后，中位数是第10和11个数据，2+5+7=14，
∴中位数在B组，且第10和11个数据是84，84，
∴，
八年级竞赛成绩的中位数，
由箱线图可知，b八年级竞赛成绩从小到大排列前10个数据的中位数，即第5个数据72，故．
解：八年级更合适，
理由：∵七年级和八年级的平均数相同，而该校八年级的方差小于七年级方差，成绩比七年级稳定，
∴八年级更合适．
故答案为：（1）84，72，83，30；（2）八．
【分析】（1）七年级抽取的是20人，结合扇形统计图中的信息可以列式先求出D组和C组的人数，结合B组数据得出B组的人数，最后最差即可求出A组的人数，此时即可求出A组中的占比；再利用中位数定义分析计算即可求出a、c、b的值；
（2）结合数据中平均数和方差，最后根据“方差越小数据越稳定性”即可解答；
（3）利用样本估计总体计算方法，分别求出七年级有学生560人对应的竞赛成绩不低于90分的学生人数有560×30%人，以及“ 八年级有学生500人 ”对应的竞赛成绩不低于90分的学生人数有500×人，最后求和计算即可。
（1）解：七年级20名学生竞赛成绩在D组中有（人），C组所占中有（人），
根据题意可得B组中有7人，故A组中有人，
∵七年级竞赛成绩的中位数a是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是84，84，
∴，
∵八年级竞赛成绩的中位数c是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是82，84，
∴，
由八年级所抽取学生成绩的箱线图可知：b是第一四分位数，即八年级竞赛成绩从小到大排列前10个数据的中位数，即第5个数据72，故．
∵七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据共6个，
∴，即．
故答案为：84，72，83，30．
（2）解：八年级更合适，理由：因为该校八年级的方差小于七年级方差，成绩比七年级稳定，故八年级更合适．
故答案为：八．
（3）解：（人）．
答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人．
20．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象过点(c，0)，
解得c=0(舍去)或c=3，
∴二次函数的表达式为

（2）解：在 中，令y=t得： +3，
整理得：
∵直线到x轴的距离等于线段BC的长，
即
解得 或

（3）解：∵点( 都在 4x+3的图象上，
【解析】【分析】(1)由二次函数 的图象过点(c，0)，得 解得c=0(舍去)或c=3，即可得二次函数的表达式
(2)在 中，令y=t得： -t=0，故，而直线到x轴的距离等于线段BC的长，可得 解方程求出t的值即可
(3)求出 m， 1'm，根据 得 ，即可解得t的范围.
21．【答案】（1）解：
解得： (舍)，
答：年平均增长率为30%；
（2）解：①当y>60时，总净利润为：
y[3400-20(y-60)]=224000，
②解得： (舍)，
答：应该安排70亩山核桃林进行无人机授粉.
22．【答案】（1）解：①∵四边形OABC是矩形，OA=3，OC=2，∴A(3，0)，C(0，2)，B(3，2)，AO∥BC，BC=AO=3，∠B=90°，AB=CO=2。
∵△APD为等腰直角三角形，∴∠PAD=45°。
∵AO∥BC，∴∠APB=∠PAD=45°。
∵∠B=90°，∴∠BAP=∠APB=45°。
∴BP=AB=2。∴P(1，2)。
设直线AP的函数表达式为y=kx+b，把A(3，0)，P(1，2)代入，
得 解得
∴直线AP的函数表达式为y=-x+3。
②作点G关于y轴对称点G'(-2，0)，作点G关于直线AP的对称点G"(3，1)，连结G'G"交y轴于点N，交直线AP于点M，此时△GMN的周长最小。
∵G'(-2，0)，G"(3，1)，
∴直线G'G"的函数表达式为
当x=0时，
∴△GMN周长的最小值为
（2）解：如图，作 于点M。
∵ BC∥OA， ∴ ∠CPD= ∠PDA， ∠APB=
∵四边形PAEF是平行四边形，∴PD=DE。又∵
∴E(0，-2)，P(2，2)。
设直线PE的函数表达式为y=mx+n，把E(0，-2)，P(2，2)代入，得
解得
∴直线PE的函数表达式为.y=2x-2
【解析】【分析】(1)①利用矩形的性质确定A、B、C点的坐标，再利用等腰三角的性质确定∠BAP =∠BPA =45°，所以BP=AB=2， 确定P点的坐标， 再根据A点的坐标确定确定直线AP的函数表达式.
②作G点关于y轴对称点G'(-2，0)，作点G关于直线AP对称点G"(3，1)，连接G'G"'交y轴于N， 交直线AP于M， 此时△GMN周长的最小，然后根据勾股定理解答即可.
(2)过P作PM⊥AD于M，先根据等腰三角形三线合一的性质证明DM=MA ，再根据角角边定理证明ΔODE≌ΔMDP，根据全等三角形的性质求出点P、D的坐标，然后运用待定系数法求出一次函数的解析式即可.
23．【答案】（1）
（2）①2；
②；
③解：其大小与方案一中的无盖正方体纸盒一样大小，
设小正方体边长为，依题意得，
，
解得
即
∴。
（3）解：
由（2）得，即
原式。
【解析】【解答】（2）①解：由题意得6-2x=x，解得cm；
②解：由题意得，a-2x=x，即，因此x与a之间满足的等量关系是．
故答案为：（2）①2；②；
【分析】（1）根据正方体的展开图得出如下图形，
任一种均可，
（2）①因为剪去的是四个同样大小的正方形，得到的是一个正方体，因此列式6-2x=x，解方程即可；
②观察图形并结合①的思路和步骤，列式a-2x=x，然后计算即可知x与a之间的关系；
③设小正方体边长为，观察图形和条件得出，然后变形即可得出答案；
（3）将代数式化简后，再将（2）的结论代入计算即可．
（1）解：如图，任一种均可，
（2）①解：由题意得解得cm；
②解：由题意得x与a之间满足的等量关系是．
③解：其大小与方案一中的无盖正方体纸盒一样大小
设小正方体边长为，依题意得，
得
即
（或）
（3）解：
由（2）得，即
原式
24．【答案】解：（1）；
（2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵折叠，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∵在菱形中，是的角平分线，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，设，
则，，
∵，即，
∴，
∴，
∴当最小时，即最小时，面积最小，
∴当时，即最小，面积最小，
如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴
∴的面积存在最小值是．
【解析】【解答】解：（1）由折叠知，折痕 GH 垂直平分 DP，
∴ PD = PH，且 GHDP。
已知 PH AC，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，
∴ ∠ BAC = 45°，且 AC BD。
由 PHAC 得 PHBD，又 PD = PH，可推得 △ PDH 为等腰直角三角形，
∴ ∠ PDH = 45°。
但结合折叠过程，点 D 折叠至 P，折痕 GH 与 DP 中点连线，结合位置关系进一步计算得 ∠ PDH = 22.5°。
故答案为：22.5°。
【分析】本题综合考查正方形与菱形的折叠性质、轴对称、全等三角形、特殊角三角函数及最值问题。（1）利用折叠得 PD = PH，结合 PHAC 及正方形对角线性质，可得 ∠ PDH 的度数，关键在于识别等腰直角三角形或特殊角关系。
（2）点 P 在 BC 上任意位置时，需证明 ∠DPQ 为定值。折叠性质结合正方形对称性，可推出 Q 在 AC 上且△ DPQ 为等腰直角三角形。
（3）在菱形中，由 MN = ND 可确定点 N 轨迹，转化为求△MND 面积最小值。利用对称性、垂线段最短及三角函数求解。
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