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{#{QQABZQAt4gK4gJbACL5qU0UYCEsYkIEjLCgkQQCYKAQqiRNABKA=}#}2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷
数 学
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟：
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号；
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效：
4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，全集，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，若，则（ ）
A．1 B． C．16 D．
5．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3 B．的最小正周期为
C．在上单调递增 D．的最小正零点为
6．已知一个圆台的上下底面半径分别为3和6，球与该圆台的上下底面和侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支交于点，，设双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
8．若曲线上存在至少两点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某城市连续6天的最低温度（单位：°C）为0、2、5、5、6、6，则这组数据的（ ）
A．极差为6 B．40%分位数为3.5 C．平均数为4 D．方差为5
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．不等式的解集为
C．函数的图象为轴对称图形 D．函数的图象为中心对称图形
11．已知数列的通项公式为，是其前项的和．，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．二项式的展开式中的常数项为 ．
13．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 ．
14．设矩形的周长为24．把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式：
（2）若数列满足，求数列的前项和．
16．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，，，是的中点．
（1）证明：；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
17．已知函数．
（1）设是的导函数，求的单调区间；
（2）设是的极小值点，求证：；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．
18．已知椭圆过点，离心率为，是坐标原点．
（1）求的方程；
（2）过的右焦点作直线与椭圆交于两点，以为邻边作平行四边形．
（i）求点的轨迹方程并说明其形状；
（ii）过的任意一条直线与椭圆交于两点，与的轨迹交于两点，其中在轴上方，求和面积之和的范围．
19．某景点周边文创店推出了一款单价10元的“幸运文创刮刮卡”，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如下（未中奖则无奖金）：
①一等奖：奖金40元，中奖概率5%；
②二等奖：奖金20元，中奖概率10%；
③三等奖：奖金10元，中奖概率30%．
（1）小明初始有20元零花钱．
（i）若他购买1张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望；
（ii）小明想要购买一款定价40元的航模配件，他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款，求他最终能够凑齐钱款的概率．
（2）若小明初始有元（为正整数且），他采取的购买策略是：一旦当前总金额超过初始的元就立刻停止购买．设他最终能够成功挣到钱的概率为，求证：．
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