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人教版2026年贵州中考数学适应性考试试卷二
考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）我国魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时指出：对两个得失相反的量，要以正、负加以区别．可以用红筹表示正，用黑筹表示负．如三个红筹表示，则五个黑筹表示（ ）
A． B．0 C． D．
2．（本题3分）如图，某村庄（P点）旁有一条公路，现在要建一个公交车站，为了使居民乘车最方便，有关部门选择在C点来建公交车站，用所学的几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线
3．（本题3分）北宋王安石的一首诗《梅花》中的诗句“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来”若梅花的花粉直径约为0.000036米，则数据0.000036用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图是《天工开物》中记载的我国古代的提水工具“桔槔”抽象成的简易装置图，三条竖直的线互相平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）褐马鸡是山西省省鸟，也是我国的珍稀鸟类．如图是利用网格画出的褐马鸡的示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点A的坐标为，表示尾部点B的坐标为，则表示足部点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，移项得
B．方程，系数化为1得
C．方程，去括号得
D．方程，整理得
7．（本题3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，反面向上 B．成语守株待兔描述的事件
C．买彩票一定会中奖 D．三角形三条边上的中线交于一点
8．（本题3分）如图，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（本题3分）俯卧撑是一项常见的健身项目．如图所示是小杨同学在水平地面上做俯卧撑保持静止时的状态及几何示意图，他的身体可视为一条直线，与地面成一定夹角，点为他的肩部，点为手掌与地面的接触点，点为小杨的头顶，且．若测得，，小杨的身高，则小杨头顶到地面的竖直高度为（）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧的处，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（本题3分）如图，在直角三角形中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）如图，平行四边形中，与交于点，，，和的角平分线交于点，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（共16分）
13．（本题4分）如图，在数轴上，点A表示2，点B表示，则点A、B之间的距离是______．
14．（本题4分）因式分解：______．
15．（本题4分）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长尺，则根据题意，可列方程______．
16．（本题4分）如图，在中，，，，是斜边的中线，的平分线分别与，交于点，，则的长为__________．
三、解答题（共98分）
17．（本题12分）（1）计算：；
（2）解方程组：
18．（本题10分）已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式：
(2)求的面积．
(3)观察图象，直接写出不等式的解集．
19．（本题10分）随着技术发展，为提升学生指令能力，某学校开展专项培训．培训后，随机抽取50名学生进行测试，整理成绩（百分制）如下：
a．成绩频数分布表：
成绩（分）
频数 5 10 12 18 5
b．成绩在这一组的是：（单位：分）
71 72 73 74 74 75 76 76 77 78 78 79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ．
(2)这次测试成绩的平均分是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均分，所以甲的成绩高于一半学生的成绩，”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
(3)请对该校学生“指令能力”的掌握情况作出合理的评价．
20．（本题10分）如图，点是菱形的对角线和的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
21．（本题10分）情绪价值产品是指以情绪体验为核心价值的商品或服务，以满足现代人在物质丰富后对精神层面的追求．情绪价值产品正成为消费新热点，某玩具批发公司用元采购，两种解压玩具共件，其中，两种玩具的进价分别为元/件和元/件．
(1)求该玩具批发公司采购，两种玩具各多少件？
(2)该玩具公司为了尽快销售完这批玩具，计划种玩具的售价定为元/件，若该公司想要获得不低于的利润率，则种玩具的售价至少应定为多少元/件？（售价为整数）
22．（本题10分）为将数学知识应用于实际生活，某校八年级数学兴趣小组利用周末前往梵净山开展 "测量红云金顶相对高度" 的实践探究活动。他们携带测角仪和卷尺，在山脚开阔的水平地面上选取测量点 A，用测角仪测得金顶顶端 P 的仰角为31 。为获取更多测量数据，小组同学沿景区修建的登山步道 AB 向上行走，该步道坡度均匀，景区标识牌标注的坡度为i=1:2.4。当他们沿步道行走 130 米到达半山腰的观景台 B 点时，再次用测角仪测得金顶顶端 P 的仰角为50 。已知金顶底部 D 与测量起点 A 在同一水平面上，金顶山体垂直于地面（PD⊥AD）。为方便计算，过 B 点分别作BC⊥AD于点 C，BE⊥PD于点 E，形成如图所示的几何图形。（参考数据：tan31 ≈0.60，tan50 ≈1.19）
(1) 求登山步道 AB 的垂直高度 BC 和水平宽度 AC 的长度；
(2) 求红云金顶的相对高度 PD（结果精确到 1 米）。
23．（本题12分）如图，是的直径，，是上两点，连接，平分，，交延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
24．（本题12分）【活动主题】
如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究．
【建立模型】
如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30．
(1)求抛物线的解析式；
(2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？
(3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围．
25．（本题12分）综合与实践
在平行四边形中，是边上一点，是边上一点，且，过点作交边于点，连接交于点．
【初步探究】
(1)如图1，若，垂直平分边，则与的数量关系是_____．
【类比探究】
(2)如图2，若，，，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．
【拓展应用】
(3)若为边的一个三等分点，请直接写出的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页保密★启用前
人教版2026年贵州中考数学适应性考试试卷二答案解析
考试时间：120分钟；试卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）我国魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时指出：对两个得失相反的量，要以正、负加以区别．可以用红筹表示正，用黑筹表示负．如三个红筹表示，则五个黑筹表示（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵三个红筹表示，
∴五个黑筹表示．
2．（本题3分）如图，某村庄（P点）旁有一条公路，现在要建一个公交车站，为了使居民乘车最方便，有关部门选择在C点来建公交车站，用所学的几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线
【答案】B
【详解】解：∵
∴点P到上一点的连线中，最短
∴用到的几何知识为垂线段最短．
3．（本题3分）北宋王安石的一首诗《梅花》中的诗句“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来”若梅花的花粉直径约为0.000036米，则数据0.000036用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题.
【详解】解：.
4．（本题3分）如图是《天工开物》中记载的我国古代的提水工具“桔槔”抽象成的简易装置图，三条竖直的线互相平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，由题意得，，
∴
∵
∴．
5．（本题3分）褐马鸡是山西省省鸟，也是我国的珍稀鸟类．如图是利用网格画出的褐马鸡的示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点A的坐标为，表示尾部点B的坐标为，则表示足部点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知点的坐标，建立直角坐标系，进而写出点C的坐标即可.
【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图：
由图可知：
.
6．（本题3分）下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，移项得
B．方程，系数化为1得
C．方程，去括号得
D．方程，整理得
【答案】C
【详解】解：A、方程，移项要变号，移项得，原变形错误；
B、方程，系数化为1，两边同时乘得，原变形错误；
C、方程，去括号时，用乘括号内每一项，得，原变形正确；
D、方程，去分母时两边同乘分母最小公倍数，整理得，原变形错误．
7．（本题3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，反面向上 B．成语守株待兔描述的事件
C．买彩票一定会中奖 D．三角形三条边上的中线交于一点
【答案】D
【分析】根据必然事件是一定条件下一定发生的事件的定义，逐一判断各选项即可得到结果．
【详解】解：A选项投掷一枚硬币反面向上是随机事件，可能发生也可能不发生；
B选项守株待兔描述的事件是随机事件，不一定发生；
C选项买彩票中奖是随机事件，不一定发生；
D选项根据三角形的性质，任意三角形三条边上的中线一定交于一点，是一定发生的事件；
8．（本题3分）如图，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析，即可求解．
【详解】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故A选项不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故B选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故C选项不符合题意；
D、由，无法得出四边形是平行四边形，故D选项符合题意．
9．（本题3分）俯卧撑是一项常见的健身项目．如图所示是小杨同学在水平地面上做俯卧撑保持静止时的状态及几何示意图，他的身体可视为一条直线，与地面成一定夹角，点为他的肩部，点为手掌与地面的接触点，点为小杨的头顶，且．若测得，，小杨的身高，则小杨头顶到地面的竖直高度为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴小杨头顶到地面的竖直高度为．
10．（本题3分）如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧的处，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠，，进一步得到四边形是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积扇形面积菱形的面积，即可求解．
【详解】依题意：，
∴
∴四边形是菱形
∴
连接与交于D点
∵
∴
∴是等边三角形
同理：是等边三角形
故
由三线合一，在中：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
11．（本题3分）如图，在直角三角形中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由作图方法可知，平分，，根据角平分线的定义和三角形内角和定理求得的度数，则由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解： 由作图方法可知，平分，，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
∴．
12．（本题3分）如图，平行四边形中，与交于点，，，和的角平分线交于点，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形性质，得到；根据平行四边形的数量关系，取的中点，证明共线，，， ，因此，在中，即可求得的长．
【详解】解：取的中点，连接，如图所示，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
和的角平分线交于点，
，
，
，
在与中，有
，
则，
，
三点共线，且，
又，
四边形是平行四边形，
，
在和，有
，
，
在和中，有
，
，
，
，
是直角三角形，
又，
为中点，
根据直角三角形性质，则．
【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、直角三角形的判定，解题关键是根据题意发现边长数量关系，作相应辅助线从而得到所求长度．
二、填空题（共16分）
13．（本题4分）如图，在数轴上，点A表示2，点B表示，则点A、B之间的距离是______．
【答案】3
【分析】根据数轴上两点间的距离定义，即两点所表示的数之差的绝对值，据此列式计算即可．
【详解】解：由图可知，点 A 表示的数为 2，点 B表示的数为．则点A、B之间的距离是．
14．（本题4分）因式分解：______．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：
．
15．（本题4分）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长尺，则根据题意，可列方程______．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，涉及勾股定理，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键．
设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，根据题意，得．
【详解】解：设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，
根据题意，得．
故答案为：．
16．（本题4分）如图，在中，，，，是斜边的中线，的平分线分别与，交于点，，则的长为__________．
【答案】
【分析】由勾股定理求出，由是斜边的中线，得，设，则，过点作于点，求出，运用面积关系得，求得，过点作交于点，证明可得结论．
【详解】解：在中，，，，
所以，，
∵是斜边的中线，
∴，
设，则，
过点作于点，
∵平分，且，
∴，
又，
∴，
解得：，
即；
过点作交于点，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴是的中点，
∴是的中位线,
∴，
又，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴．
三、解答题（共98分）
17．（本题12分）（1）计算：； （2）解方程组：
【答案】（1）；（2）.
【分析】解：（1）利用任何非0数的0次幂都等于1、负指数次幂的性质和特殊角的锐角三角函数值计算即可；
（2）利用加减消元法将①×3＋②，即可求出n的值，再代入求m即可.
【详解】解：（1）
=
=
（2）
将①×3＋②得：
解得：
将代入①得：
∴方程组的解为
【点睛】此题考查的是实数的混合运算和解二元一次方程组，掌握任何非0数的0次幂都等于1、负指数次幂的性质、特殊角的锐角三角函数值和用加减消元法解二元一次方程组是解决此题的关键.
18．（本题10分）已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式：
(2)求的面积．
(3)观察图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)
(3)或．
【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象及性质：
（1）采用待定系数法求解即可；
（2）；
（3）根据函数图象即可求得答案．
【详解】（1）解：因为反比例函数的图象过点，
所以．解得．
反比例函数的解析式为．
因为反比例函数的图象过点，
所以．解得．
点的坐标为．
因为一次函数的图象过点，，
所以，解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：当时，，
所以点的坐标为．
．
（3）解：将不等式变形，得，
根据函数图象可知或．
19．（本题10分）随着技术发展，为提升学生指令能力，某学校开展专项培训．培训后，随机抽取50名学生进行测试，整理成绩（百分制）如下：
a．成绩频数分布表：
成绩（分）
频数 5 10 12 18 5
b．成绩在这一组的是：（单位：分）
71 72 73 74 74 75 76 76 77 78 78 79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ．
(2)这次测试成绩的平均分是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均分，所以甲的成绩高于一半学生的成绩，”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
(3)请对该校学生“指令能力”的掌握情况作出合理的评价．
【答案】(1)，
(2)不正确，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据中位数可求出中位数，用成绩不低于80分的人数除以测试人数，即可求解；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）根据成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比以及平均数的意义解答即可．
【详解】（1）解：这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为（分），
所以这组数据的中位数是78分，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为；
（2）解：不正确，理由如下：
因为甲的成绩77分低于中位数78分，
所以甲的成绩不高于一半学生的成绩；
（3）解：测试成绩不低于80分的人数占测试人数的，且平均分为分，
说明该校学生对“指令能力”的掌握情况整体良好，多数学生能较好掌握相关技能．
20．（本题10分）如图，点是菱形的对角线和的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）由菱形的性质，得，由，，先证四边形为平行四边形，结合，即可证出四边形是矩形；
（2）由菱形的性质，得，，由勾股定理得，结合矩形的性质，得，可得出的长．
【详解】（1）解：∵四边形为菱形，、为对角线，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
故的长为．
21．（本题10分）情绪价值产品是指以情绪体验为核心价值的商品或服务，以满足现代人在物质丰富后对精神层面的追求．情绪价值产品正成为消费新热点，某玩具批发公司用元采购，两种解压玩具共件，其中，两种玩具的进价分别为元/件和元/件．
(1)求该玩具批发公司采购，两种玩具各多少件？
(2)该玩具公司为了尽快销售完这批玩具，计划种玩具的售价定为元/件，若该公司想要获得不低于的利润率，则种玩具的售价至少应定为多少元/件？（售价为整数）
【答案】(1)该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件
(2)元/件
【分析】（1）设该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件，根据“某玩具批发公司用元采购，两种解压玩具共件”得到关于，的二元一次方程组，求解后可得答案；
（2）设种玩具的售价定为元/件，根据“该公司要获得不低于的利润率”得到关于的一元一次不等式，求出解集后得到符合题意的整数解即可．
【详解】（1）解：设该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件，
依题意，得：，
解得：，
答：该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件；
（2）解：设种玩具的售价定为元/件（为整数），
依题意，得：，
解得：．
∵为整数，
∴最小取，
答：种玩具的售价至少应定为元/件．
22．（本题10分）为将数学知识应用于实际生活，某校八年级数学兴趣小组利用周末前往梵净山开展 "测量红云金顶相对高度" 的实践探究活动。他们携带测角仪和卷尺，在山脚开阔的水平地面上选取测量点 A，用测角仪测得金顶顶端 P 的仰角为31 。为获取更多测量数据，小组同学沿景区修建的登山步道 AB 向上行走，该步道坡度均匀，景区标识牌标注的坡度为i=1:2.4。当他们沿步道行走 130 米到达半山腰的观景台 B 点时，再次用测角仪测得金顶顶端 P 的仰角为50 。已知金顶底部 D 与测量起点 A 在同一水平面上，金顶山体垂直于地面（PD⊥AD）。为方便计算，过 B 点分别作BC⊥AD于点 C，BE⊥PD于点 E，形成如图所示的几何图形。（参考数据：tan31 ≈0.60，tan50 ≈1.19）
(1) 求登山步道 AB 的垂直高度 BC 和水平宽度 AC 的长度；
(2) 求红云金顶的相对高度 PD（结果精确到 1 米）。
）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先明确坡度的本质：坡度i是坡面垂直高度与水平宽度的比值，而非垂直高度与坡面长度的比值（这是学生最易混淆的易错点）。采用设参法，设垂直高度，水平宽度，利用勾股定理可直接得出斜边，代入已知的坡面长度米，求出参数x的值，即可反推出BC和AC的具体长度。
（2）通过作和两条辅助线，将原图形分解为一个矩形BCDE和两个直角三角形、。设未知数建立关系：设要求的金顶高度米，用含h的代数式表示出相关未知边：米。利用三角函数表示边：分别在两个直角三角形中，根据已知仰角的正切值，将BE（即CD）和AD都用含h的代数式表示出来。找等量关系列方程：根据图形中线段的和差关系，代入各表达式建立关于h的一元一次方程，解方程即可求出最终结果。
【详解】（1）解：(1) 在中，
坡度
设米，则米
由勾股定理得：
已知米，所以，解得
因此： 米 米
答：登山步道 AB 的垂直高度 BC 为米，水平宽度 AC 为米。
(2) 设红云金顶的相对高度米
∵，，
∴四边形BCDE是矩形
∴ 米（矩形对边相等） （矩形对边相等）
则米
在中，， 即米
在中，， 米
∵，
∴
答：红云金顶的相对高度 PD 为米。
23．（本题12分）如图，是的直径，，是上两点，连接，平分，，交延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理得出，证明，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，解直角三角形得出，证明，解直角三角形得出即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
24．（本题12分）【活动主题】
如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究．
【建立模型】
如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30．
(1)求抛物线的解析式；
(2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？
(3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)能
(3)
【分析】（1）由抛物线过点，设抛物线的解析式为：，再用待定系数法即可求解；
（2）先求出抛物线的解析式，然后把，解得，比较得，即可求解；
（3）分别求出射线过和、和的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线过且顶点的横坐标为30，
∴，即，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线最低点到轴的水平距离为30，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
当时，，
，
∴另一端能挂到距原点50处高14的灯杆上；
（3）解：∵：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵：，
∴抛物线经过点，
∴将和代入中得：，解得：；
将和代入中得：，解得：，
∵射线与抛物线和抛物线都有交点，
∴的取值范围为：．
25．（本题12分）综合与实践
在平行四边形中，是边上一点，是边上一点，且，过点作交边于点，连接交于点．
【初步探究】
(1)如图1，若，垂直平分边，则与的数量关系是_____．
【类比探究】
(2)如图2，若，，，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．
【拓展应用】
(3)若为边的一个三等分点，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据等边对等角得出，根据平行四边形的性质可得出，根据补角的性质得出，根据余角的性质得出，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）当时，，证明是等边三角形，得出，，根据等式的性质可得出，根据角的和差关系可求出，，根据三角形内角和定理可求出，根据等角对等边得出，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论：当时，，，延长、相交于N，由（2），，则，证明，求出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；当时，类似求解即可．
【详解】（1）解：
理由：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又，
∴，
∵垂直平分边，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：结论还成立，
理由：当时，，
又
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时，，
∴可设，则，
∵E为的一个三等分点，
∴或，
当时，，，
延长、相交于N，
由（2），，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，，，
延长、相交于N，
由（2），，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的值为或．
试卷第1页，共3页
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