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第2讲　机械波
【学习目标】
1.理解机械波的形成条件与传播特点,掌握波长、频率、波速的关系,建立波动模型与能量传递观。
2.能分析波的叠加、干涉与衍射现象,运用图像推理波动规律,培养空间建模能力。
3.联系实际(如声呐、地震预警),认识机械波在科技与防灾中的应用,培养科学应用意识。
[footnoteRef:0] [0:
1.(2025·陕晋青宁高考适应性考试)某同学在漂浮于湖中的木筏上休息,看到湖面上的水波正平稳地向着湖岸传播。该同学估测出相邻波峰与波谷之间水平距离为1.5 m,当某波峰经过木筏时开始计数,此后经20 s恰好有12个波峰通过木筏,则该水波(　　)
A.波长约为1.5 m
B.周期约为3.3 s
C.频率约为1.7 Hz
D.波速约为1.8 m/s
2.(多选)一列简谐横波沿x轴传播,图甲是t=0时刻的波形图;P是介质中位于x=2 m处的质点,其振动图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.波速为2 m/s
B.波向左传播
C.x=3 m处的质点在t=7 s时位于平衡位置
D.质点P在0~7 s内运动的路程为70 cm]
考点一　机械波的形成与传播　波的图像
如图为一列简谐横波在某时刻的波形图,请写出该波的函数表达式,并计算出此时质点P的横坐标值以及位于xQ=18 cm处的质点Q的位移。
1.机械波的传播特点
(1)波传到任意一点,该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介质中每个质点都做受迫振动,任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期
相同。
(3)波从一种介质进入另一种介质,由于介质的情况不同,它的波长和波速可能改变,但频率和周期都不会改变。
(4)波源经过一个周期T完成一次全振动,波恰好向前传播一个波长的距离,所以v==λf。
2.波的传播方向与质点振动方向的互判方法
项目 内容 图像
“上下 坡”法 沿波的传播方向,“上坡”时质点向下振动,“下坡”时质点向上振动
“同侧”法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移,再由对应同一横坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
[例1] 【波的形成与传播】 (2025·北京卷,5)质点S沿竖直方向做简谐运动,在绳上形成的波传到质点P时的波形如图所示,则(　　)
A.该波为纵波
B.质点S开始振动时向上运动
C.S、P两质点振动步调完全一致
D.经过一个周期,质点S向右运动一个波长距离
[例2] 【波的图像】 (多选)(2025·山东卷,9)均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波,振幅均为2 cm,波速均为1 m/s,M、N为介质中的质点。t=0时刻的波形图如图所示,M、N的位移均为1 cm。下列说法正确的是(　　)
A.甲波的周期为6 s
B.乙波的波长为6 m
C.t=6 s时,M向y轴正方向运动
D.t=6 s时,N向y轴负方向运动
考点二　振动图像与波的图像的综合应用
振动图像与波的图像的比较
比较项目 振动图像 波的图像
研究对象 一个质点 波传播方向上的所有质点
研究内容 某质点位移随时间的变化规律 某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标 表示时间 表示各质点的平衡位置
物理 意义 某质点在各时刻的位移 某时刻各质点的位移
振动方向 的判断 (看下一时 刻的位移) (同侧法)
Δt后的 图形 随时间推移,图像延伸,但已有形状不变 随时间推移,图像沿波的传播方向平移,按原有波形做周期性变化
联系 (1)纵坐标均表示质点的位移。 (2)纵坐标的最大值均表示振幅。 (3)波在传播过程中,各质点都在各自的平衡位置附近振动
[例3] 【由质点的振动图像判断波的图像】 (2025·广西河池期末)如图甲所示,用手握住长绳的端点A,t=0时刻在手的带动下A点开始上下振动,其振动图像如图乙所示。下列四幅图中能正确反映t0时刻绳波形状的是(　　)
A　 B
C　 D
[例4] 【由波的图像判断质点的振动图像】 (2025·湖北宜昌模拟)介质中坐标原点O处的波源在t=0时刻开始振动,产生的简谐横波沿x轴正方向传播,t0时刻传到L处,波形如图所示。下列描述x0处质点的振动图像是(　　)
A　　 　B
C　　 　D
[例5] 【波的图像与振动图像的综合】 (多选)(2025·福建福州二模)一列简谐横波沿x轴传播,图甲是波传播到x=5 m的质点M时的波形图,令此时刻t=0,图乙是质点N(x=3 m)的振动图像,Q是位于x=10 m处的质点,则下列说法正确的是(　　)
A.Q点开始振动的方向沿y轴负方向
B.t=0至t=3 s内,质点M的路程为10 cm
C.质点Q和原点的振动方向始终相反
D.t=9.5 s时,质点Q的位移为-5 cm
考点三　波传播的周期性与多解性
1.波的周期性
(1)质点振动nT(n=1,2,3,…)时,波形不变。
(2)在波的传播方向上,当两质点平衡位置间的距离为nλ(n=1,2,3,…)时,它们的振动步调总相同;当两质点平衡位置间的距离为(2n+1)(n=0,1,2,3,…)时,它们的振动步调总相反。
2.波的多解问题的成因分析
双向性 形成多解 (1)传播方向的双向性:波的传播方向不确定。 (2)振动方向的双向性:质点的振动方向不确定
周期性 形成多解 (1)时间的周期性:时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 (2)空间的周期性:波传播距离Δx与波长λ的关系不明确
波形的隐 含性形成 多解 在波动问题中,往往只给出完整波形的一部分,或给出几个特殊点,而其余信息均处于隐含状态。这样,波形就有多种情况,形成波动问题的多解性
3.解决波的多解问题的一般思路
(1)首先找出造成多解的原因,比如考虑传播方向的双向性,可先假设波向右传播,再假设波向左传播,分别进行分析。
(2)根据周期性列式,若题目给出的是时间条件,则列出t=nT+Δt(n=0,1,2,…)进行求解;若给出的是距离条件,则列出x=nλ+Δx(n=0,1,2,…)进行求解。
(3)根据需要进一步求与波速(v=或v==λf)等有关的问题。
[例6] 【双向性形成多解】 (多选)(2025·陕晋青宁卷,8)一列简谐横波在介质中沿直线传播,其波长大于1 m,a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点,其振动图像如图所示。则t=0时的波形图可能为(　　)
A　　 B
C　　 D
[例7] 【空间的周期性形成多解】 (2023·海南卷,4)下面上下两图分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像,下列说法正确的是(　　)
A.该波的周期是5 s
B.该波的波速是3 m/s
C.4 s时P质点向上振动
D.4 s时Q质点向上振动
[例8] 【波的隐含性形成多解】 (2025·重庆二模)如图所示,某均匀介质中一列沿x轴正方向传播的简谐横波(图中未画出),波速为6 m/s,两质点P、Q位于x轴上。以该波传到质点P为计时起点,质点P的振动方程为y=-2sin 5πt cm,经过时间Δt该波传到质点Q时,质点P位于x轴上方距其平衡位置1 cm处且向上振动。由此可知(　　)
A.该波的波长为2 m
B.质点Q开始振动的方向向上
C.质点P、Q平衡位置的间距可能为3.8 m
D.Δt=0.25 s
考点四　波的干涉、衍射和多普勒效应
1.波的干涉现象中振动加强点、减弱点的判断方法
(1)图像法。
如图所示,在某时刻波的干涉的波形图上,波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点(如图中的P、Q)一定是加强点,而波峰与波谷的交点(如图中的R、S)一定是减弱点,各加强点或减弱点各自连接成以两波源为中心向外辐射的连线,形成加强线和减弱线,两种线互相间隔,加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
(2)公式法。
某质点的振动是加强还是减弱,取决于该点到两相干波源的距离之差Δr,如图所示。
①当两波源振动步调一致时,
若Δr=nλ(n=0,1,2,…),则振动加强;
若Δr=(2n+1)(n=0,1,2,…),则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时,
若Δr=(2n+1)(n=0,1,2,…),则振动加强;
若Δr=nλ(n=0,1,2,…),则振动减弱。
2.衍射现象的两点提醒
(1)障碍物或孔的尺寸大小并不是决定衍射能否发生的条件,仅是衍射现象是否明显的条件,波长越长越容易发生明显的衍射现象。
(2)当孔的尺寸远小于波长时,尽管衍射十分突出,但衍射波的能量很弱,也很难观察到波的
衍射。
3.多普勒效应的成因分析
(1)接收频率是指观察者接收到的频率,等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时,观察者接收到的频率变大;当波源与观察者相互远离时,观察者接收到的频率变小。
[例9] 【波的干涉】 (多选)(2025·浙江1月选考卷,12)如图甲所示,两波源S1和S2分别位于x=0与x=12 m 处,以x=6 m为边界,两侧为不同的均匀介质。t=0 时两波源同时开始振动,其振动图像相同,如图乙所示。t=0.1 s时x=4 m与x=6 m 两处的质点开始振动。不考虑反射波的影响,则(　　)
A.t=0.15 s时两列波开始相遇
B.在6 mC.两列波叠加稳定后,x=8.4 m处的质点振动减弱
D.两列波叠加稳定后,在0[例10] 【波的衍射】 (2025·江苏泰州期末)如图所示是利用水波槽观察到的水波衍射图样,由图样可知(　　)
A.B侧波是衍射波
B.A侧相邻波纹间距大于B侧相邻波纹间距
C.若孔的大小不变,减小水波波源的频率,衍射现象将更明显
D.增大挡板之间的间隙,衍射现象将更明显
[例11] 【多普勒效应】 (2025·河北沧州模拟)如图甲所示是某型号高机动性制空战斗机训练过程中水平高速飞行的情形,图乙是该战机水平飞行时的示意图,图中一系列圆表示该战机不同时刻发出的声波所到达的位置,这些圆相切于一点,战机恰处于该点上。下列说法正确的是(　　)
A.战机正在靠近P点
B.战机的速度与它发出声波的速度大小相等
C.Q处速度为零的观察者接收到声波的频率等于战机发出声波的频率
D.P处速度为零的观察者接收到声波的频率高于Q处速度为零的观察者接收到声波的频率
第2讲　机械波
考点一
模理探真:设该波的函数表达式为y=Asin(·x+φ),由图像知波长λ=72 cm,振幅A=20 cm,将坐标(0,-10)代入得φ=-,则y=20sin(·x-) cm;由yP=0得xP=6 cm;由xQ=18 cm得yQ=10 cm。
[例1] B　[例2] BD　
考点二
[例3] B　[例4] C　[例5] AC　
考点三
[例6] AD　[例7] C　[例8] C　
考点四
[例9] BC　[例10] C　[例11] B　第3讲　实验:用单摆测量重力加速度
【学习目标】
1.深入理解单摆周期公式,明确摆长、周期与重力加速度的定量关系。
2.掌握实验数据的图像处理法,理解图像斜率的物理意义,培养误差分析与实验优化的逻辑
能力。
3.学会操作单摆实验,精确测量摆长与周期,探究摆角、摆球质量等因素对实验结果的影响。
4.认识重力加速度测量在地质勘探、航天技术中的应用价值,体会实验对科学研究的基础性
作用。
一、装置与器材
带孔小钢球、伸缩性小的细线(约1 m长)、铁架台、铁夹、刻度尺、停表、游标卡尺。
二、实验步骤
1.在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大的结,将细线穿过球上的小孔。
2.把细线上端固定在铁架台的铁夹上,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自然下垂,在单摆平衡位置处做上标记。
3.用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm),用游标卡尺测出小球的直径d(准确到mm),然后计算出悬点到球心的距离l=　　　　,即为摆长。
4.把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(不超过5°),然后放开小球让它摆动,用停表测出单摆完成30~50次全振动的时间,计算出平均完成一次全振动的时间,即为单摆的　　　　　。
5.改变　　　　,重做几次实验。
三、数据处理
1.公式法:将相应的l和T代入公式 g=　　　　　　　　中求出g值,通过改变摆长,求得重力加速度g的平均值。
2.图像法
由单摆周期公式T=2π,可得l=T2,以摆长l为纵坐标,以T2为横坐标作出的lT2图像是一条过原点的直线,如图所示,其斜率k=　　　　　　,由图像斜率即可求得重力加速度g。
四、注意事项
1.实验所用的单摆应符合理论要求,即线要细且弹性要小,摆球用密度和质量较大的小球,并且要在摆角不超过5°的情况下进行实验。
2.要使单摆在竖直平面内振动,不能使其形成圆锥摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止
释放。
3.测量摆长时,摆长应为悬线长与摆球的半径之和。
4.测量单摆周期时,应从摆球通过平衡位置开始计时,并且采用倒数到0开始计时的方法,4、3、2、1、0、1、2、3、…在数“0”的同时按下停表开始计时计数。
5.要注意进行多次测量,并取平均值。
五、误差分析
1.系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求:
(1)悬点是否固定;
(2)小球与细线是否符合要求;
(3)是单摆运动还是圆锥摆运动等。
2.本实验偶然误差的主要来源
(1)振动时间t (单摆周期T=)的测量:是否从摆球通过平衡位置开始计时、是否多记或漏记全振动的次数、停表的读数是否准确等。
(2)长度的测量:测量摆线长、摆球的直径读数时的误差等。
考点一　基础性实验
[例1] 【实验原理与操作】 (2025·江苏扬州开学考试)某同学利用单摆测量当地的重力
加速度。
实验室提供了铁架台、夹子、停表、游标卡尺、长度约为1 m的细线和最小刻度为1 mm的刻度尺等器材。
(1)为了减小测量周期的误差,实验时需要在适当的位置做一标记,当摆球通过该标记时开始计时,该标记应该放置在摆球摆动的　　　　。
A.最高点　　B.最低点　　C.任意位置
(2)用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时,并记为n=1,单摆每经过标记记一次数,当数到n=120 时停表的示数如图甲所示,该单摆的周期是T=　　　　 s。(结果保留三位有效数字)
(3)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆线长,测量情况如图乙所示。O为悬挂点,从图乙中可知单摆的摆线长为99.00 cm;用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示,则摆球的直径为　　 cm;
单摆的摆长为　　　　 m。(第2空保留三位有效数字)
(4)若用L表示摆长,T表示周期,那么重力加速度的表达式为g=　　　　。
[例2] 【实验数据处理与误差分析】 (2023·河北卷,11)某实验小组利用如图甲所示的装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点,下端悬挂一小钢球,通过光电门传感器采集摆动周期。
(1)关于本实验,下列说法正确的是　　　　。(多选)
A.小钢球摆动平面应与光电门U形平面垂直
B.应在小钢球自然下垂时测量摆线长度
C.小钢球可以换成较轻的橡胶球
D.应无初速度、小摆角释放小钢球
(2)组装好装置,用毫米刻度尺测量摆线长度L,用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图乙所示,小钢球的直径d=　　　　 mm,记摆长l=L+。
(3)多次改变摆线长度,在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T,并作出lT2图像,如图丙所示。
根据图线斜率可计算重力加速度g=　　　　 m/s2(结果保留三位有效数字,π2取9.87)。
(4)若将摆线长度误认为摆长,仍用上述图像法处理数据,得到的重力加速度值将　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
考点二　创新性实验
[例3] 【实验原理的创新】 (2024·湖北卷,12)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案,所用器材有:2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。
具体步骤如下:
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上,弹簧下面挂上装有遮光片的托盘,在托盘内放入一个砝码,如图甲所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l,并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放,使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量,重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T=2π,其中k为弹簧的劲度系数,M为振子的质量。
(1)由步骤④,可知振动周期T=　　　　。
(2)设弹簧的原长为l0,则l与g、l0、T的关系式为l=　　　　。
(3)由实验数据作出的lT2图线如图乙所示,可得g=　　　　 m/s2(结果保留三位有效数字,π2取 9.87)。
(4)本实验的误差来源包括　　　　。(多选)
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
[例4] 【实验器材和数据处理的创新】 (2025·湖北黄冈期末)某实验小组采用如图甲装置开展“利用单摆测量重力加速度”实验。铁架台水平支架固定线光源及摆线,手机传感器位于摆线悬点正下方,当摆球摆动时,手机光线传感器接收光照强度随时间变化。
(1)如图乙,用螺旋测微器测出摆球的直径为　 　　　mm;用刻度尺测出摆线长度l,算出摆长L。
(2)拉动摆球使悬线偏离竖直方向一个较小角度(小于5°),将摆球由静止释放,同时启动光传感器,得到光照强度随时间变化的图像如图丙,根据图像判断单摆的周期T=　　　　(用t0表示)。
(3)测量多组摆长L及对应的周期T,作出lg Tlg L图像如图丁所示,图像斜率为k,在纵轴上的截距为b,通过理论分析可知k=　　　　,当地的重力加速度g=　　　　(用b和π表示)。
(4)由于操作失误,致使摆球不在同一竖直平面内运动,而是在一个水平面内做圆周运动,这时如果测出摆球做这种运动的周期,再用单摆的周期公式求出重力加速度,则求出的重力加速度与当地重力加速度相比　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
第3讲　实验:用单摆测量重力加速度
考点一
[例1] 【答案】 (1)B　(2)2.12　(3)2.07　1.00　(4)
【解析】 (1)当摆球运动至最低点时速度最大,以此作为计时标记位置,对时间的测量相对误差最小,故选B。
(2)停表读数为t=120 s+6.0 s=126.0 s,该单摆的周期为T==2.12 s。
(3)摆球的直径为D=20 mm+7×0.1 mm=20.7 mm=2.07 cm,摆线长为l=99.00 cm,所以单摆的摆长为L=l+=1.00 m。
(4)根据单摆周期公式有T=2π,可得g=。
[例2] 【答案】 (1)ABD　(2)20.035　(3)9.87
(4)不变
【解析】 (1)使用光电门测量时,光电门U形平面应与被测物体的运动方向垂直,A正确;测量摆线长度时,要保证绳子处于伸直状态,B正确;单摆是一个理想化模型,若采用质量较轻的橡胶球,空气阻力对摆球运动的影响较大,C错误;无初速度、小摆角释放的目的是保持摆球在竖直平面内运动,不形成圆锥摆,且单摆只有在摆角很小的情况下才可视为简谐运动,D正确。
(2)小钢球直径为d=20 mm+3.5×0.01 mm=20.035 mm。
(3)单摆周期公式T=2π,整理得l=T2,由图像知图线的斜率k== m/s2= m/s2,解得g=9.87 m/s2。
(4)由周期公式有T=2π,则L=-,若将摆线长度L误认为摆长l,即LT2图像中,图线斜率不变,仍用上述图像法处理数据得到的重力加速度值不变。
考点二
[例3] 【答案】 (1)　(2)l0+　(3)9.63　(4)AB
【解析】 (1)30次全振动所用时间为t,则振动周期
T=。
(2)由弹簧振子的振动周期T=2π,可得振子的质量M=,振子平衡时,根据平衡条件有Mg=kΔl,可得Δl=,则l与g、l0、T的关系式为l=l0+Δl=l0+。
(3)根据l=l0+整理可得l=l0+·T2,则lT2图像斜率k== m/s2=0.244 m/s2,解得g=9.63 m/s2。
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动,即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子,而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子,从而测出重力加速度的,所以空气阻力是本实验的一个误差来源,A正确;第(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量,但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上物体的总质量之和,所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源,B正确;由于数字计时器记录的是30次全振动的时间,所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可,即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源,C错误。
[例4] 【答案】 (1)13.870　(2)4t0　(3)　
(4)偏大
【解析】 (1)由题图乙知螺旋测微器测出摆球的直径为
13.5 mm+37.0×0.01 mm=13.870 mm。
(2)根据题图丙判断单摆的周期T=4t0。
(3)根据单摆的周期公式T=2π,变形可得lg T=lg L+lg ,故图像斜率k=,截距b=lg ,解得g=。
(4)假设圆锥摆的顶角为θ,半径为r,悬挂点到圆心的竖直高度为h,根据动力学方程m()2r=mgtan θ,解得g=h,而根据单摆周期公式T=2π,解得g=L,由于L>h,故重力加速度g的测量值大于真实值。第1讲　机械振动
【学习目标】
1.理解简谐运动的动力学特征与运动学规律,掌握振幅、周期、频率等物理量的物理意义。
2.能够通过图像法和公式法分析简谐运动,建立单摆、弹簧振子等理想模型,培养用数学工具描述物理规律的能力。
3.通过实验探究单摆周期与摆长的关系,或弹簧振子周期与质量的关系,学会控制变量、数据处理及误差分析的方法。
4.结合地震监测、摆钟设计等实际应用,认识机械振动理论在生产与生活中的重要价值,培养理论联系实际的意识。
[footnoteRef:0] [0:
1.如图所示,弹簧振子在B、C间做简谐运动,O为平衡位置,BO=OC=5 cm,若振子从B第一次运动到O的时间是0.5 s,则下列说法正确的是(　　)
A.振幅是10 cm
B.振动周期是1 s
C.经过一次全振动,振子通过的路程是10 cm
D.从B开始经过3 s,振子通过的路程是30 cm
2.如图所示为某弹簧振子振动的xt图像,已知该图像为正弦函数图像,下列描述正确的是(　　)
A.该振子的周期为2 s
B.在1.5~2 s内,振子的加速度不断增大
C.在3.5 s时,振子的速度沿x轴负方向,加速度也沿x轴负方向
D.在3.5~5.5 s内,振子通过的路程为5(1+) cm]
考点一　简谐运动的基本特征
简谐运动的五个特征
受力特点 回复力F=-kx,F(或a)的大小与x的大小成正比,方向相反
运动特点 衡位置时,a、F、x都减小,v增大;远离平衡位置时,a、F、x都增大,v减小
能量特征 振幅越大,能量越大。在运动过程中,动能和势能相互转化,系统的机械能守恒
周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为
对称性 (1)如图所示,做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP=OP′)时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等。 (2)物体由P到O所用时间等于由O到P′所用时间,即tPO=。 (3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO。 (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻,物体位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反
[例1] 【简谐运动基本物理量的分析】 如图所示,一质点做简谐运动,O点为其平衡位置。
(1)质点由M点到O点的运动过程中,质点的速度　　　　,加速度　　　　,机械能　　　　。(均选填“增大”“减小”或“不变”)
(2)质点先后以相同的速度依次通过M、N两点,历时1 s,质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点,在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为　　　　。
A.3 s、6 cm B.4 s、6 cm
C.4 s、9 cm D.2 s、8 cm
(3)质点动能变化的周期是　　　　 s。
[例2] 【回复力的应用】 (多选)(2025·甘肃卷,8)如图,轻质弹簧上端固定,下端悬挂质量为2m的小球A,质量为m的小球B与A用细线相连,整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k,重力加速度为g。现剪断细线,下列说法正确的是(　　)
A.小球A运动到弹簧原长处的速度最大
B.剪断细线的瞬间,小球A的加速度大小为
C.小球A运动到最高点时,弹簧的伸长量为
D.小球A运动到最低点时,弹簧的伸长量为
考点二　简谐运动的图像和表达式
1.从振动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向。
曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向,速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向。
回复力总是指向平衡位置,回复力的方向和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动表达式的书写
(1)从振动图像中找出振幅A和周期T,ω=。
(2)根据t=0时的位移求出初相φ,即x0=Asin φ。
(3)把A、ω、φ代入表达式x=Asin(ωt+φ)即可(若图像为余弦函数图像或其他形式,也可以用该方法求得,只不过φ不相同)。
[例3] 【对简谐运动图像的认识】 (2024·福建卷,2)如图甲,装有砂粒的试管竖直静浮于水中,将其提起一小段距离后释放,一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,试管振动图像如图乙所示,则试管(　　)
A.振幅为2.0 cm
B.振动频率为2.5 Hz
C.在t=0.1 s时速度为零
D.在t=0.2 s时加速度方向竖直向下
[例4] 【对简谐运动表达式的理解】 (2025·湖北宜昌模拟)某弹簧振子的振动方程x=2sin (πt+) cm,关于该振子的运动,下列说法正确的是(　　)
A.振子在0.5 s和1.5 s时速度相同
B.振子动能变化的周期为2 s
C.t=1 s时振子的加速度最大
D.振子从x1=1 cm处运动到x2=-1 cm处的最短时间为 s
考点三　单摆及其周期公式
1.单摆的受力特征
(1)回复力:摆球所受重力沿与摆线垂直方向的分力,F回=mgsin θ=-x=-kx,负号表示回复力F回与位移x的方向相反,故单摆做简谐运动。
(2)向心力:摆线的拉力和摆球所受重力沿摆线方向分力的合力充当向心力,FT-mgcos θ=m。
(3)两个特殊位置。
①当摆球在最高点时,Fn=m=0,FT=mgcos θ。
②当摆球在最低点时,Fn=m,Fn最大,FT=mg+m。
2.单摆周期公式
公式 T=2π
等效 摆长l 摆球在垂直于纸面方向小角度摆动,等效摆长为l0sin α
摆球在垂直于纸面方向小角度摆动,等效摆长为l0sin α+l0
等效 重力 加速度 g效=gsin θ
g效=
g等效=g
3.类单摆问题
构成 (1)光滑球形曲面AOB; (2)小球m
要求 (1)球形曲面光滑; (2)小球直径远小于球形曲面半径R; (3)小球在小范围AOB内做往复运动
[例5] 【单摆周期公式的应用】 (2025·四川卷,5)如图所示,甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上,从左至右摆长依次增加,小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直于纸面向外拉起一小角度,由静止同时释放,释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时,小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点,同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则(　　)
A.小球甲第一次回到释放位置时,小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时,小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
[例6] 【单摆振动图像的应用】 (多选)(2025·云南昆明期中)一单摆如图甲所示,M、N为单摆偏移的最大位置,O点为最低点,该单摆的振动图像如图乙所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向,重力加速度g取10 m/s2,取π2=10,下列说法正确的是(　　)
A.该单摆的摆长为1 m
B.t=1 s时,摆球的加速度为零
C.从t1=0.5 s到t2=1.5 s时间内单摆的回复力先减小后增大
D.t=1.25 s时,摆球的速度方向与位移方向相反
[例7] 【类单摆问题】 (2024·浙江6月选考卷,9)如图所示,不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球,两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上,间距为1.5 m。小球平衡时,A端细线与杆垂直;当小球受到垂直于纸面方向的扰动做微小摆动时,等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆,重力加速度g取10 m/s2,则(　　)
A.摆角变小,周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时,A端拉力为 N
D.小球平衡时,A端拉力小于B端拉力
考点四　受迫振动和共振
1.简谐运动、受迫振动和共振的比较
项目 简谐运动 受迫振动 共振
是否受 驱动力 不受 驱动力 受驱动力 作用 受驱动力 作用
振动周期 或频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱 T驱=T0 或f驱=f0
振动 能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见 例子 弹簧振子 或单摆 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线。
如图所示,横坐标为驱动力的频率f,纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响。由图可知,f与f0越接近,振幅A越大;当f=f0时,振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化。
做受迫振动的系统的机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换。
[例8] 【对受迫振动的理解】 (2025·广东江门期末)飞力士棒是物理治疗师发明的一种物理康复器材。标准型飞力士棒中间的握柄和两端负重头用一根PVC软杆连接,棒的固有频率为4.5 Hz,如图所示,可以使用双手对飞力士棒进行驱动,忽略空气阻力,下列关于飞力士棒的说法正确的是(　　)
A.使用者用力越大棒振动越快
B.若只将PVC杆增长,棒的固有频率不变
C.该棒振动的频率一定等于4.5 Hz,与驱动力的频率无关
D.随着手振动的频率越接近固有频率,棒振动的幅度一定变大
[例9] 【对共振曲线的理解】 (2025·广西南宁模拟)如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系),下列说法正确的是(　　)
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.若摆长变小,共振曲线的峰将左移
C.若保持摆长不变,将该单摆移至月球表面上做受迫振动,则共振曲线的峰将左移
D.此单摆的摆长约为3 m
第1讲　机械振动
考点一
[例1] 【答案】 (1)增大　减小　不变　(2)B　(3)2
【解析】 (1)质点由M到O的过程中,速度增大,加速度减小,机械能不变。
(2)做简谐运动的质点,先后以相同的速度通过M、N两点,则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称,所以质点由M到O的时间与由O到N的时间相等,那么从平衡位置O到N点的时间t1=0.5 s;因过N点后再经过t=1 s,质点以方向相反、大小相等的速度再次通过N点,则从N点到右侧最大位移处的时间t2=0.5 s,因此,质点振动的周期T=4(t1+t2)=4 s。这2 s内质点通过的总路程的一半,即为振幅,所以振幅A==6 cm,故选B。
(3)动能是标量,由简谐运动的对称性知,变化周期为=2 s。
[例2] BC　
考点二
[例3] B　[例4] D　
考点三
[例5] C　[例6]AC　[例7] B　
考点四
[例8] D　[例9] C　

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