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第5讲　小专题:带电粒子在交变电场中的运动
【学习目标】
1.理解交变电场的基本特性;熟练掌握牛顿第二定律在其中的应用和匀变速直线运动、类平抛运动的处理方法。
2.能够根据交变电场的变化周期,将粒子的运动过程划分为多个连续的时间片段;具备“化变为恒”的思想,将复杂的变加速运动转化为多个匀变速运动的组合;掌握临界状态与周期性
分析。
3.能够将实际问题抽象为“带电粒子在交变电场中运动”的物理模型。能够综合运用动力学、运动学知识和图像法,定性或定量地解决粒子在交变电场中的加速、偏转、往复运动等问题。
4.能根据已知条件,逻辑清晰地推导出粒子在不同时刻的运动状态;能根据题目描述,自主建立合适的运动模型并进行分析;能够分析改变哪些参数会如何影响最终的运动结果。
考点一　带电粒子在交变电场中的直线运动
1.常见的交变电场
常见的交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。
2.思维方法
从两条思路出发:一是力和运动的关系,根据牛顿第二定律及运动学规律分析;二是功能关系。
3.解题技巧
(1)按周期性分段研究。
(2) at图像 vt图像。
[例1] 【单向直线运动模型】 (2025·浙江一模)图甲为直线加速原理示意图,它由多个截面积相同的同轴金属圆筒依次组成,奇数序号与偶数序号圆筒分别与交变电源相连,交变电源两极间电压变化规律如图乙所示。在t=0时,奇数圆筒比偶数圆筒电势高,此时序号为0的金属圆板中央有一电子由静止开始在各狭缝间不断加速。若电子质量为m,电荷量为e,交流电源电压大小为U,周期为T。不考虑电子所受的重力和相对论效应,且忽略电子通过狭缝的时间。下列说法正确的是(　　)
A.金属圆筒1、2、3的长度之比为1∶2∶3
B.电子离开圆筒1时的速度为进入时速度的两倍
C.第n个圆筒的长度应满足L=T
D.进入第n个圆筒时电子的速率为
[例2] 【往返直线运动模型】 (多选)(2024·陕西西安阶段检测)接在平行板电容器A、B两极板(如图甲所示)的电压随时间变化关系图像如图乙所示,两板间距足够大,一质量为m、带电量为+q的粒子(不计所受重力),开始时静止在两极板中央,从某时刻由静止释放,关于带电粒子的运动,下列描述正确的是(　　)
A.若从0时刻由静止释放,粒子一直向右运动
B.若从0时刻由静止释放,粒子先向右后向左做往复性的运动
C.若从T时刻由静止释放,粒子时而向右,时而向左,每个周期都会向左移动一定距离
D.若从T时刻由静止释放,粒子时而向左,时而向右,每个周期都会向右移动一定距离
作速度—时间图像时的注意点
(1)带电粒子进入电场的时刻。
(2)速度—时间图像的斜率表示加速度,因此加速度相同的运动图像一定是平行的直线。
(3)图线与时间轴围成的“面积”表示位移,且在横轴上方所围成的“面积”为正,在横轴下方所围成的“面积”为负。
(4)注意对称性和周期性变化关系的应用。
(5)图线与横轴有交点,表示此时速度为零;对于运动很复杂,不容易画出速度—时间图像的问题,还应逐段分析求解。
考点二　带电粒子在交变电场中的偏转
1.当粒子垂直于交变电场(通常只讨论电压大小不变、方向周期性变化的情形)方向射入时,沿初速度方向的分运动为匀速直线运动,沿电场方向的分运动具有周期性。
2.研究带电粒子在交变电场中的运动,关键是根据电场变化的特点,利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况,分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。
3.注重全面分析(分析受力特点和运动规律):抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性,求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。
4.对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场,若粒子穿过板间的时间极短,带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。
[例3] 【偏转运动的分析与计算】 (2025·湖南三模)如图甲所示,真空中的电极能连续不断均匀地放出初速度为零、质量为m、电荷量为q的粒子,经加速电场加速后由小孔穿出,沿两个彼此绝缘且靠近的水平金属板A、B间的中线平行于极板射入偏转电场,A、B两板距离为d,A、B板长为L,A、B两板间加有周期性的变化电场,UABt图像如图乙所示,已知U0=,能从偏转电场板间飞出的粒子在偏转电场中运动的时间也为T。忽略极板边缘处电场的影响,不计粒子所受的重力以及粒子之间的相互作用,粒子打到极板上后立即消失。
(1)求加速电场中的U1。
(2)若t=时刻粒子进入偏转电场两极板之间,粒子能否飞出极板 如果能,那么粒子的偏移量y是多少 如果不能,那么粒子在偏转电场里平行于极板方向的位移x是多少
(3)若发射时间足够长,则能够从两极板间飞出的粒子占总入射粒子数的百分率是多少
[例4] 【偏转运动中的临界极值问题】 (2025·重庆模拟)如图甲所示,真空中的电极K连续不断地发出电子(电子初速度忽略不计),经恒压电场U1加速后,从小孔S穿出,沿两水平正对的平行金属板A、B间的中轴线射入板间电场。已知A、B板长均为L1,板间距为d,两板右边缘到竖直固定的荧光屏(面积足够大)的距离为L2,荧光屏中心O与A、B间中轴线在同一水平线上。t=0时刻,A板电势高于B板电势,板间电压U随时间t变化的关系如图乙所示(其中T已知),电子穿过A、B两板间过程中板间电压视为不变。忽略电子间的相互作用。
(1)要使电子均能从A、B两板间射出,求U2的最大值;
(2)当U2取(1)中最大值时,求荧光屏上的光斑在屏上运动的速度大小。
第5讲　小专题:带电粒子
在交变电场中的运动
考点一
[例1] D　[例2] AC　
考点二
[例3] 【答案】 (1)　(2)不能　L　(3)50%
【解析】 (1)粒子通过加速电场,根据动能定理有
qU1=m,
粒子通过偏转电场,沿A、B中线方向做匀速运动,则有
L=v0T,
联立解得v0=,U1=。
(2)t=时刻进入偏转电场的粒子,在~T时间内做类平抛运动,有
q=ma,y1=a()2,
代入U0=,
解得a=,y1=,
因y1<,粒子在t=T时还未打到极板上,此时
vy=a·=,
假设粒子能飞出极板,粒子在T~时间内做匀速直线运动,则y2=vy·,解得y2=,
粒子总的偏移量为y=y1+y2=d>,
即粒子不能飞出极板。
设粒子在t1时刻打到极板上,则有
=y1+vy(t1-T),
又x=v0(t1-),解得x=L。
(3)设粒子在时刻t∈[0,]进入偏转电场,则粒子运动时间T后的偏移量y=a()2+vyt,
当y=时,解得t=,设粒子在时刻t∈[,T]进入偏转电场,粒子运动时间T后的偏移量
y=a()2+a(T-t),
当y=时,解得t=T,
所以在一个周期内,当0≤t<和T[例4] 【答案】 (1)U1　(2)
【解析】 (1)设电子质量为m、电荷量为e,从小孔S穿出时的速度大小为v0,在加速电场中,由
eU1=m,
解得v0=,
电子在A、B两板间运动的时间t1=,
当U=U2时,在竖直方向上偏转的最大距离
Δy=·,
要使电子均能从A、B两板间射出,应满足Δy≤,
联立解得U2≤U1,即U2max=U1。
(2)当U2=U1时,电子恰好从A、B两板右边缘射出,在竖直方向的速度大小vy=t1,
电子从A、B两板右边缘运动到荧光屏的时间
t2=,
则电子打在荧光屏上时,到荧光屏中心O的最远距离
ymax=+vyt2,
荧光屏上的光斑在屏上运动的速度大小
v=,
联立解得v=。第7讲　实验:观察电容器的充、放电现象
【学习目标】
1.能根据实验电路图,独立、正确地连接充、放电实验电路;能成功进行电容器的充电和放电操作;能定性观察并准确描述充、放电过程中,回路电流和电容器两端电压随时间变化的趋势。
2.学会用控制变量法设计简单实验,探究充、放电快慢;能够设计表格,系统记录不同时刻的电流、电压值;能够根据记录的数据,手绘或使用软件绘制出充、放电过程的it和ut曲线草图;能通过图像对比充、放电过程的异同点。
3.提高物理实验的严谨性,培养实事求是的科学态度和一丝不苟的作风;在观察新奇现象时,激发对电磁学世界的求知欲和探索精神;构建起对电容器工作的整体物理图景;利用图像法将抽象的指数变化规律可视化,从而更深刻地理解过程的变化特点。
一、实验目的
1.理解电容器的储能特性及其在电路中能量的转换规律。
2.了解电容器充、放电过程中,电路中的电流和电容器两端电压的变化规律,会计算电容器充、放电的电荷量。
二、实验过程
1.电容器的充电过程
如图所示,当开关S接1时,电容器接通电源,在电场力的作用下自由电子从正极板经过　　　　向负极板移动,正极板因失去电子而带正电,负极板因获得电子而带负电。正、负极板带　　　　的正、负电荷。电荷在移动的过程中形成电流。在充电开始时电流比较大,以后随着极板上电荷的增多,电流逐渐　　　　,当电容器两极板间电压等于电源电压时,电荷停止定向移动,电流I=0。
2.电容器的放电过程
如图所示,当开关S接2时,相当于将电容器的两极板直接用导线连接起来,电容器正、负极板上电荷发生中和。在电子移动过程中,形成电流。放电开始时电流较大,随着两极板上的电荷量　　　　,电路中的电流逐渐减小,两极板间的电压也逐渐减小到零。
3.电容器充、放电时的能量转化
充电后,电容器储存了　　　　。放电时,储存的电能释放出来,转化为其他形式的能。
三、数据处理
1.整个图像与坐标轴所围的面积的物理意义是整个充电或放电时间内通过电流表的电荷量。
2.估算电容器充电或放电过程中电荷量的方法是:先算出一个小方格代表的电荷量,然后数出整个图像与坐标轴所围的面积中的方格数(大于半个的按一个方格计算,小于半个的舍弃)。电容器充电或放电过程中电荷量为一个小方格代表的电荷量乘以方格数。
四、误差分析
1.电压表读数及电流表不够灵敏造成偶然误差。
2.充放电时间较短、记录现象不够准确出现偶然误差。
3.电容器电容较小和电源不稳定造成系统误差。
五、注意事项
1.电流表要选用小量程的灵敏电流计。
2.要选择大容量的电容器。
3.实验要在干燥的环境中进行。
4.在做放电实验时,在电路中串联一个电阻,以免烧坏电流表。
考点一　基础性实验
[例1] 【定性分析】 (2025·河南模拟)某同学设计了如图甲所示的电路来观察电容器的充放电过程。
(1)连接好电路后,将滑动变阻器的滑片调整至适当位置,闭合开关S,将单刀双掷开关S′掷于1端,此时电容器开始　　　　(选填“充”或“放”)电,观察到的实验现象是　　　　　　　　　,再将S′ 掷于2端,观察到的实验现象是　 　　　　　　　。
(2)其他条件不变,只换用容量更大的电容器来做实验,相比于(1)中实验,此次实验在放电过程中看到的现象是　 。
(3)其他条件不变,只把小灯泡换成电感器,闭合开关S,先将单刀双掷开关S′掷于1端,一段时间后,再将单刀双掷开关S′掷于2端,此时电容器和电感器构成一个LC振荡电路,当电感线圈中的磁感线和电容器中极板的带电情况分别如图乙所示时,电容器正处于　　　　(选填“充”或“放”)电状态,电路中的电流在　　　　(选填“增大”或“减小”)。
[例2] 【定量计算】 (2024·广西卷,12)某同学为探究电容器充、放电过程,设计了图甲实验电路。器材如下:电容器,电源E(电动势6 V,内阻不计),电阻R1=400.0 Ω,电阻R2=200.0 Ω,电流传感器,开关S1、S2,导线若干。实验步骤如下:
(1)断开S1、S2,将电流传感器正极与a节点相连,其数据采样频率为5 000 Hz,则采样周期为
　　　　 s。
(2)闭合S1,电容器开始充电,直至充电结束,得到充电过程的It曲线如图乙,由图乙可知开关S1闭合瞬间流经电阻R1的电流为　　　 mA(结果保留三位有效数字)。
(3)保持S1闭合,再闭合S2,电容器开始放电,直至放电结束,则放电结束后电容器两极板间电压为　　　　 V。
(4)实验得到放电过程的It曲线如图丙,It 曲线与坐标轴所围面积对应电容器释放的电荷量为0.018 8 C,则电容器的电容C为　　　　μF。图丙中It曲线与横坐标、直线t=1 s所围面积对应电容器释放的电荷量为0.003 8 C,则t=1 s时电容器两极板间电压为　　　　 V(结果保留两位有效数字)。
[例3] 【误差分析】 (2025·北京西城期末)把直流电源、电阻、电容器、电流表、电压表以及单刀双掷开关组装成如图甲所示的电路进行实验,观察电容器充、放电过程。
(1)先将开关S接1,观察到电流表示数　　　　。
A.逐渐增大到某一值后保持不变
B.逐渐增大到某一值后迅速减小
C.迅速增大到某一值后保持不变
D.迅速增大到某一值后逐渐减小
(2)待电压表示数稳定后,将开关S接2,通过电流传感器(图中未画出)得到电流随时间变化的图线如图乙所示。则放电过程中通过R的电荷量Q1=　　　　 C(结果保留两位有效数字)。
(3)该同学在分析数据时,用电容器的电容与充电后电压表稳定示数的乘积求出电荷量Q2,他发现Q1与Q2有明显差异。多次重复实验发现这种差异总是存在。请判断Q1　　　　(选填“>”或“<”)Q2,产生这一差异是由于　　　　(选填“电流表”“电压表”或“电阻”)的影响。
考点二　创新性实验
[例4] 【实验情境的创新】 (2023·山东卷,14)电容储能已经在电动汽车,风、光发电、脉冲电源等方面得到广泛应用。某同学设计图甲所示电路,探究不同电压下电容器的充、放电过程,器材如下:
电容器C(额定电压10 V,电容标识不清);
电源E(电动势12 V,内阻不计);
电阻箱R1(阻值0~99 999.9 Ω);
滑动变阻器R2(最大阻值20 Ω,额定电流2 A);
电压表V(量程15 V,内阻很大);
发光二极管D1、D2,开关S1、S2,电流传感器,计算机,导线若干。
回答以下问题:
(1)按照图甲连接电路,闭合开关S1,若要升高电容器充电电压,滑动变阻器滑片应向　　　　(选填“a”或“b”)端滑动。
(2)调节滑动变阻器滑片位置,电压表表盘如图乙所示,示数为　　　　 V(结果保留一位小数)。
(3)继续调节滑动变阻器滑片位置,电压表示数为8.0 V时,开关S2掷向1,得到电容器充电过程的It图像,如图丙所示。借鉴“用油膜法估测油酸分子的大小”实验中估算油膜面积的方法,根据图像可估算出充电结束后,电容器存储的电荷量为　　　　C(结果保留两位有效数字)。
(4)本电路中所使用电容器的电容约为　　　　F(结果保留两位有效数字)。
(5)电容器充电后,将开关S2掷向2,发光二极管　　　(选填“D1”或“D2”)闪光。
[例5] 【实验方法的创新】 (2025·宁夏吴忠二模)用如图甲所示电路观察电容器的充放电现象,所用器材如下:电源(E=4 V,内阻不计)、电容器C,两个完全相同的电压传感器(内阻无穷大)、计算机、定值电阻R=4 kΩ、单刀双掷开关、导线若干,将实验器材按下图正确连接。
(1)将单刀双掷开关连接1,经过足够长的时间,通过电压传感器1传入计算机画出的Ut曲线如图乙中的曲线①,则通过电压传感器2传入计算机的Ut曲线正确的是　　　　(填曲线对应标号)。
(2)将单刀双掷开关连接2,通过电压传感器2传入计算机画出的Ut曲线如图乙中的曲线
　　　　(填曲线对应标号),该过程为电容器　　　　(选填“充电”或“放电”),根据图像可估算,电容器储存的电荷量为　　　　C(结果保留两位有效数字)。
(3)若将电路中的定值电阻换成一阻值更大的电阻,先将单刀双掷开关连接1,经过足够长的时间,然后将单刀双掷开关连接2,通过电压传感器1在图乙中画出一条新的Ut曲线,新曲线与(2)中通过电压传感器2传入计算机画出的Ut曲线对比,与坐标轴围成的面积　　　　(选填“更大”“更小”或“相等”)。
[例6] 【实验目的的创新】 (2025·重庆模拟)某兴趣小组欲探究电容器放电过程中电荷量与电压的关系。实验电路如图甲所示,电源电动势E=3 V,定值电阻R=800 Ω。先将开关S拨至1,稳定后再将S拨至2,用计算机(电路中未画出)得到通过电流表的放电电流I随时间t的图像如图乙所示。
(1)结合图乙可以求出电流表内阻r=　　　　 Ω(结果保留至小数点后一位)。
(2)若某时刻t时电流为i,将该实验测得的放电曲线围成的面积按照图丙所示方式分成两块,面积分别为S1和S2,则t时刻电容器的电压U=　　　　,电荷量Q=　　　　(用题中所给字母表示)。
(3)结合图乙,t=1.6 s时表格中缺失的数据为U=　　　　 V,Q=　　　　×10-3 C(以上两空结果保留至小数点后两位),在图丁中标出缺失的数据点并画出Q与U的关系图线,由此可得出的实验结论是　 。
时刻t/s 电荷量 Q/(10-3 C) 电压U/V
0 3.60 3.00
0.4 2.52 2.12
0.8 1.76 1.50
1.2 1.24 1.06
1.6
2.0 0.60 0.53
2.4 0.40 0.38
2.8 0.24 0.27
第7讲　实验:观察电容器的充、放电现象
考点一
[例1] 【答案】 (1)充　小灯泡闪亮一下后熄灭　小灯泡闪亮一下后熄灭　(2)小灯泡闪亮持续时间较长　(3)放　增大
【解析】 (1)闭合开关S,将单刀双掷开关S′掷于1端,此时电容器开始充电,由于电容器上的电荷越来越多,电容器两极板间的电压越来越大,电路中的电流越来越小,最后为零,所以观察到的实验现象是小灯泡闪亮一下后熄灭。将单刀双掷开关S′掷于2端,此时电容器开始放电,电容器相当于电源,电容器带的电荷量越来越少,两极板间的电压越来越小,所以观察到的实验现象是小灯泡闪亮一下后熄灭。
(2)其他条件不变,只换用电容量更大的电容器来做实验,相比于(1)中实验,电容器两极板间的电压不变,电容器的带电荷量增多,则在放电过程中的时间更长,小灯泡闪亮持续时间较长。
(3)根据右手定则可知,电容器正处于放电状态,电路中的电流在增大。
[例2] 【答案】 (1)2.0×10-4　(2)15.0　(3)2
(4)4.7×103　5.2
【解析】 (1)采样周期为T==2.0×10-4 s。
(2)由题图乙可知开关S1闭合瞬间流经电阻R1的电流为15.0 mA。
(3)放电结束后电容器两极板间电压等于R2两端电压,根据闭合电路欧姆定律得电容器两极板间电压为UC=·R2=2 V。
(4)充电结束后电容器两端电压为UC′=E=6 V,故可得放电过程释放的电荷量ΔQ=C(UC′-UC)=
0.018 8 C,解得C=4.7×103 μF。设t=1 s 时电容器两极板间电压为UC″,则C(UC′-UC″)=
0.003 8 C,解得UC″=5.2 V。
[例3] 【答案】 (1)D　(2)2.6×10-3　(3)<　电压表
【解析】 (1)先将开关S接1,电源给电容器充电,电路中存在充电电流,且随着电荷量的增多,充电电流逐渐减小为零,所以观察到电流表示数是迅速增大到某一值后逐渐减小。D正确。
(2)It图像与坐标轴所围面积表示电荷量,则利用图线与t轴所围小方格数可得到通过电阻R的电荷量为Q1=1×0.04×10-3×65 C=2.6×10-3 C。
(3)因为电压表的存在,所以在放电时总有一部分电荷经过电压表放电,电容器所带电荷量不能全部经过电阻R,所以Q1考点二
[例4] 【答案】 (1)b　(2)6.5　(3)3.9×10-3　
(4)4.9×10-4　(5)D1
【解析】 (1)滑动变阻器采用分压式接法,故滑片向b端滑动电容器充电电压升高。
(2)由题图乙可知,电压表量程为15 V,每个小格为 0.5 V,故示数为6.5 V。
(3)It图像与坐标轴所围的面积表示电容器存储的电荷量,由题图丙可知,总共39个小格,故电容器存储的电荷量为3.9×10-3 C。
(4)由电容的定义式C=,得C=4.9×10-4 F。
(5)由题图甲可知,电容器充电后,左极板带正电,将开关S2掷向2,电容器放电,D1导通,则发光二极管D1闪光。
[例5] 【答案】 (1)②　(2)③　放电　1.5×10-3　(3)更大
【解析】 (1)将单刀双掷开关连接1,电容器充电,闭合瞬间电流最大,定值电阻两端电压等于电源电动势,之后电流减小,定值电阻两端电压也变小。电容器上端为正,下端为负,充电时流过电阻的电流也是由上向下,所以电容器和定值电阻两端电压都是上高下低,故通过电压传感器2传入计算机的Ut曲线是②。
(2)单刀双掷开关连接2,电容器开始放电,初始时电流最大,定值电阻两端的电压也最大,此时通过电阻的电流由下向上,电阻两端电压下高上低。所以通过电压传感器2传入计算机画出的Ut曲线是③。曲线③与坐标轴围成的格子总数为29,面积的含义是放电时通过电阻的电荷量与电阻的乘积。每个小格的横纵坐标分别为0.5 s、0.4 V。所以电容器储存的电荷量为Q= C=1.5×10-3 C。
(3)若将电路中的电阻换成一阻值更大的电阻,电容器放电时释放的电荷量不变,It曲线与坐标轴围成面积不变,Ut 曲线与坐标轴围成的面积会变大。
[例6] 【答案】 (1)137.5　(2)i(R+r)　S2　(3)0.75　0.76
图见解析　同一电容器在放电过程中电荷量与电压成正比
【解析】 (1)充满电时电容器电压为3 V,放电开始瞬间由题图乙知电流为3.2 mA,根据闭合电路欧姆定律有E=I0(R+r),代入数据解得R+r== Ω=937.5 Ω,故r=137.5 Ω。
(2)题图丙中t时刻电容器两极板间电压等于外部放电电路中电阻两端的电压U=i(R+r),而It 图像中图线与坐标轴围成的面积即为电荷量的大小,从t到放电结束那部分面积S2就是电容器尚未释放的电荷量,即电容器在时刻t的电荷量。
(3)题图乙中t=1.6 s时电流为I=0.8 mA,由欧姆定律可得电压U=I(R+r)=0.8×10-3×937.5 V=
0.75 V,题图乙中1.6 s后到电流为零的过程中It图像的面积Q=S=19×0.2×10-3×0.2 C=
0.76×10-3 C,描点作图如下,
由于图像是一条通过原点的直线,故可得出同一电容器在放电过程中电荷量与电压成正比。第3讲　小专题:电场中的功能关系和图像问题
【学习目标】
1.掌握静电力做功的特点。熟练运用电场力做功公式;理解电势能的变化与电场力做功的关系;掌握动能定理在电场中的应用。
2.掌握电场中的能量守恒。分析带电粒子在电场中运动时的机械能守恒条件;能够结合重力场、电场等多力场问题,分析能量转化关系。
3.知道φx图像斜率表示电场强度;能计算Ex图像中两点间的电势差,能判断电场力的变化及粒子运动情况;理解Epx图像中斜率表示电场力;能根据有关的物理规律分析其他图像
问题。
4.解决带电粒子在电场中的运动问题。结合vt、Ft、ax等图像,分析粒子的加速、减速、往复运动等;能够利用图像计算电场力做功、动能变化、电势能变化等。
5.综合应用与问题建模。能将实际问题转化为物理模型;能够结合功能关系和图像分析复杂电场问题。
考点一　电场中的功能关系
1.常见的功能关系
(1)合外力做功等于动能的变化量,即W合=Ek2-Ek1=ΔEk(动能定理)。
(2)重力做功等于物体重力势能的减少量,即WG=EpG1-EpG2=-ΔEpG。
(3)静电力做功等于电势能的减少量,即W电=Ep电1-Ep电2=-ΔEp电。
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量,即W弹=Ep弹1-Ep弹2=-ΔEp弹。
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化,即W其他力=E机2-E机1=
ΔE机。
2.电场中常见的能量关系
(1)若只有电场力做功,则动能和电势能之间相互转化,二者之和保持不变,即ΔEk=-ΔEp。
(2)若只有电场力和重力做功,则机械能和电势能之间相互转化,电势能、重力势能、动能之和保持不变。
注意:动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来;能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。
[例1] 【仅在静电力作用下的功能关系】 (多选)(2025·安徽合肥三模)已知:①取无穷远处的电势为零时,点电荷的电势φ=k,其中k为静电力常量,Q为点电荷的电荷量,r为电场中某点到点电荷的距离;②在多个点电荷形成的电场中,任一点的电势等于每个点电荷单独存在时在该点产生电势的代数和。如图所示,边长为L的等边三角形的三个顶点分别固定点电荷A、B、C,三个点电荷的电荷量大小均为Q,其中A带负电,B、C带正电。D为B、C连线的中点,O为三角形的中心,取无穷远处的电势为零,下列说法正确的是(　　)
A.O点的电势为
B.O点的电场强度小于D点的电场强度
C.一带正电的试探电荷从O点移到D点电势能减小
D.点电荷C受到的电场力方向平行于AB的连线
[例2] 【重力和静电力作用下的功能关系】 (2025·黑龙江大庆模拟)如图所示,BD是竖直平面内圆的一条竖直直径,AC是该圆的另一条直径,该圆处于匀强电场中,电场强度方向平行于圆所在平面。若从O点向各个方向发射动能、电荷量、质量均相同的带正电小球,小球会经过圆周上不同的点,其中过A点的小球动能最小。忽略空气阻力和小球之间的作用力,则下列说法正确的是(　　)
A.过D点的小球动能和电势能之和最小
B.过B点的小球动能和电势能之和最大
C.过C点的小球电势能和重力势能之和最小
D.可以断定电场方向由O点指向圆弧CND上的某一点
[例3] 【重力、弹力和静电力作用下的功能关系】 如图所示,在空间中存在竖直向上的匀强电场,质量为m、电荷量为+q的物块从A点由静止开始下落,加速度大小为g,下落高度H到B点后与一轻弹簧接触,又下落2H后到达最低点C,整个过程中不计空气阻力,且弹簧始终在弹性限度内,重力加速度为g,则带电物块在由A点运动到C点过程中,下列说法正确的是(　　)
A.该匀强电场的电场强度大小为
B.带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为mgH
C.带电物块电势能的增加量为3mgH
D.弹簧的弹性势能的增加量为mgH
[变式] 在[例3] 中弹簧的劲度系数是多少 物块下落过程中的最大速度是多少
考点二　静电场中的图像问题
1.φx图像(电场方向与x轴平行)
(1)电场强度的大小等于φx图线的切线斜率的绝对值,如果图线是曲线,电场为非匀强电场;如果图线是倾斜的直线,电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。
(2)在φx图像中可以直接判断各点电势的高低,并可根据电势的高低确定电场强度的方向,进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图)
2.Ex图像(电场方向与x轴平行)
(1)Ex图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系,若规定x轴正方向为电场强度E的正方向,则E>0时,电场强度E沿x轴正方向;E<0时,电场强度E沿x轴负方向。
(2)Ex图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示),两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中,可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
3.Epx图像、Ekx图像
(1)Epx图像。
由静电力做功与电势能变化关系F电x=Ep1-Ep2=-ΔEp知Epx图像的切线斜率k=,其绝对值等于静电力大小,正负代表静电力的方向。
(2)Ekx图像。
当只有静电力对带电体做功时,由动能定理F电x=Ek-Ek0=ΔEk知Ekx图像的切线斜率k=,斜率表示静电力。
[例4] 【φx图像】 (2025·海南卷,6)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示,图线关于φ轴对称,M、P、N是x轴上的三点,OM=ON,有一电子从M点由静止释放,仅受x方向的电场力作用,则下列说法正确的是(　　)
A.P点电场强度方向沿x轴负方向
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.电子在P点的动能小于在N点的动能
D.电子在M点的电势能大于在P点的电势能
[例5] 【Ex图像】 (多选)(2025·辽宁锦州一模)某电场中,x轴上各点电场强度E随位置x的变化规律如图所示,x轴正方向是电场的正方向,一电子从-x0处以v0沿x轴正方向射入,仅受电场力作用。下列说法正确的是(　　)
A.电子能越过x0处
B.0.5x0处电势最高
C.-x0处的电势比O点高
D.电子在O点处电势能小于0.5x0处的电势能
[例6] 【Epx图像】 (2025·山东模拟)如图甲所示,真空中有两点电荷q1、q2分别固定在x轴上的 x=-5 m和x=-1 m处,将一正试探电荷q置于x轴上,q的电势能随位置的变化关系部分图像如图乙所示,规定无穷远处电势为零,点电荷周围某点电势公式φ=k,其中k为静电力常量,Q为点电荷的电荷量,r为该点到点电荷的距离。下列说法正确的是(　　)
A.q1、q2为同种电荷
B.q1、q2的电荷量之比q1∶q2=4∶1
C.x=-3 m处的电势低于x=0处的电势
D.除无限远处,x轴上电场强度为零的点只有一个
[例7] 【Ekx图像】 (多选)(2025·江西阶段练习)如图甲所示,光滑绝缘水平地面上以水平向右为正方向建立Ox轴,O点右侧两竖直虚线中间区域存在平行x轴方向的电场,电势φ随x位置的变化情况如图乙所示。一带电物块以某一初速度向右由O点进入电场区域,物块仅在电场力作用下通过该电场区域。则该区域中物块的动能Ek随x位置变化的图像可能正确的是(　　)
A B
C D
第3讲　小专题:电场中的功能关系
和图像问题
考点一
[例1] AD　[例2] C　[例3] D　
[变式] 【答案】 　
【解析】 物块从A点下落到C点的过程中,克服弹簧弹力做功W弹=·2H=k(2H)2,
A到C过程由动能定理得
mg·3H-qE·3H-k(2H)2=0,
解得k=。
物块下落过程中加速度a=0时,速度最大,设物块速度最大时弹簧的压缩量为x,对物块速度最大时进行受力分析可得mg=qE+kx,
解得x=H;
对物块由A位置下落至速度最大位置过程由动能定理得
mg·H-k(H)2-qE·H=m,
解得vm=。
考点二
[例4] D　[例5] AD　[例6] D　[例7] BD　第1讲　电场力的性质
【学习目标】
1.理解电荷间相互作用是通过电场实现的;掌握电场强度的定义式;认识电场是客观存在的特殊物质;理解电场线对电场的可视化描述;会计算点电荷、匀强电场等简单模型中电场力的合成与分解。
2.能建立点电荷、试探电荷等理想化模型分析电场问题;通过库仑定律和电场强度定义推导点电荷场强公式;运用矢量合成法解决多个点电荷的电场叠加问题;辨析“电场力”与“电场强度”的区别。
3.通过“探究影响电场力因素”实验学习控制变量法;分析电场力与距离、电荷量的关系,验证库仑定律;利用传感器或模拟软件绘制电场线分布图;探究实际情境中的电场力现象。
4.了解库仑定律的发现历程,体会实验在物理理论建立中的作用;讨论静电场在科技中的应用及其社会价值;认识高压电场中的安全防护知识,形成科学应用的责任意识;分析静电现象对环境的影响。
[footnoteRef:0] [0:
1.(2025·陕晋青宁卷,1)某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图,其中可能正确的是(　　)
A　 B
C　 　 D
2.(多选)(2025·河北卷,8)如图,真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B,带有等量同种电荷,电荷量为q,两者间距远大于小球直径,两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触,再跟B接触,移走C后,A和B之间的静电力大小仍为F,则Q∶q的绝对值可能是(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.5]
考点一　库仑定律及其应用
1.对库仑定律的理解
(1)库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
(2)若是两个均匀带电绝缘球:可将其视为电荷集中在球心的点电荷,r为球心间的距离。
(3)若是两个带电导体球:要考虑表面电荷的重新分布,如图所示。
①同种电荷:F②异种电荷:F>k。
2.三个自由点电荷的平衡
(1)条件:两个点电荷在第三个点电荷处的合电场强度为零,或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等,方向相反。
(2)规律。
“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上;
“两同夹异”——正负电荷相互间隔;
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小;
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
[例1] 【对库仑定律的理解】 关于库仑定律,下列说法正确的是(　　)
A.法国物理学家库仑利用扭秤实验探究电荷之间的相互作用规律而得到了库仑定律
B.库仑定律中,k称为静电力常量,其单位是 N·m2/C
C.库仑定律适用于真空中任意两个带电体间库仑力的计算
D.由库仑定律的表达式F=k可知,当r趋于零时,F趋于无限大
[例2] 【库仑力作用下的静态平衡问题】 (2025·湖南卷,5)如图,两带电小球的质量均为m,小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接,小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时,轻绳与竖直方向的夹角为60°,两球连线与轻绳的夹角为30°,整个系统在同一竖直平面内,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.A球静止时,轻绳上拉力为2mg
B.A球静止时,A球与B球间的库仑力为2mg
C.若将轻绳剪断,则剪断瞬间A球加速度大小为g
D.若将轻绳剪断,则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小
[例3] 【库仑力作用下的动态平衡问题】 (2025·安徽合肥阶段练习)如图所示,水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O,在定滑轮的正下方固定一带正电的点电荷C,不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止,OB⊥BC。若B球所带的电荷量缓慢减少(未减为零),在B球到达定滑轮O正下方之前,下列说法正确的是(　　)
A.A球的质量大于B球的质量
B.此过程中A球保持静止状态
C.此过程中点电荷对B球的库仑力逐渐增大
D.此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小
[例4] 【库仑力作用下的动力学问题】 (2025·湖北恩施期末)如图所示,光滑绝缘水平面上(俯视图)有三个可视为点电荷的带电小球A、B、C。在小球C上作用一水平恒力F(未知),三个小球保持相对静止一起向右运动。已知三球质量均为m,间距均为l0。A、B球带等量正电荷q。求:
(1)C球的电性和电荷量qC;
(2)水平外力F的大小。
考点二　对电场强度的理解和计算
1.对电场强度的理解
(1)电场中某点的电场强度E的大小和方向是唯一的,且只由电场本身决定,与F、q的大小及是否存在试探电荷无关,即不能认为E∝F或E∝。
(2)电场强度是矢量,电场中某点的电场强度的方向与正试探电荷在该点所受电场力的方向相同,与负试探电荷在该点所受电场力的方向相反。
2.电场强度的叠加
(1)叠加原理:空间某点的电场强度等于各个场源电荷单独存在时所激发的电场在该点场强的矢量和,如图所示。
(2)复杂带电体产生电场的电场强度的求解。
①等效法:在保证效果相同的前提下,将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境。
例如:一个点电荷+q与一个无限大薄金属板形成的电场,等效为两个等量异种点电荷形成的电场,如图甲、乙所示。
②对称法:利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点,使复杂电场的叠加计算问题简化。
[例5] 【对电场强度的理解和计算】 (多选)(2025·浙江杭州阶段检测)如图甲所示,在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出),O、A、B为轴上三点。放在A、B两点的试探电荷受到的静电力与其所带电荷量的关系如图乙所示。以x轴的正方向为静电力的正方向,则(　　)
A.点电荷Q一定为正电荷
B.点电荷Q在A、B之间
C.A点的电场强度大小为2×103 N/C
D.同一电荷在A点受到的电场力比在B点的小
[例6] 【电场强度的叠加】 (2025·江西二模)如图所示,等边三角形ABC的三个角上固定着三个等量同种点电荷,此时,在AC边的中点D的电场强度大小为E。现将固定在A点的点电荷撤去,则D点的电场强度大小变为(　　)
A.E B.2E
C.4E D.2E
[例7] 【对称法求电场强度】 (2025·贵州贵阳模拟)如图所示,以O点为圆心的圆上有A、B、C三点。A、B、C三点将圆三等分,其中A、B的连线水平。在A、B两点各固定一个电荷量为+Q的点电荷,在C点固定一个电荷量为-Q的点电荷。圆的半径为R,则O点的电场强度大小和方向为(　　)
A.电场强度为零
B.电场强度为,方向竖直向上
C.电场强度为,方向竖直向下
D.电场强度为,方向竖直向下
[例8] 【补偿法求电场强度】 (2025·山西大同三模)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场可等效为电荷集中于球心处的点电荷在球壳外产生的电场。如图所示,在半径为r的半球面上均匀分布着正电荷,AB为通过半球顶点与球心O的直线,且AO=BO=2r。若A、B点的电场强度大小分别为E1和E2,静电力常量为k,则半球面上的电荷量为(　　)
A. B.
C. D.
考点三　对电场线的理解和应用
(1)对等量异种点电荷来说,为什么中垂线上中点电场强度最大
(2)对于等量同种点电荷来说,为什么从两电荷连线的中垂线中点向两侧电场强度先变大后
变小
1.等量点电荷的电场线与电场强度
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线 分布图
电荷连线 上的电场 强度 沿连线先变小后变大
O点最小,但不为零 O点为零
中垂线上的电场强度 O点最大,向外逐渐减小 O点最小,向外先变大后变小
关于O点 对称位置 的电场 强度 A与A′、B与B′、C与C′
等大同向 等大反向
2.电场线的应用
(1)判断电场强度的大小:电场线密处电场强度大,电场线疏处电场强度小。
(2)判断静电力的方向:正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同,负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反。
(3)判断电势的高低与电势降低的快慢:沿电场线方向电势降低最快,且电场线密集处比稀疏处降低更快。
[例9] 【对电场线的理解和应用】 (多选)(2025·云南丽江二模)如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图,左侧点电荷带电荷量为+2q,右侧点电荷带电荷量为-q,P、Q两点关于两点电荷连线对称。下列说法正确的是(　　)
A.P、Q两点的电场强度相同
B.M点的电场强度大于N点的电场强度
C.在两点电荷连线上,中点处的电场强度最小
D.在M点由静止释放一个正的试探电荷,电荷不会沿电场线通过P点
[例10] 【电场线与带电粒子的轨迹问题】 (2023·全国甲卷,18)在一些电子显示设备中,让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场,可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线,如果用虚线表示电子可能的运动轨迹,其中正确的是(　　)
A B
C D
电场线与轨迹问题的判断方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向),从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况。
(2)“三不知时要假设”——电荷的正负、电场强度的方向(或等势面电势的高低)、电荷运动的方向,若已知其中的任意一个,可顺次分析判定各待求量;若三个都不知,则要用假设法分别讨论各种情况。
第1讲　电场力的性质
考点一
[例1] A　[例2] C　[例3] B　
[例4] 【答案】 (1)C球带负电荷　2q　(2)
【解析】 (1)
由于三个小球保持相对静止一起向右运动,可知小球A(或B)一定受指向C的库仑力,可知C球带负电荷,A球受力如图所示,对A球有=sin 30°,
解得qC=2q。
(2)设三球运动的加速度为a,对A球有
tan 60°=ma,
对三球整体有F=3ma,
解得F=。
考点二
[例5] BC　[例6] A　[例7] C　[例8] B　
考点三
模理探真:(1)等量异种点电荷连线中垂线上,其中点到两个点电荷距离最近,根据E=k,所以两个点电荷在中点产生的场强最大,且方向相同,根据场强叠加原理可知,中垂线上中点处电场强度最大。
(2)等量同种点电荷的连线中垂线的中点处电场强度为零,无穷远处电场强度也为零,所以从中垂线中点向两侧电场强度先增大后减小。
[例9] BD　[例10] A　第4讲　电容器　带电粒子在电场中的运动
【学习目标】
1.能定性分析电容器在充电、放电过程中的电荷量、电压、电场强度变化;掌握电容器串联、并联的等效电容计算及电荷分配规律;分析插入电介质对电容、电场强度和电势差的影响。
2.熟练计算带电粒子在电场中受到的静电力;区分粒子在匀强电场和非匀强电场中的运动差异;分析粒子垂直进入匀强电场时的偏转轨迹,推导偏移量及偏转角公式;理解粒子在交变电场中的往复运动条件;解决电场与重力场叠加问题,会进行力的平衡或动力学分析。
3.建立电场力与力学、能量观点的联系,掌握类比与模型建构方法;综合运用动力学、功能关系处理复杂场景。
[footnoteRef:0] [0:
1. (2024·甘肃卷,7)一平行板电容器充放电电路如图所示。开关S接1,电源E给电容器C充电;开关S接2,电容器C对电阻R放电。下列说法正确的是(　　)
A.充电过程中,电容器两极板间电势差增加,充电电流增加
B.充电过程中,电容器的上极板带正电荷,流过电阻R的电流由M点流向N点
C.放电过程中,电容器两极板间电势差减小,放电电流减小
D.放电过程中,电容器的上极板带负电荷,流过电阻R的电流由N点流向M点
2.(2025·福建卷,4)角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器,其核心装置中有两个同心半球极板,垂直于半球底面且过球心O的截面如图所示。极板间存在一径向电场,其等势线为一系列以O为圆心的半圆。电子a以初动能Ek从入口M点垂直于半球底面入射,从N点射出;电子b也从M点垂直于半球底面入射,经P点后从Q点射出。两电子的运动轨迹如图所示。已知电子a轨迹为一以O为圆心的半圆,与OP交于H点,H、P两点间的电势差为U,OM=r,NQ=2HP,电子电荷量大小为e,重力不计,则(　　)
A.P点处的电场强度大小为
B.电子a在H点受到的电场力大小为
C.电子b在P点时的动能小于在Q点时的动能
D.电子b从M点运动到Q点的过程中,克服电场力所做的功小于2eU]
考点一　电容器　平行板电容器的动态分析
如图,闭合开关S稳定后断开,电容器所带电荷量Q保持不变,若增大电容器两板间的距离d,请完成以下分析:
(1)根据电容的决定式分析电容C大小如何变化。
(2)根据电容的定义式分析电容器两板间电压U大小如何变化。
(3)根据匀强电场电势差与电场强度的关系E=,结合(1)(2)的分析,判断两板间电场强度E大小如何变化。
1.对电容定义式C=的理解
(1)一个电容器电容的大小是由电容器本身的因素决定的,与电容器的带电情况无关。
(2)不能理解为电容C与Q成正比,与U成反比。
2.平行板电容器两类动态变化的特点比较
[例1] 【对电容的理解】 (2025·陕西咸阳期中)据报道,我国每年心源性猝死案例高达55万,而心脏骤停最有效的抢救方式是通过AED自动除颤机给予及时治疗。某型号AED模拟治疗仪器的电容器电容是20 μF,充电至最大电压8 kV时,可以在4 ms时间内完成放电,则(　　)
A.充电至最大电压8 kV为击穿电压
B.电容器充电至最大电压时的带电荷量为1.6 C
C.放电时的平均电流为40 A
D.放电完成后,电容器电容为10 μF
[例2] 【电容器的动态分析】 电容器的形状变化会导致其电容变化,这一性质可用于设计键盘,简化原理图如图所示。键盘按键下的装置可视为平行板电容器,电容器的极板面积为S、间距为d,电容C=α(α为常量)。按下键盘按键时,极板间的距离变为按压前的η倍;撤去按压,按键在弹力作用下复位。电容器充电后:
(1)若按压按键不改变电容器所带的电荷量,则按压后极板间的电压变为按压前的多少倍
(2)若按压按键不改变电容器极板间的电压,则按压后极板间的电场强度大小变为按压前的多少倍
考点二　带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
1.对带电粒子进行受力分析时应注意的问题
(1)要掌握静电力的特点。静电力的大小和方向不仅跟电场强度的大小和方向有关,还跟带电粒子的电荷量和电性有关。
(2)是否考虑重力依据情况而定。
①基本粒子:如电子、质子、α粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外,一般不考虑重力(但不能忽略质量)。
②带电颗粒:如液滴、油滴、尘埃、小球等,除有特殊说明或明确的暗示外,一般都不能忽略
重力。
2.分析带电粒子(带电体)在电场中的直线运动的方法
(1)用动力学观点分析(只适用于匀强电场)。
a=,E=,v2-=2ad。
(2)用功能观点分析。
①匀强电场中:W=qEd=qU=mv2-m。
②非匀强电场中:W=qU=Ek2-Ek1。
[例3] 【带电粒子在电场中的直线运动】 (2025·四川卷,13)如图所示,真空中固定放置两块较大的平行金属板,板间距为d,下极板接地,板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q(q>0)的金属微粒,从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变,碰撞后电性与极板相同,所带电荷量的绝对值不变,不计微粒所受重力。求:
(1)微粒第一次到达下极板所需时间;
(2)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。
[例4] 【带电体在电场中的直线运动】 一个带正电的粒子,从A点射入水平方向的匀强电场中,粒子沿直线AB运动,如图所示,已知AB与电场线夹角θ=30°,带电粒子的质量m=1.0×
10-7 kg,电荷量q=1.0×10-10 C,A、B相距L=20 cm。(g取10 m/s2,结果可保留根号)
(1)说出粒子在电场中运动的性质,要求说明理由。
(2)求电场强度的大小和方向。
(3)要使粒子从A点运动到B点,求粒子射入电场时的最小速度。
考点三　带电粒子在电场中的偏转
如图,电性相同的不同带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再垂直进入同一偏转电场,则从偏转电场射出时,带电粒子的轨迹是重合的吗
1.带电粒子在电场中偏转问题的两个重要结论
(1)粒子经电场偏转后,速度偏转角θ的正切值是位移偏转角α正切值的2倍,即tan θ=2tan α。
(2)粒子经电场偏转后射出时,合速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点,即O到偏转电场边缘的距离为。
2.处理带电粒子的偏转问题的方法
运动的 分解法 将带电粒子的运动分解为沿电场力方向的匀加速直线运动和垂直于电场力方向的匀速直线运动
功能 关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解:qUy=mv2-m,其中Uy=y,指运动过程初、末位置两点间的电势差
[例5] 【示波管的工作原理】 (2025·北京海淀期中)如图甲所示为示波管原理图,若其内部竖直偏转电极YY′之间的电势差按照如图乙所示的规律变化,水平偏转电极XX′之间的电势差按照如图丙所示的规律变化,则在荧光屏上会看到的图形是(　　)
A　　　 B
C　　 　D
[例6] 【带电粒子在匀强电场中的偏转】 (2025·河南卷,13)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集,其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞),液滴质量均为m=2.0×10-10 kg。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电,使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷,电荷量均为q=1.0×10-13 C。随后,液滴以v=2.0 m/s 的速度竖直进入长度为l=2.0×10-2 m的电极板间,板间电场均匀、方向水平向右,电场强度大小为E=2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h=0.1 m 处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求:
(1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离;
(2)A、B细胞收集管的间距。
[例7] 【带电粒子在电场和重力场中的偏转】 (2025·广东卷,15)如图,是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直的平行金属平板相接。金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A点处,由静止开始向右下方运动,与下方绝缘平板在B点处碰撞,碰撞时电荷量改变,反弹后离开下方绝缘平板瞬间,颗粒的速度与所受合力垂直,其水平分速度与碰前瞬间相同,竖直分速度大小变为碰前瞬间的k(k<1)倍。已知颗粒质量为m,两绝缘平板间的距离为h,两金属平板间的距离为d,B点与左平板的距离为l,电源电压为U,重力加速度为g。忽略空气阻力和电场的边缘效应。求:
(1)颗粒碰撞前的电荷量q;
(2)颗粒在B点碰撞后的电荷量Q;
(3)颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中,电场力对它做的功W。
第4讲　电容器　带电粒子在电场中的运动
考点一
模理探真:(1)C=,d变大,其余量不变,故C变小。
(2)由C=可得U=,Q不变,C变小,故U变大。
(3)将C=代入U=,可得U=,则E===,故E不变。
[例1] C　
[例2] 【答案】 (1)η倍　 (2)
【解析】 (1)设按压前电容为C1=α,电压为U1,电荷量为Q,根据平行板电容器的电容公式C=α,
电容的定义式 C=,
解得U1==;
按压后极板间距离变为按压前的η倍,即d2=ηd1,
此时电容C2=α=α,
因为按压过程未改变其电荷量Q,所以按压后电压
U2==,解得=η,
即按压后极板间的电压变为按压前的η倍。
(2)对于平行板电容器,极板间的电场强度E=;设按压前电压为U,极板间距离为d1,则电场强度E1=,
按压后极板间距离变为d2=ηd1,
且电压不变,仍为U,
此时电场强度E2==,
所以有=,
按压后极板间的电场强度大小变为按压前的。
考点二
[例3] 【答案】 (1)　(2)2
【解析】 (1)由牛顿第二定律得qE=ma,
由运动学公式得=at2,
联立可得时间为t=。
(2)微粒第一次到达下极板时的速度大小为
v1=at=,
由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变,碰撞后电性与极板相同,所带电荷量的绝对值不变,设微粒与下极板碰后第一次到达上极板时的速度大小为v2,满足
-=2ad,
代入解得v2=;
同理设微粒第一次从上极板回到O点时的速度大小为v3,满足-=2a·,
代入解得v3=2,
故动量大小为p=mv3=2。
[例4] 【答案】 (1)见解析　(2)×104 N/C　方向水平向左
(3)2 m/s
【解析】 (1)粒子只在重力和电场力作用下沿AB做直线运动,其合力一定沿直线AB,可知电场力的方向水平向左,合力的方向由B指向A,与初速度vA方向相反,粒子做匀减速直线运动。
(2)在垂直于AB方向上有qEsin θ-mgcos θ=0,
则电场强度大小
E== N/C=×104 N/C,
方向水平向左。
(3)若粒子恰好由A点运动到B点,则速度
vB=0,
根据动能定理,在该过程有
-mgLsin θ-qELcos θ=0-m,
其中L=20 cm=0.2 m,
代入数据解得vA=2 m/s。
考点三
模理探真:在加速电场中有qU0=m,在偏转电场中偏移量y=at2=··()2,
设速度偏转角为θ,则tan θ==,
得y=,tan θ=,
则y、θ均与m、q无关,即偏移量和速度偏转角总是相同的,所以它们的轨迹是重合的。
[例5] D　
[例6] 【答案】 (1)5×10-3 m　(2)0.11 m
【解析】 (1)由题意可知含A细胞的液滴在电场中做类平抛运动,垂直于电场方向有l=vt1,
沿电场方向有x1=a,由牛顿第二定律有qE=ma,
解得含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离为
x1=5×10-3 m。
(2)含A细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动,则
h=vt2,x2=at1t2,
联立解得x2=0.05 m,
由对称性可知A、B细胞收集管的间距
Δx=2(x1+x2)=0.11 m。
[例7] 【答案】 (1)　(2)　(3)见解析
【解析】 (1)根据题意可知,颗粒在竖直方向上做自由落体运动,则有h=gt2,
水平方向上做匀加速直线运动,
则有qE=ma,l=at2,E=,
解得q=。
(2)根据题意可知,颗粒与绝缘平板第一次碰撞时,
竖直分速度为vy1=,
水平分速度为vx1==,
则第一次碰撞后竖直分速度为
vy2=kvy1,
设第一次碰撞后颗粒速度方向与水平方向夹角为θ,
则有tan θ=,
由于第一次碰撞后瞬间颗粒所受合力与速度方向垂直,
则有tan θ=,
联立解得Q=。
(3)根据题意可知,由于k<1,则第一次碰撞后颗粒不能返回上绝缘板,分两种情况讨论:
①设从第一次碰撞后到第二次碰撞前的运动时间为t′,则有t′==2k,
水平方向上做匀加速直线运动,
加速度为a′==,
水平方向运动的距离为
x=vx1t′+a′t′2=4kl+,
此情况需满足x≤d-l,即d≥(4k+1)l+,
则电场力对颗粒做的功为
W=+=+4k2mgh+。
②若d<(4k+1)l+,
则颗粒与右侧金属板发生第二次碰撞。
则电场力对颗粒做功为
W=qEl+QE(d-l)=+。第2讲　电场能的性质
【学习目标】
1.理解电场能的基本概念,掌握电势能、电势、电势差、等势面的物理意义及其相互关系。理解电场力做功与电势能变化的关系,知道电场力做功与路径无关的特性;建立电势差与电场强度的联系;能结合动能定理或机械能守恒定律分析带电粒子在电场中的能量转化。
2.通过类比重力场中的重力势能,建立电势能的类比模型,理解保守力场的共性;能推导电势差与电场强度的关系式,并分析非匀强电场的定性规律;综合运用电势叠加原理计算点电荷系或对称电场的电势分布;会辨析电势高低与电场强度大小的区别。
3.通过“描绘等势线”实验,理解等势面与电场线的关系,学会用间接方法研究静电场;设计实验验证电场力做功与路径无关的特性;会处理实验数据并对结果做出解释,会绘制等势面分布图,并推断电场强度方向。
4.了解电势能概念的建立过程,体会科学家如何通过类比和数学工具揭示物理规律;认识电场能理论在技术中的应用;讨论高压电场的安全问题,理解静电在工业生产中的利与弊;关注新能源技术中电场能的利用。
[footnoteRef:0] [0:
1.(2025·河北卷,1)《汉书》记载“姑句家矛端生火”,表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端附近某条电场线如图,则a、b、c、d四点中电势最高的是(　　)
A.a点　　　　　 B.b点
C.c点 D.d点
2.(2025·云南卷,4)某介电电泳实验使用非匀强电场,该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为-2 V、-1 V、1 V、2 V 的等势线上,则(　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV]
考点一　描述电场能的性质的物理量
1.求静电力做功的四种方法
2.电势能大小的判断
判断方法 方法解读
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep=qφ,计算得到的值越大,电势能越大
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大,负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 电场力做正功,电势能减少;电场力做负功,电势能增加
能量 守恒法 在电场中,若只有电场力做功时,电荷的动能和电势能相互转化,动能增加,电势能减少,反之,动能减少,电势能增加
3.电势大小和高低的确定方法
(1)由静电力做功判断(试探电荷由A移到B)。
(2)由电场线方向判断。
4.几种常见的电场的等势面的特点
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷 的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异 种点电 荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量正 点电荷 的电场 在电荷连线上,中点电势最低;在中垂线上,中点电势最高
[例1] 【电势与电势能的判断】 (2023·湖北卷,3)在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点,其电势分别为φM、φN,电场强度大小分别为EM、EN。下列说法正确的是(　　)
A.若φM>φN,则M点到电荷Q的距离比N点的远
B.若EMC.若把带负电的试探电荷从M点移到N点,电场力做正功,则φM<φN
D.若把带正电的试探电荷从M点移到N点,电场力做负功,则EM>EN
[例2] 【等势面的理解与应用】 (多选)(2025·内蒙古模拟)城市生活污水中的污泥絮体经处理后带负电,可利用静电技术对其进行沉淀去污,基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极,金属圆盘置于底部,金属棒插入污水中,形成的电场分布如图所示。其中实线为电场线,虚线为等势面,M点和N点在同一电场线上,M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的是(　　)
A.N点的电场强度比P点的小
B.M点的电势比N点的高
C.污泥絮体从M点移到N点,电场力对其做负功
D.污泥絮体在N点的电势能比其在P点的小
[例3] 【电势的叠加】 (多选)(2025·山东卷,11)球心为O,半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上,带电量分别为+2q和+q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点,过O、A、B的截面如图所示,C、D均为圆弧上的点,OC沿竖直方向,∠AOC=45°,OD⊥AB,A、B两点间距离为 R,E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是(　　)
A.甲的质量小于乙的质量
B.C点电势高于D点电势
C.E、F两点电场强度大小相等,方向相同
D.沿直线从O点到D点,电势先升高后降低
解决两个不等量点电荷电场问题的“配荷法”
(1)问题情境:在点电荷电场的实际问题中,会遇到两个不等量点电荷间形成电场在连线、连线中垂线、某一圆弧等的电场强度大小、电势高低、电势能变化问题的分析判断。
(2)解决方法:利用“配荷法”将问题转化为等量异种点电荷与另一点电荷的叠加。
①对其中一个点电荷,依据对方电荷的电性和电荷量,在保证该电荷电性、电荷量不变的前提下,将其看作A、B两个点电荷,使电荷A(或B)与另一点电荷组成等量异种点电荷。
②问题变成了一组等量异种点电荷和另一个点电荷的情形,这样就可以利用等量异种点电荷电场的特性与另一点电荷的电场叠加,对电场强度、电势、电势能等作出分析判断。
[例4] 【功能关系在静电场中的综合应用】 (2025·广西卷,14)带电粒子绕着电荷量为+Q的源电荷做轨迹为椭圆的曲线运动,源电荷固定在椭圆左焦点F上,带电粒子电荷量为-q;已知椭圆焦距为c,半长轴为a,电势计算公式为φ=,带电粒子速度的平方与其到源电荷的距离的倒数满足如图乙所示关系。
(1)求在椭圆轨道半短轴顶点B的电势;
(2)求带电粒子从A到B的运动过程中,电场力对带电粒子做的功;
(3)用推理论证带电粒子动能与电势能之和是否守恒;若守恒,求其动能与电势能之和;若不守恒,说明理由。
考点二　电势差与电场强度的关系
(1)图甲中,匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC与A、B两端的电势φA和φB有什么关系
(2)图乙中,匀强电场中若两线段AB∥CD,且AB=CD,则UAB和UCD有什么关系
1.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB=Ed,d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)沿电场强度方向电势降落得最快。
2.匀强电场中电势关系的两个重要结论
(1)在匀强电场中,沿任意一个方向,电势下降(升高)都是均匀的,故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离平均分为n段,则每段两端点间的电势差等于原电势差的。
(2)在匀强电场中,沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。
[例5] 【对公式U=Ed或E=的理解】 (2025·重庆二模)如图甲所示,同轴电缆由两个同心导体组成,通常是一个铜制的内导体和一个铜或铝制的外导体,两者之间由绝缘材料隔开。图乙为同轴电缆横截面内静电场的电场线和等势面分布情况,相邻的虚线圆间距相等,a、b、c点均为实线与虚线圆的交点,下列说法正确的是(　　)
A.图乙中实线代表等势线,虚线代表电场线
B.a、c间的电势差是b、c间电势差的两倍
C.a点的电场强度和b点的电场强度不相同
D.正电荷在a点的电势能小于在b点的电势能
E=在非匀强电场中的三点妙用
(1)结合等差等势面疏密判断电场强度大小:在非匀强电场中,等差等势面越密,沿电场方向的距离d越小,根据E=知电场强度E越大;反之,则E越小。
(2)结合电场线疏密判断电势差大小:在非匀强电场中,距离d相等的两点间电场线分布越密,平均电场强度E越大,根据U=Ed知电势差U越大,反之则电势差U越小。
(3)利用φx图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律:k===Ex,斜率的绝对值表示电场强度的大小,正负表示电场强度的方向。
[例6] 【U=Ed或E=在匀强电场中的应用】 (2025·安徽合肥模拟)如图为中国象棋棋盘简化模型,若匀强电场平行于该棋盘,每个小格均为正方形,边长L=2 cm。O、a、b、c点为棋盘上四个点,带电量q=-1.5×10-4 C的棋子在b点时电势能为Ep=1.5×10-2 J。棋子由a点分别移到b点和c点,电场力做功均为W=-4.5×10-2 J。下列说法正确的是(　　)
A.电场强度大小为50 V/m
B.电场强度方向由O点指向a点
C.棋子在棋盘上由O点移到b点电势能减少1.5×10-2 J
D.O点的电势为0
[例7] 【等分法求解匀强电场的电场强度】 (多选)(2025·湖南卷,8)一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时,电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
等分法确定电场线及电势高低的解题思路
考点三　电场线、等势线(面)与粒子的运动轨迹问题
　带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
[例8] (多选)(2024·甘肃卷,9)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示,虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹,M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点。下列说法正确的是(　　)
A.粒子带负电荷
B.M点的电场强度比N点的小
C.粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D.粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
第2讲　电场能的性质
考点一
[例1] C　[例2] AD　[例3] BD　
[例4] 【答案】 (1)　(2)-kQq(-)
(3)守恒　-
【解析】 (1)由几何关系可知,椭圆上任何一点到两焦点间距离之和为2a,故顶点B与源电荷的距离为r=a,根据电势计算公式φ=,
可得在椭圆轨道半短轴顶点B的电势为φB=。
(2)同理可知,在椭圆轨道半长轴顶点A的电势为
φA==,
带电粒子从A到B的运动过程中,电场力对带电粒子做的功为
WAB=-q(φA-φB)=-kQq(-)。
(3)设带电粒子的质量为m,假设带电粒子的动能与电势能之和守恒,满足mv2+(-q)=C(定值),
得v2=·+,根据图像可知v2图像为一条倾斜直线,故假设成立,将图像中(,0)代入关系式可得其动能与电势能之和为C=-。
考点二
模理探真:(1)φC=。
(2)UAB=UCD(或φA-φB=φC-φD)。
[例5] C　[例6] D　[例7] AD　
考点三
[例8] BCD　第6讲　小专题:带电粒子(带电体)在电场中的力电综合问题
【学习目标】
1.能准确地对带电粒子(质点)或带电体进行受力分析;能将带电粒子的运动与牛顿第二定律结合;能熟练运用运动的合成与分解的方法处理类平抛运动和运用动能定理或能量守恒定律分析解决带电粒子在电场中运动的能量转化问题。
2.形成解决力电综合问题的标准化分析流程;掌握根据问题特点灵活选择最简捷解题路径的方法。
3.能将力电综合问题的分析方法迁移到复合场问题中,具备处理更复杂物理情境的能力;能将物理模型与实际应用相联系,体会物理学的应用价值。
4.培养严谨的逻辑推理能力和缜密的科学思维习惯;提升数学计算能力,特别是代数运算和几何关系的应用;能清晰、规范地写出解题步骤,物理语言使用准确,逻辑严密。
考点一　带电粒子在电场和重力场中的运动
如图所示为小球在最高点没有支撑的“轻绳”模型(不计一切摩擦阻力),通过前面的学习我们知道,小球能完成竖直面内完整圆周运动的临界特征是在最高点重力恰好提供向心力,即mg=m,则在最高点的最小速度vmin=。
请思考:
(1)若小球同时受到一个竖直向下的恒定电场力qE,临界特征是什么 如果电场力qE竖直向上呢 我们把重力和电场力的合力等效成小球所受重力,那么就可以直接套用mg=m,
vmin= 规律,这个等效的重力加速度g′的大小和方向如何
(2)用等效法分析,若小球受到一个水平向左的恒定电场力qE,临界特征是什么
1.等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动,但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一,用一个全新的“复合场”来代替,可形象称之为“等效重力场”。
2.“等效最高点”和“等效最低点”示意图
[例1] 【在“等效重力场”中的类抛体运动】 (多选)(2025·河南濮阳期末)如图所示,空间存在水平向左的匀强电场,将一质量为m、电荷量为q的带正电小球向右以速度v0水平抛出,小球在此后的运动过程中最小速度为v0。重力加速度为g,P点电势φP=0,下列说法正确的是(　　)
A.电场强度大小E=
B.小球抛出后经过t1=速度最小
C.经过t2=小球运动到P点正下方
D.小球在运动过程中具有的最大电势能为m
[例2] 【在“等效重力场”中的圆周运动】 (2025·黑龙江大庆模拟)如图所示,竖直平面内有固定的光滑绝缘圆形轨道,匀强电场的方向平行于轨道平面水平向右,P、Q分别为轨道上的最高点和最低点,M、N是轨道上与圆心O等高的点。质量为m、电荷量为q的带正电的小球在P处获得水平向右速度v0,恰好能在轨道内做完整的圆周运动,已知重力加速度大小为g,电场强度大小E=。则下列说法正确的是(　　)
A.在轨道上运动时,小球动能最大的位置在Q点
B.经过M、N两点时,小球所受轨道弹力大小的差值为6mg
C.在轨道上运动时,小球机械能最小的位置在N点
D.若小球在Q处以速度v0水平向右射出,也能在此轨道内做完整的圆周运动
考点二　电场中的力、电综合问题
1.动力学观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力,可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式,注意受力分析要全面,特别注意重力是否需要考虑的问题。
2.能量观点
(1)运用动能定理,注意过程分析要全面,准确求出过程中所有力做的功,判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律时,注意题目中有哪些形式的能量出现。
3.动量观点
(1)运用动量定理时,要注意动量定理的表达式是矢量式,在一维情况下,各个矢量必须选同一个正方向。
(2)运用动量守恒定律时,除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式,还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。
[例3] 【动力学观点】 (2025·贵州遵义阶段练习)如图所示,足够长的倾角为θ=37°的光滑固定绝缘斜面和粗糙绝缘水平面平滑连接,空间存在着平行于斜面向上的匀强电场,电场强度为E=1×104 N/C。现有质量为m=1 kg、带电荷量为q=+5×10-4 C的小滑块,从水平面上A点由静止释放,经过时间t=2 s后到达斜面底端B点。若小滑块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.5,不计空气阻力。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。求:
(1)小滑块从A滑行到B过程中所受摩擦力的大小和加速度大小;
(2)A、B两点的距离和电势差UAB;
(3)小滑块沿斜面上升的最大高度。
[变式] [例3]中,随着电场强度的增大,小滑块在水平面上运动的加速度如何变化 小滑块能在水平面上运动的电场强度的最大值是多大(结果可用分数表示) 若电场强度大于这个最大值,由静止释放的小滑块做什么性质的运动
[例4] 【能量观点】 (2025·江西赣州期末)如图所示,倾角为θ=30°的斜面AB与半径为R= m 的光滑圆弧轨道BC在B点平滑连接,圆弧轨道BC末端C点处的切线水平。整个空间存在平行斜面向上的匀强电场,带正电的小滑块从A点静止释放,以加速度大小a=10 m/s2沿斜面向上匀加速运动。已知斜面AB的长度为l=5 m,小滑块与斜面间的动摩擦因数为μ=,小滑块质量为m=1 kg,电荷量q=1×10-2 C。最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,忽略空气阻力,求:
(1)小滑块第一次经过B点时的速度大小和电场强度大小;
(2)小滑块对圆弧轨道C点的压力大小(结果可以保留根号);
(3)经过足够长时间,小滑块在斜面上运动的路程。
[例5] 【动量观点】 (2025·四川凉山三模)如图所示,半径R=0.3 m的光滑四分之一圆弧管道竖直固定,与水平面相切于最低点P,空间中存在水平向右的匀强电场,电场强度大小为E=1×103 V/m,物体甲的质量m1=0.2 kg,带电荷量q=+1×10-3 C,在P点右侧L1= m处有一不带电的物体乙,质量m2=0.2 kg,物体乙右侧L2= m处有一竖直固定挡板。物体甲从圆弧管道上与圆心O等高的A点由静止开始沿管道滑动。已知甲、乙与水平面间的动摩擦因数均为μ=0.2,所有碰撞均无能量损失,且甲、乙碰撞没有电荷转移,甲、乙均视为质点。g取10 m/s2,求:
(1)在圆弧管道最低点P,物体甲受到轨道的支持力大小;
(2)甲、乙第一次碰撞后各自的速度大小;
(3)整个过程甲、乙在水平面上运动的总路程之和。
第6讲　小专题:带电粒子(带电体)
在电场中的力电综合问题
考点一
模理探真:(1)若小球同时受到一个竖直向下的恒定电场力qE,临界条件是在最高点位置qE+mg=m。
如果qE竖直向上且小于mg,临界条件是在最高点位置mg-qE=m;如果qE竖直向上且等于mg,小球做匀速圆周运动,无临界条件;如果qE竖直向上且大于mg,临界条件是在最低点位置qE-mg=m。把重力和电场力的合力等效成小球所受重力,有F合=mg′,则g′=,方向与F合相同。
(2)电场力和重力的合力大小F合=,方向如图所示,则等效重力加速度g′=,临界特征是在等效最高点位置(如图中A点)vmin=。
[例1] BC　[例2] C　
考点二
[例3] 【答案】 (1)3.5 N　0.5 m/s2　(2)1 m　8 000 V
(3)0.3 m
【解析】 (1)小滑块从A滑行到B的过程中,小滑块所受的电场力F=Eq,
小滑块所受的摩擦力Ff=μ(mg-Fsin 37°),
解得Ff=3.5 N,
由牛顿第二定律可得Fcos 37°-Ff=ma1,
解得小滑块加速度大小a1=0.5 m/s2。
(2)A、B两点的距离d=a1t2,
解得d=1 m,
A、B两点的电势差UAB=Edcos 37°,
解得UAB=8 000 V。
(3)小滑块在斜面上运动时,由牛顿第二定律有
qE-mgsin 37°=ma2,
解得a2=-1 m/s2,
由运动学公式有
vB=a1t,
-=2a2x,
又h=xsin 37°,
解得h=0.3 m。
[变式] 【答案】 见解析
【解析】 由牛顿第二定律有
qEcos 37°-μ(mg-qEsin 37°)=ma,
可知当E增大时加速度变大。小滑块能在水平面上运动的临界条件是
qEsin 37°=mg,
解得E=×104 N/C。
若E>×104 N/C,由静止释放的小滑块将在电场力和重力作用下做匀加速直线运动。
[例4] 【答案】 (1)10 m/s　2×103 N/C　(2) N (3)15 m
【解析】 (1)小滑块沿AB做匀加速直线运动,则有
=2al,
代入数据解得vB=10 m/s,
根据牛顿第二定律有
Eq-mgsin 30°-μmgcos 30°=ma,
代入数据解得E=2×103 N/C。
(2)小滑块在圆弧上从B到C根据动能定理有
-mg(R+Rcos 30°)+EqRsin 30°=m-m,
小滑块经过C点时有
FN+mg-Eqsin 30°=m,
代入数据解得FN= N,
由牛顿第三定律可知小滑块对轨道的压力为 N。
(3)小滑块离开C点后,由力的合成规律可知,其所受合力水平向左,可知小滑块先向右做匀减速直线运动然后以原速度大小返回C点,经过圆弧和斜面轨道,沿斜面下滑时,摩擦力和电场力均为阻力,可知小滑块将无法到达A点,然后返回。
经若干次往返后恰好不进入斜面轨道而停在B点,从释放到B点,根据动能定理有
Eql-mglsin 30°-μmgscos 30°=0,
解得总路程s=15 m。
[例5] 【答案】 (1)8 N　(2)0　4 m/s　(3)7.25 m
【解析】 (1)物体甲从A点到P点过程,根据动能定理有m1gR+qER=,
经过P点时有FN-m1g=m1,
联立解得v1=3 m/s,FN=8 N。
(2)物体甲在水平面上向右运动到碰前,根据动能定理有(Eq-μm1g)L1=m1v2-m1,
甲、乙碰撞过程中能量守恒,有
m1v=m1v甲+m2v乙,
m1v2=m1+m2,
解得v=4 m/s,v甲=0,v乙=4 m/s。
(3)对物体甲,由于F电=Eq=1 N>μm1g=0.4 N,
且所有碰撞(甲与乙,乙与挡板)均无能量损失,则经过若干次碰撞后物体甲、乙最终停在挡
板处。
在整个过程中,对甲、乙系统,根据能量守恒定律有
Q=μm1gs1+μm2gs2=m1gR+qE(R+L1+L2),
又s总=s1+s2,解得s总=7.25 m。

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