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2025-2026学年山东省青岛市第二中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知关于，的一组数据中，，若与的回归直线方程为，则( )
A. B. C. D.
2.在的展开式中，含项的系数是( )
A. B. C. D.
3.函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
4.青岛二中为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到，
如表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
下列说法正确的是( )
A. 在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取人，则参加科技类的学生有人
B. 在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多人
C. 依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于
D. 没有的把握认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联
5.甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，约定甲先射击，则前次中甲恰好射击次的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知在的二项展开式中，第项为常数项，若在展开式中任取项，其中有理项的个数为，则( )
A. B. C. D.
7.我们称各个数位上的数字之和为的三位数为“安康数”，例如和，则所有的“安康数”共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知正实数，满足和，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则( )
A. B.
C. D. 当取最大值时，或
10.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是( )
A. B. 第次传球后球在乙手中有种传法
C. 数列为等比数列 D.
11.已知随机变量，记函数，，则下列说法正确的是( )
注：若，则，
A. B. 在上是增函数
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于事件，，，，，则 ．
13.某科学社团设计了一块正反面内容相同的双面团牌正面为金色边线，反面为银色边线，如图所示，现给团牌的正反两面的个区域涂色，有种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，且两面均不使用另一面未用过的颜色，则不同的涂色方法的种数为 ．
14.已知数列满足，，其中为函数在上的极值点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
若，求．
16.本小题分
某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了月至月该款迎宾机器人的月销量数据，如表所示：
月份 月 月 月 月 月
月份代码
月销量单位：千台
求出关于的经验回归方程，并估计月该款迎宾机器人的销量；
假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放元个的补贴，已知甲、乙两所学校各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两所学校享受国补贴总金额的期望不超过元，求的取值范围．
参考信息：，；．
17.本小题分
已知函数，．
求在处的切线方程；
若对恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知甲箱子中有个白球和个红球，乙箱子中有个白球和个红球，两箱中的球除颜色外，没有其他区别．
若从甲箱中任取个球，求摸出的个球中的红球的个数的概率分布列和期望；
若先从甲箱中任取个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取个球．
求从乙箱中取出的球是白球的概率；
若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出个同色球的概率．
19.本小题分
已知函数．
若函数单调递增，求实数的取值范围；
若函数有个零点，，；
求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.．
14.．
15.解：已知，
则，
即，
又，
即．
由可得：，
令，
则，
令，
则，
即．
16.解：因为，，，
所以，
所以，
故经验回归方程为，
月对应的值为，当时，，
故可估计月该款迎宾机器人的月销量为万台；
设甲、乙两学校购买迎宾机器人的个数之和为，则的所有可能取值为，，，
，
，
，
所以，
依题意有，且，
解得，
故的取值范围为．
17.解：的定义域为，，
所以，，所以切线方程为，
即．
当时，，对任意实数恒成立；
当时，，不妨令，
则
，
令，解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
综上，的取值范围为
18.解：的可能取值为，，，
，，，


；
设“甲箱中取出个球都是白球”，“甲箱中取出个球为一百一红”，
“甲箱中取出个球都是红球”，“乙箱中取出的个球为白球”，
由全概率公式得：
；
(ⅱ)设“从甲箱中取出个同色球”，所以，
所以
．
19.解：因为函数单调递增，
所以对任意恒成立，
设，
因为，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
于是，解得，
即实数的取值范围是；
由知，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
当时，，单调递增，不可能有个零点；
当时，，
因为当时，；当时，，
所以存在，，使得，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又，且当时，；当时，，
所以有个零点，即实数的取值范围是；
证明：由知，
要证，即证，
因为，所以，
则，
令，则，
令，即，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
又因为，所以，即成立．
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