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广东东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学2025-2026学年度第二学期高二期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是函数的导函数，若，则( )
A. B. C. D.
2.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
3.函数的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
4.从不大于的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知函数在处的切线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.年央视春晚舞蹈机器人节目武惊艳全球其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
平稳落地概率为：动作精准，必定能站稳；
踉跄落地概率为：重心略偏，能站稳；
近乎倒地概率为：姿态失衡，能站稳．
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为( )
A. B. C. D.
7.“的展开式中的系数为”是“”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
8.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的有( )
A. B.
C. D.
10.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是( )
A. 若学生甲和乙各自从中任选门，则他们共有种不同的选法
B. 若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有种排法
C. 若课程“射”、“御”排在不相邻的两个月，则课程共有种排法
D. 若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有种排法
11.已知，且第项与第项的二项式系数相等，则( )
A. B. 展开式的二项式系数和为
C. 展开式的各项系数和为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算的值为 用数字作答
13.函数在区间上的平均变化率为 ．
14.已知随机事件互相独立，且满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在件产品中，有件是一级品，件二级品，从中一次任意抽取件产品，求：
抽取的件产品全部是一级品的概率；
抽取的件产品中至多有件是二级品的概率．
16.本小题分
已知．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值．
17.本小题分
在的展开式中，二项式系数和为
求的值并求展开式中的常数项；
求展开式中的系数．
18.本小题分
某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼请完成下列计算：
求甲第天选择羽毛球的概率；
求在甲第天选择羽毛球的条件下，甲第天选择篮球的概率；
记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在处的切线方程；
讨论的零点个数；
当时，证明：．
参考答案
1.
2.
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4.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：记抽取的件产品全部是一级品为事件，
则事件的概率；
记抽取的件产品中恰有件是二级品为事件，
则事件的概率，
所以抽取的件产品中至多有件是二级品的概率．
16.解：的定义域为，，
所以．
所以曲线在点处的切线方程为，即
函数的定义域为，．
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以函数在处取得极小值，极小值为．
所以函数的极小值为，无极大值．

17.解：已知二项式系数和为，则，解得，
则的展开式的通项公式为：，
令得，
的展开式的常数项为．
，则问题为求展开式中的系数，
由于，
由知的展开式的通项公式为：，
则展开式中含的项为，
展开式中含的项为，
展开式中含的项为，故其系数为．

18.解：设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，
第二天选择羽毛球的事件为，则且两两互斥，
依题意，，，
且，由全概率公式得：
由贝叶斯公式，得所求概率为
设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，
由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，
从而选择篮球的概率为，
当时，由全概率公式，得的递推关系为，
而，，化简得，．

19.解：当时，，，
，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
曲线在处的切线方程为；
因为，，令得，即，
令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数，
又因为，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
且，有极大值也是最大值，
如图：
由图可知，当时，函数与的图象无交点；
当时，函数与的图象有个交点；
时，函数与的图象有个交点，
综上，时，的零点个数为；时，的零点个数为；
时，的零点个数为；
证明：当时，，
令，，
因为，，所以，而，即，，，
所以在区间上单调递增，所以，即，
所以在区间上单调递增．所以；
当时，令，，所以单调递增，
所以，即，
又因为，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，的极小值为，
若，即，则，所以，
若，即，则在区间上单调递减，
所以，
所以，即，
综上可得，．
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