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山东青岛市莱西市2025-2026学年高一下学期学业水平阶段性检测（三）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是( )
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱台
4.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则( )
A. B. C. D. 或
5.下列条件中，能判断两个平面平行的是( )
A. 一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B. 一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D. 一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面
6.在矩形中，，分别为，的中点，若，则( )
A. B. C. D.
7.在中，为角的平分线，若，，则等于( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
B. 已知中，点为边的中点，则必有
C. 若，则是的垂心
D. 若是的重心，则点满足条件
10.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则为等腰或直角三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，，，则有两解
11.已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则( )
A. 的周期为
B. 若，则
C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数
D. 函数在上有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的周长为 ．
13. ．
14.某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径、两点间的距离，现在人工湖岸边取、两点，测得，，，，则、两点的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，都是锐角，，．
求和的值；
求的值．
16.本小题分
已知半圆圆心为，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
求在上投影向量的坐标；
若，当取得最小值时，求点的坐标及的最小值．
17.本小题分
在；；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：在中，内角，，的对边分别为，，，且__________．
求角；
若的内切圆半径，，求的外接圆半径．
18.本小题分
已知向量，，记函数．
将化为形式，并求最小正周期；
求函数在区间上的值域；
将函数图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中．
求证：平面平面；
若，求二面角的余弦的取值范围；
当时，求三棱锥的外接球体积的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.解：是锐角，，
，
，
，
，
．
，都是锐角，
，
又，
，
．

16.解：因为半圆的直径，所以，，
又，，则，即．
故，，在上投影为，故在上投影向量的坐标为
设，
由知，，
故，
，
又，当时，有最小值为，
此时点的坐标为

17.解：选择：由已知得，
所以，
在中，，所以．
选择：由题意，故，由正弦定理，即，又，故，因为，故
选择：由已知及正弦定理得，
所以，所以，
因为，所以．
由余弦定理得，
由等面积公式得．
即．
整理得，
联立，解得，由正弦定理，即

18.解：由题意得，
，
所以最小正周期为
当时，，
，所以
将函数的图象向右平移个单位，可得的图象
再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，
得到的图象．
如果在区间上至少有个最大值，
则在区间上至少有个最大值，在上至少有个最大值，
故区间上至少有个周期长度，在上至少有个周期长度，
即，所以，即，所以，
故实数的范围为
19.解：因为，所以，则
且平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
由，知二面角的平面角即为．
在中，，，则由余弦定理得
，
在中，由且，结合，可得，
故
所以，所以
所以的范围是
即二面角的余弦的取值范围是．
设和的外接圆圆心分别为和，
则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，
在中，因为，由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径．
在中，由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径．
过点作于，连接，设，显然四边形为矩形，
所以所以，
即，
所以，
故当时，取得最小值，即，
此时三棱锥外接球的体积最小值为，此时

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