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广东广州市增城区六校2025-2026学年高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是( )
A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱
2.复数的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点的三等分点，则( )
A. B. C. D.
5.已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，且，则 D. 若，且，则
6.中，，，，则边上的高为( )
A. B. C. D.
7.已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的( )
A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心
8.在等边中，，为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数满足是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. B. 的模为
C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D.
10.已知向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是
C. 若，则
D. 若，则在方向上的投影向量为
11.正方体的棱长为，，分别是正方形，的中心如图所示则下列结论正确的是( )
A.
B. 与共面
C. 平面与该正方体所得的截面面积为．
D. 平面将正方体分成前后两部分的体积比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数对应的点到原点的距离是，则实数 ．
13.已知平面向量，若，则 ．
14.如图，两个正交的全等正四面体每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点，若正四面体棱长为，则这两正交四面体公共部分的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求
若，，求的面积．
16.本小题分
如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为和，高为．
求四棱台的表面积；
现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积．
17.本小题分
如图，，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点．
证明：，，，四点共面．
证明：直线，，经过同一点．
证明：平面平面．
18.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知
求角的值
若，的面积为，求的周长．
若为锐角三角形，且，求的周长取值范围．
19.本小题分
定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正顶点恰好在轴的正半轴上，求证：为定值；
在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
参考答案
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13.
14.
15.解：因为，
利用正弦定理：，
由于、、，
所以，
所以，即，
故B；
因为，，，
由余弦定理，得，
所以，
整理得，解得或舍去，
所以．
16.解：正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取 ，中点，，连接 ，，，
作交于，如图所示，
因为， ，且 ，则四边形为矩形，
则 ，，，，
所以，
所以四棱台 的表面积为．
若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台 的上、下底面圆是正四棱台的上下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高，
则圆台 上底面圆半径 ，下底面圆半径 ，高 ，
则圆台 的体积为．
17.证明：连接，四边形，是两个全等的矩形，
可得，且，，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，且，
因为，分别是，的中点，可得且，
所以且，
可证得，，，四点共面；
由可得，且，，，四点共面，
可得与相交，
设，
因为平面，所以平面，
同理可得平面，
所以点在平面与平面的交线上，而平面平面，
所以，
即证得直线，，经过同一点；
由可得，，
又因为平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
而，，平面，
所以平面平面．
18.解：已知等式利用正弦定理化简得：，
整理得：，
，，
，
又，
；
由余弦定理得，
，
，
，
，
，
的周长为．
为锐角三角形，则
，
，
的周长取值范围是
19.解：函数的“源向量”为 ，
所以，
所以函数 的值域为；
因为 ，
故的“源向量”，
故 ，
则如图正三角形中， ，则 ，
所以， ，
从而 ，
，
则
；
因此可得 为定值．
如下图所示：
函数的“源向量”为 ，
则 ，则 ，
则 ，
则又 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，即 ，
当且仅当 时取等号，
又因为当顶点 无限接近顶点 ，边 无限接近，即 无限接近，
综上所述 ，
令 ，，
则 ，
从而 ，，
所以时， ，
即的取值范围 ．

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