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江苏省镇江市丹阳市2025-2026学年高一下学期期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且与共线，则实数( )
A. B. C. D.
2.在中，内角的对边分别为，且，则角为
A. B. C. D.
3.已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为( )
A. B. C. D.
4.已知直线，，，下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则，，共面
C. 若，则
D. 若，异面，，异面，则，异面
5.在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在四边形中，，则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知均为非零向量，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与共线且反向
D. 若，且与的夹角为锐角，则
10.在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则为直角三角形
D. 若为锐角三角形，则
11.在棱长为的正方体中，是线段上的一动点，则( )
A. 底面内任意不过点的直线均与互为异面直线
B. 异面直线和所成角的范围
C. 存在点，使得
D. 若，则过点的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角所对的边分别为，若，则 ．
13.已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为 ．
14.若对于恒成立，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量满足．
若的夹角为，求；
若，求当为何值时，．
16.本小题分
已知为锐角，．
求的值：
求的值．
17.本小题分
在中，点满足．
若点为的中点，试用向量表示；
若，求的余弦值；
过点的直线与，所在的直线分别交于点，求的最小值．
18.本小题分
如图，一块棱长为正方体形木料的上底面内有一点，是的中点．
过点作出一条直线，使得，并写出作图过程；
求直线与所成角的余弦值；
若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点．
19.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，记为的面积，且．
证明：；
若，求；
求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，，的夹角为，
所以．
若，则，即，所以，
因为，
令，即时，，
所以当时，．

16.解：已知为锐角，，由同角三角函数关系可得：，
由，代入得：
解得为锐角，舍去，故，
由二倍角公式：．
因为为锐角，所以，由得：
，
因此．
由，代入，：
，解得．
所以．

17.解：因为，所以，
整理得，又因为点为的中点，
所以，
所以；
设，由，
得，
即，
解得；
因为，，共线，且，
所以，
又因为，则，即，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是．

18.解：如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得，
连接，因为是的中点，是的中点，
所以，，又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，故，
所以．
取棱的中点，连接，
又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以直线与所成角，即为或其补角，
在中，，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
因为是的中点，是的中点，所以，，
又在正方体中，易得，，
所以，，
记直线与交于点，因为平面，所以平面，
同理，平面，
所以平面平面，
所以直线三条直线交于一点．

19.解：由，得，
所以，得．
因为是锐角三角形，且，
所以，解得，．
若，由正弦定理得，又，
所以，即，
所以，
所以，得，
又为锐角，所以．
由正弦定理，
因为是锐角三角形，
所以，且，
解得或舍去，
令，设，
当时，单调递增，故，
又，所以，
所以的取值范围为．

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