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湖北三所名校2025-2026学年高二下学期4月练习数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.下列导数运算中正确的是( )
A. B. C. D.
3.用数字，，可以组成无重复数字的偶数的个数为( )
A. B. C. D.
4.在棱长为的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则的图象在处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
8.已知点是双曲线上第一象限内的一点，点、是其左、右顶点，且，过点作与直线倾斜角互补的直线与直线交于点，若点在椭圆上，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知且，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，每件法宝只有一种使用方法，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是
A. 若哪吒每次使用两种法宝，对阵次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种；
B. 若哪吒与敌人对阵次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种；
C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，阴阳剑和九龙神火罩必须相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种；
D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，火尖枪比阴阳剑更早使用，则不同的使用法宝的方法有种
11.已知函数，则( )
A. B. 是函数的一个单调区间
C. D. 存在，满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列为递减数列，其前项和为，且，则 ．
13.已知函数，在区间内任取两个实数，当时，不等式恒成立，则实数的最大值为 ．
14.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动。若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社。已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动。请完成下列计算：
求小李第天选择书法社的概率．
求在第天选择书法社的条件下，小李第天选择绘画社的概率．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．
证明：平面．
求直线与平面所成角的正切值．
17.本小题分
已知数列满足，，其中
求数列的通项公式．
记，求证：．
若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，
已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”，求函数的对称中心．
讨论方程根的个数．
当中的方程有个不同实根时，求证．
19.本小题分
已知椭圆过点，原点为，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，设线段的中点为，且直线的斜率与直线的斜率的乘积为．
已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离．
过右焦点的直线与椭圆交于两点，以为直径的圆恒过右焦点，且的中点为．
证明：直线过定点．
若椭圆的左焦点为，的延长线交椭圆于点，若，，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.解：解：设事件，，分别表示第天选择书法社、围棋社、绘画社，
事件表示第天选择书法社，
由题意，，，两两互斥且构成完备事件组，且，
由全概率公式：
；
答：小李第天选择书法社的概率为；
，
答：在第天选择书法社的条件下，小李第天选择绘画社的概率为．
16.证明：因为是正三角形，是的中点，所以，
因为侧面底面，，侧面底面，
底面，所以侧面，
平面，所以，
又，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
解：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．
已知底面边长为，是正三角形，
所以，，，，
因为是的中点，故E，所以，，
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，，，，
设直线与平面所成的角为，则，．
故．
所以，
所以直线与平面所成角的正切值为．

17.解：，又，
则数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
则，，
以上各式相加可得，，当时，满足题意，
．
由可得，
，
．
由题意有：对恒成立，
可得：不等式对恒成立，又，
可得：对恒成立，
记，
则
当时，，即，
当时，，即，
所以，当时，取得最大值为，．
综上，实数的取值范围是．

18.解：根据题意，对称中心满足对任意恒成立，
因为，，
故，对比充要条件，
取，则，故．
所以函数的对称中心为．
因为，因为单调递增，所以单调递减，所以单调递增，
因为，由知，所以，
即，所以问题转化为求方程的根的个数．
令，则需研究的图象与的交点个数，
因为，令，得或，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在取到极小值为，
在取到极大值为．
当时，，当时，，根据的图象可得：
当或时，方程有个根；当或时，方程有个根；当时，方程有个根；当时，方程没有根．
当方程有两个根时，则或，分情况：
当时，根为，所以，所以；
当时，，所以；
当时，此时，
要证，等价于证明，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，
又因为，所以只需证．
设，我们只需证明在时，．
因为，所以，
所以，
令，
所以，
当时，，故，单调递增，
所以，即，
所以，所以在上单调递减，
又因为，
所以当时，，
即对任意成立．
因为，所以，因此原不等式得证．
综上，三种情况均已证明，原命题成立．

19.解：设点，且在椭圆上，可得且，
两式相减，得，即，
所以
因为，可得，所以，则，
又因为椭圆过点，可得，
联立方程组，可得，所以椭圆方程为：
设点，可得，
则，
其对称轴为，而，
当，即时，在时取得最大值，且；
当，即时，在时取得最大值，且．
综上可得，当时，最大距离为；
当时，最大距离为．
当直线的斜率存在且不等于零时，设斜率为，
因，所以直线的斜率为，
由椭圆的右焦点，直线的方程为，设，
联立方程组，整理得，
则，
且，，
所以线段的中点的坐标，，即．
将直线的方程，代入椭圆方程，
同理可得：线段的中点的坐标，，即．
所以的斜率，其中，
直线的方程为：，
化简，即
当直线的斜率不存在时，与轴垂直且过焦点，
根据椭圆的对称性可知，此时为椭圆的长轴，可得，
所以直线为轴，过定点；
当直线的斜率为时，与轴垂直且过焦点，
根据椭圆的对称性可知，此时为椭圆的长轴，可得，
所以直线为轴，过定点；
综上可得，直线恒过定点．
设，，，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
即，所以，即，
同理可得：，
若，则
可得
整理得，
当时，取得最大值．

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