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河南新乡市新誉佳高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“，使得”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在中，角所对的边分别为若，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.有封不同的信投入个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的大致图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
7.已知点为抛物线：上的动点，点为圆：上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若恰有个零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数为奇函数，则下列结论正确的是
A.
B. 在上单调递减
C. 的值域为
D. 的解集为
11.已知点是圆上一动点，点，点，则( )
A. 点到直线的距离的最大值为
B. 满足的点有个
C. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为
D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与直线垂直的直线的方程是 ．
13.的展开式中的系数为 用数字作答
14.已知事件，相互独立，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知：
求角；
若，，求边及的面积．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
17.本小题分
已知三棱柱的棱长均为，，平面平面．
求该棱柱的体积；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，白粽个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取个，设表示取到的豆沙粽个数求
的分布列；
的期望与方差；
求至少取到一个豆沙粽的概率．
19.本小题分
已知函数．
若在时取极值，求的值和的极小值
若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，由正弦定理得，而，
则，因此，而，
所以．
由知，由余弦定理及，
得，而，所以，的面积．

16.解：设等差数列的公差为，
由，可得，可得
由可得，整理可得
联立可得，．
所以．
因为，则．
所以，
上式下式得
．
因此，．

17.解：设的中点为，连接，
为等边三角形，边长为，
，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
，，
，则，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
；
由知平面，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
，
设平面的一个法向量，
，不妨取，则，
易知平面的一个法向量，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为．

18.【详解】的可能取值为
则，
所以的分布列如下：
由可知，
．
记“至少取到一个豆沙粽”记为事件，则表示“一个豆沙粽都没有取到”
则．

19.解：由题意得，函数，对其求导得。
因为在时取极值，所以，即：
解得。
此时，令，求的导数。
令，得。
当时，，单调递减；当时，，单调递增。
，且，，
故在上有一个零点，另一个零点为，
因此，在单调递增，单调递减，则为极小值点。
，故的极小值为。
由题意得，不等式对任意恒成立，即。
移项并分离参数得：。
令，求的最小值。
对求导：。
当时，，
令，则，
故在单调递增，。
因此，，在单调递增，。
故的取值范围为。
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