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上海市浦东新区2025-2026学年高三下学期数学考前综合练习
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是
A. B. C. ， D. ，
2.下列命题中不正确的是( )
A. 线性回归方程对应的直线一定经过样本点的中心
B. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
C. 线性回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系
D. 用最小二乘法求回归方程是为了使最小
3.如图，在正方体中，点是线段上的动点含端点，则下列说法中正确的是( )
A. 直线与直线始终异面
B. 直线与直线始终垂直
C. 存在点使得直线与平面垂直
D. 直线与平面始终平行
4.已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若集合，集合，则 ．
6.不等式的解集为 ．
7.若幂函数的图象经过点，则实数的值为 ．
8.已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为 ．
9.若，求的值 ．
10.若函数为偶函数，则正实数的值为 ．
11.已知随机变量服从二项分布，若，则的值为 ．
12.从、、、、、中任取个数字，可以组成没有重复数字，且为奇数的四位数的个数是 ．
13.吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大．当时，气球的瞬时膨胀率即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率为 ．
14.已知圆锥的半径为，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面不含边界上任意一点，则的取值范围为 ．
15.如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为 ．
16.已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且对任意正整数，都有则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知
若函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值；
若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，平行六面体，点在底面上的投影落在线段上不含端点．
求证：直线平面；
若侧棱与底面所成的角为，求平面与底面所成二面角的大小．
19.本小题分
某科技公司共有员工人，其中男员工人，女员工人．为推广一款新工作软件，在全体员工中随机抽取人进行调查，得到他们对该软件的接受与否如下表：
接受 不接受 合计
男性
女性
合计
是否有的把握认为该科技公司“性别与是否接受该软件”有关联；
将样本中男性和女性对这款新工作软件各自的接受率作为总体中相应性别的接受率的估计．现从该公司所有员工中随机抽取人，设事件为“员工接受该软件”，事件为“员工为女性”．
求精确到小数点后位；
若该员工接受软件，求该员工为女性的概率精确到小数点后位．
参考公式：，
20.本小题分
已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点．
若点到焦点的距离等于，求点的坐标；
若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标；
若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值．
21.本小题分
已知函数是定义在上的函数，其导函数为对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为．
若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由；
若证明：；
若，其中均为正实数，求若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为函数在区间上是严格增函数，
所以其最大值在右端点处取到，其最小值在左端点处取到，
即，
化简得，即，
解得．
因此，实数的值为．
由题意得；即关于的方程在有两个不同的实数解，
即关于的方程在有两个不同的实数解，
因为，
因此．
由题意得，即
综上，实数的取值范围为．

18.解：连接、，作底面于，
由题，底面，又底面，故，
因为四边形为平行四边形，且，
因此四边形为菱形，
平面，平面，
因此，平面
解法一：作于，连接，
由题，底面，即在底面的射影，
所以，即侧棱与底面所成的角，
在直角中，由，知．
设，则由题意可知，
又底面，是底面的斜线，是在底面的射影．
因为，所以三垂线定理，注：可用线面垂直证明
所以即为二面角的平面角
，又平面平面，
因此，平面与底面所成角为或；
解法二：作于，连接
由题，底面，即在底面的射影，
所以，即侧棱与底面所成的角．
在直角中，由，知．
故为菱形的中心，即此时．
以为坐标原点，分别以、与的方向为、与轴的正方向，建立空间直角坐标系．
令，则、、
则
设平面的法向量为，则，
从而得到平面的一个法向量为，
又底面的一个法向量为，
从而
所以，平面与底面的二面角是或．

19.解：提出原假设：：“性别与是否接受该软件”无关，
，
由于，，
因此没有的把握认为该科技公司“性别与是否接受该软件”有关联．
总体中女性员工占比，男性员工占比，
用样本接受率估计总体，得女性接受率，男性接受率，
由全概率公式得．
由条件概率公式．
20.解：设，因为点焦点的距离等于，
由抛物线的定义，可得，故
将代入抛物线，可得，
所以点的坐标为或．
由题意，设直线方程，且
由，可得，即，
即，解得，
联立方程组，整理得，
则，且，所以，解得，
所以直线方程，当时，，
此时直线过定点，定点坐标为．
由题意，可设直线且，
由，可得 则直线，
联立方程组，整理得，
则，且，
同理可得：，即，
则，
，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．

21.解：若，则，故，
当时，，取，则，
显然，
因此不是函数的“切线支撑点”．
由题，令
，
又，
故时，，函数严格增；
时，，函数严格减；
因此，，
即对任意，对任意恒成立，
由此可得．
由题，，
则存在，使得对任意恒成立，
即对任意恒成立，
显然，，，
由可得，，即，其中，
故，
显然，也满足，
因此．
此时，，
，故直线方程为，
代入，得，
因此，坐标原点到直线的距离．

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