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四川成都市武侯区2025-2026学年下学期九年级模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.榫卯是我国古建筑中特有的一种结构，体现了古代工匠的精湛技艺．如图是一种榫卯部件的示意图，则它的左视图为（）
A. B. C. D.
2.2026年3月26日，第114届全国糖酒商品交易会在成都盛大启幕.本届糖酒会以“过完春节过春糖”为主题，在成都中国西部国际博览城、世纪城新国际会展中心举办，展览总面积达32.5万平方米.将数据32.5万用科学记数法表示为（　　）
A. 32.5×104 B. 32.5×105 C. 3.25×104 D. 3.25×105
3.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
4.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值可能是（ ）．
A. B. C. D.
5.在2026年米兰冬奥会上，中国体育代表团夺得5金4银6铜共15枚奖牌，奖牌总数与北京冬奥会持平.回顾中国体育代表团参加的近六届冬奥会，其每届获得奖牌总数（单位：枚）的情况如表：
年份 2026年
（米兰） 2022年
（北京） 2018年
（平昌） 2014年
（索契） 2010年
（温哥华） 2006年
（都灵）
奖牌总数 15 15 9 9 11 11
则奖牌总数这组数据的中位数是（　　）
A. 9 B. 11 C. 12 D. 15
6.如图，已知的半径为2，在上顺次取四点，连接，，，．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7.我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并雀、燕重一斤，问雀、燕各重几何？”其大意是：今有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，燕轻.若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者重量相同.已知5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？若设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则可列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
8.已知二次函数的图像及其对称轴如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.因式分解： ．
10.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 ．
11.氢氧化锂（LiOH）和氢氧化钠（NaOH）均可作为吸收二氧化碳（CO2）的吸收剂，实验表明：在相同条件下，吸收CO2的质量与吸收剂的质量之间的关系如图所示，则根据该图象，选用 作吸收剂对CO2的吸收效果更好.（请选填“LiOH”或“NaOH”）
12.已知桌面上平放着一个矩形木框ABCD，拖动顶点C，使其变为平行四边形木框ABEF，其示意图如图所示.若矩形ABCD的面积是平行四边形ABEF的面积的3倍，则cosE的值为 .
13.如图，在中，，．按以下步骤作图：
①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；
②作直线，分别交，于点；
③连接，若，则的长为 ．
14.已知，则代数式的值为 ．
15.若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
16.台球是一项室内体育运动，兼具竞技性和娱乐性．如图是某场台球比赛开局前球的摆放情况：颗球刚好整齐紧密地排列在等边三角形框内，其示意图如图所示，在图中，若每个小圆的直径为，则这个等边三角形的边长为 ．
17.如图，在菱形ABCD中，点E为CD的中点，连接BE，过点C作BE的垂线，交AD于点F，交BE于点G.若∠FCD=2∠EBC，AF=1，则菱形的边长为 .
18.在平面直角坐标系中，将抛物线绕着点旋转得到抛物线．已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，则的取值范围是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.解答下列各题；
(1) 计算：；
(2) 解不等式组：．
四、解答题：本题共7小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题15分)
某企业招聘了甲、乙两名员工，准备将其中一名分配到产品推广团队，已知甲、乙两名员工分别通过了场景演示、专业笔试和综合素质三个项目的考核，并根据他们各项得分（单位：分）的情况绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 填空：已知甲的场景演示得分为84分，则甲的三项总得分是 分；
(2) 乙的三项总得分与甲的三项总得分相等，请补全条形统计图；
(3) 在（1）和（2）的基础上，若该企业将场景演示、专业笔试、综合素质三项得分按的比例确定甲、乙的最终得分，并择优分配到产品推广团队．试问：谁将分配到产品推广团队？请通过计算说明理由．
21.(本小题10分)
春天里的锦官城繁花似锦，春意盎然．某景区开放观光热气球项目，游客可以乘坐观光热气球腾空俯瞰，将春日美景尽收眼底．如图，当热气球从地面P处垂直上升到一定高度的Q处时，游客观测到景点A的俯角，观测到景点B的俯角．已知景点A，B的水平距离为100米，且点A，B，P在同一条直线上，求热气球垂直上升的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
22.(本小题10分)
如图，为的直径，为上一点，连接，．过点A作的切线，交的延长线于点D．在上取一点E，使得，连接，交于点F．
(1) 试判断的形状，并说明理由；
(2) 连接，若，，求的长及的半径．
23.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于和B两点．
(1) 分别求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2) 在反比例函数图象上取点，过点M作直线l（l不与x轴垂直），交x轴于点C，连接．
①如图，当直线l与反比例函数的图象有且只有交点M时，求的长；
②设直线l与反比例函数的图象在第一象限内相交于另一点D，连接．当时，求点D的坐标．
24.(本小题12分)
位于成都未来科技城的商业航天产业园“未来星谷”部分地块主体已完工，预计2026年底逐步投运，聚焦卫星整星制造、地面设备制造等商业航天产业链关键环节．某航天科技公司为该产业园配套生产A，B两种型号的卫星零部件，已知每个B型零部件的成本是每个A型零部件成本的，用4200元生产B型零部件的数量比用3150元生产A型零部件的数量多12个．
(1) 分别求每个A型和B型零部件的成本；
(2) 该公司计划用不超过6万元的总费用生产A，B两种型号的零部件共400个．生产过程中，每个A型零部件可获利25元，每个B型零部件可获利20元，试问：A，B两种型号的零部件分别生产多少个时，公司所获得的总利润最大？并求出最大总利润．
25.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点的抛物线与直线相交于，两点．
(1) 分别求点的坐标及抛物线的函数表达式；
(2) 为第二象限内的抛物线上一动点，作直线交轴于点．
（ⅰ）如图，连接，当，且面积为时，求k的值；
（ⅱ）直线交抛物线于另一点，连接，作直线交轴于点．当时，求出此时的值；并在此条件下继续探究：随着点的运动，抛物线的对称轴上是否存在定点，始终满足？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题15分)
已知为矩形的对角线，，点E是边上一动点（点E不与B，C重合），连接，过点E作的垂线，交于点F，交直线于点G．
(1) 【初步感知】求证：；
(2) 【深入探究】如图，当时，若，求的长；
(3) 【拓展延伸】当时，若是以为腰的等腰三角形，求的值．（用含n的代数式表示）
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】LiOH．
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】/
17.【答案】
18.【答案】或
19.【答案】【小题1】
【小题2】
解不等式①：
解不等式②：
所以不等式组的解集为．

20.【答案】【小题1】
240
【小题2】
解：∵乙的三项总得分也为240分，其中场景演示78分、综合素质80分，
∴乙的专业笔试得分为：(分) ；
【小题3】
解：甲的各项得分：
甲的场景演示：84分（占比) ，
甲的专业笔试：分，
甲的综合素质：分，
按的比例计算最终得分，甲的最终得分为：(分)；
乙的各项得分：
乙的场景演示78分，
乙的专业笔试82分，
乙的综合素质80分，
按的比例计算最终得分，乙的最终得分为：(分)；
因为，所以甲的最终得分更高，甲将被分配到产品推广团队．

21.【答案】解：如图，连接，
∵热气球从地面P处垂直上升到一定高度的Q处，
∴，
由题意知，米，，
∴，，
∴，
设热气球垂直上升的高度为x米，则米，米，
在中，，
即，
解得，
答：热气球垂直上升的高度约56.3米．

22.【答案】【小题1】
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴，
∵
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
【小题2】
如图，连接，，交于，
∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
设，
∵
∴，
∴
∵，为半径，
∴，,，
∴在中，，
∵，
∴
∴在中，
∴
解得

23.【答案】【小题1】
解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小题2】
解：①∵点在反比例函数的图象上，
∴，
设直线l的表达式为，
∴，
∴，
∴直线l的表达式为，
联立得，整理得，
∵直线l与反比例函数的图象有且只有交点M，
∴，
解得，
∴直线l的表达式为，
令，则，
解得，
∴，
∵点B的坐标为，
∴；
②∵，整理得，
解得，，
∴点D的坐标为，
设直线的表达式为，
∴，解得，
对于直线l的表达式为，
令，则，解得，
∴点C的坐标为，
∴直线的表达式为，
∴，
解得，
∵，
∴，即，
解得（舍去）或，
∴点D的坐标为．

24.【答案】【小题1】
解：设每个A型零部件的成本为元，每个 B型零部件的成本为元，
依题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
∴，
∴每个A型零部件的成本为175元，每个B型零部件的成本为140元；
【小题2】
解：设生产A型零部件个，则B型零部件个，总利润为元，
∵不超过6万元的总费用生产A，B两种型号的零部件共400个，
∴，
化简得，
解得
∵为非负整数，
∴取最大值为，
则
∵
∴随增大而增大，
因此时最大，
此时型数量为（个），
最大总利润：元，
∴生产A型零部件114个，B型零部件286个时总利润最大，最大总利润为8570元．

25.【答案】【小题1】
解：中，
令，，
解得，
∴点的坐标为，
把点和的坐标代入，
可得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
【小题2】
解：（ⅰ）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴．
（ⅱ）设，，
作轴于点，作轴于点，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
由得，
∴、为的两个根，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，，
由得或，
∴，
∵，，
∴的中点横坐标为，
设直线的解析式为，则，
∴，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴上存在定点，始终满足，点的坐标为或．

26.【答案】【小题1】
证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：如图所示，过点F作于点H，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得（已检验）或（舍去），
∴；
【小题3】
解：当时，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
同理可得，
∵，
∴
由（1）得，
∴，即平分，
如图所示，过点E作于点H，则，
∵，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．

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