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广东广州市增城区六校（仙村中学、永和中学、派潭中学、中新中学、荔城中学、高级中学）2025-2026
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.如图, 一个三棱柱形容器中盛有水, 则盛水部分的几何体是( )
A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱
2.复数的共轭复数=（ ）
A. B. C. D.
3.在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是()
A. ＝(0，0)，＝(1，2) B. ＝(－1，2)，＝(5，－2)
C. ＝(3，5)，＝(6，10) D. ＝(2，－3)，＝(－2，3)
4.如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，且，则 D. 若，且，则
6.中，，，，则边上的高为（ ）
A. B. C. D.
7.已知ABC所在的平面上的动点P满足=||+||,则直线AP一定经过ABC的( )
A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心
8.在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（）
A. 4 B. C. D. 6
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的模为
C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D.
10.已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是
C. 若，则
D. 若，则在方向上的投影向量为
11.正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（ ）
A.
B. AB与共面
C. 平面与该正方体所得的截面面积为．
D. 平面将正方体分成前后两部分的体积比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z＝-3+ai(a∈R)对应的点到原点的距离是a+1，则实数a＝ ．
13.已知平面向量，若，则 .
14.如图，两个正交的全等正四面体（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点），若正四面体棱长为2，则这两正交四面体公共部分的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bC-cB=0.
(1)求B;
(2)若b=,c=,求ABC的面积.
16.(本小题15分)
如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm．
(1)求四棱台的表面积；
(2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积．
17.(本小题15分)
如图，ABCD，ABEF是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点．

（1）证明：D，G，H，F四点共面．
（2）证明：直线DG，AB，FH经过同一点．
（3）证明：平面GBH∥平面DAF．
18.(本小题17分)
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角C的值
(2)若，的面积为，求的周长．
(3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围．
19.(本小题17分)
定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
(1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
(2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
(3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】4
13.【答案】0
14.【答案】
15.【答案】解:(1)因为bC-cB=0，
利用正弦定理：，
由于0＜A、B、C＜π，
所以,
所以，即,
故B=；
(2)因为b=,c=,B=,
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB,
所以,
整理得，解得a=4或-1(舍去)，
所以．
16.【答案】解:(1)正四棱台侧面是全等的等腰梯形,分别取 ,BC中点M,N,连接 ,ON,MN,
作MHON交ON于H,如图所示,
因为MH, OH,且 OH,则四边形为矩形,
则 =MH=3dm,M=1dm,ON=2dm,HN=ON-OH=1dm,
所以MN===dm,
所以四棱台 的表面积为S=++4(2+4)=(20+12).
(2)若要这块石料最大限度打磨为一个圆台,
则圆台 的上、下底面圆是正四棱台的上下底面正方形的内切圆, 高为正四棱台的高,
则圆台 上底面圆半径 =1dm,下底面圆半径 ,高 =3dm,
则圆台 的体积为V=(1+4+12)3=7.
17.【答案】证明：（1）连接CE，四边形ABCD，ABEF是两个全等的矩形，
可得DC=AB，且CD=AB，EF∥AB，且EF=AB，
所以DC∥EF且DC=EF，所以四边形CDFE为平行四边形，
所以DF∥CE，且DF=CE，
因为G，H分别是BC，BE的中点，可得GH∥CE且HG=CE，
所以GH∥DF且GH=DF，
可证得D，G，H，F四点共面；
（2）由（1）可得GH=DF，且D，G，H，F四点共面，
可得DG与FH相交，
设DG∩FH=M，
因为DG 平面ABCD，所以M∈平面ABCD，
同理可得M∈平面ABEF，
所以点M在平面ABCD与平面ABEF的交线上，而平面ABCD∩平面ABEF=AB，
所以M∈AB，
即证得直线DG，AB，FH经过同一点M；
（3）由（1）可得HG∥DF，BG∥AD，
又因为DF 平面ADF，HG 平面ADF，
所以HG∥平面ADF，
同理可得BG∥平面ADF，
而HG∩BG=G，HG，BG 平面BHG，
所以平面GBH∥平面DAF．
18.【答案】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC，
∴cosC=，
又0＜C＜π，
∴C=；
（2）由余弦定理得7=a2+b2-2ab ，
∴（a+b）2-3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2-18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
（3）
=
△ABC为锐角三角形，则
，
∴,
△ABC的周长取值范围是
19.【答案】解：（1）函数的“源向量”为 ，
所以，
所以函数 的值域为；
（2）因为 ,
故的“源向量”,
故 ，
则如图正三角形ABC中, ，则 ，
所以）， ，
从而 ，
，
则
；
因此可得 为定值.
（3）如下图所示：
函数的“源向量”为 ，
则 ，则 ，
则 ，
则又 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，即 ，
当且仅当 时取等号，
又因为当顶点 无限接近顶点 ，边 无限接近0，即 无限接近0，
综上所述 ，
令 ，,
则 ,
从而 ，,
所以时, ，
即的取值范围 ．

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