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江苏省镇江市丹阳市2025-2026学年高一下学期期中数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，，且与共线，则实数（ ）
A. 2 B. C. 8 D.
2.在中，内角的对边分别为，且，则角为
A. B. C. D.
3.已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则a，b，c共面
C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面
5.在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.在四边形中，，则的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知均为非零向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与共线且反向
D. 若，且与的夹角为锐角，则
10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则为直角三角形
D. 若为锐角三角形，则
11.在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（ ）
A. 底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线
B. 异面直线和所成角的范围
C. 存在点，使得
D. 若，则过点的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角所对的边分别为，若，则 ．
13.已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为 .
14.若对于恒成立，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量满足.
(1)若的夹角为，求；
(2)若，求当为何值时，.
16.(本小题15分)
已知为锐角，.
(1)求的值：
(2)求的值.
17.(本小题15分)
在中，点满足.
(1)若点为AP的中点，试用向量表示；
(2)若，求的余弦值；
(3)过点的直线与AB，AC所在的直线分别交于点，求的最小值.
18.(本小题17分)
如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.
(1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程；
(2)求直线与所成角的余弦值；
(3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点.
19.(本小题17分)
在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且.
(1)证明：；
(2)若，求；
(3)求的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】0.5/
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，，的夹角为，
所以.
（2）若，则，即，所以，
因为，
令，即时，，
所以当时，.

16.【答案】解：（1）已知为锐角，，由同角三角函数关系可得：，
由，代入得：
解得（为锐角，舍去），故，
由二倍角公式：.
（2）因为为锐角，所以，由得：
，
因此.
由，代入，：
，解得.
所以.

17.【答案】解：（1）因为，所以，
整理得，又因为点为AP的中点，
所以，
所以；
（2）设，由，
得，
即，
解得；
（3）因为M，P，N共线，且，
所以，
又因为，则，即，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是3.

18.【答案】解：（1）如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得，
连接，因为是的中点，是的中点，
所以，，又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，故，
所以.
（2）取棱的中点，连接，
又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以直线与所成角，即为或其补角，
在中，，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为.
（3）因为是的中点，是的中点，所以，，
又在正方体中，易得，，
所以，，
记直线与交于点，因为平面，所以平面，
同理，平面，
所以平面平面，
所以直线三条直线交于一点.

19.【答案】解：（1）由，得，
所以，得.
（2）因为是锐角三角形，且，
所以，解得，.
若，由正弦定理得，又，
所以，即，
所以，
所以，得，
又为锐角，所以.
（3）由正弦定理，
因为是锐角三角形，
所以，且，
解得或（舍去），
令，设，
当时，单调递增，故，
又，所以，
所以的取值范围为.

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