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山东烟台市牟平区2025-2026年度九年级第二学期期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在-1，0，1，这四个数中，绝对值最小的数是（　　）
A. B. -1 C. 0 D. 1
2.我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.如图,一横一竖两块砖头放置于水平地面,其主视图为 ( )
A. B. C. D.
5.《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢 ”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇 ”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ）
A. B. C. D.
6.下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（）
日期气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高 12 6 10 9 8
最低 1 0 2
A. 日最高气温的波动大 B. 日最低气温的波动大
C. 一样大 D. 无法比较
7.如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（ ）
A. 130° B. 140° C. 150° D. 160°
8.如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，则正六边形（）的顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10.如图,O是坐标原点,二次函数y=a+bx+c(a0)的图象与x轴交于A,C两点,与y轴交于B点,顶点为D,对称轴为直线x=-2,其中A(2,0),B(0,c),且-3< c<-.以下结论:abc>0;< b<1;ACD是钝角三角形;若方程a+(b-2)x+c=0的两根为,(<),则-2<<4-2,6<<4+2.其中正确的结论有()

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.分解因式： ．
12.2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射.火箭的入轨速度高达11.5千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒.
13.如图所示，，以点O为圆心，2为半径作圆，与射线、分别交于A、B两点．若分别以点A、B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接、、，则在之外，之内部分区域的面积是 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在轴上，点在轴上．若，，，则点坐标为 ．
15.如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线→→向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位： s）的关系如图2所示．则实数 ．
16.如图，在中，，点在边BC上（与点不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是 ．
三、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
先化简，再求值：，其中a是4的平方根.
18.(本小题16分)
为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动．下面是该校对活动中小发明模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
小发明模型设计水平调查报告
调查主题：“逐梦科技强国”活动中小发明模型设计水平
调查目的：通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识
调查对象：某校学生小发明模型设计成绩
调查方式：抽样调查
数据收集与表示：随机抽取全校部分学生的小发明设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： A：．
下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用：
根据以上信息解决下列问题：
(1) 本次共抽取了 名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ；
(2) 请补全频数分布直方图；
(3) 请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
(4) 现从表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
19.(本小题10分)
如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ．
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
20.(本小题10分)
请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．
请完成下列任务：
(1) 任务一：每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
(2) 任务二：若恰好赶上价格调整，篮球价格是原价格的八折，排球提价5%，请你给出最节省费用的购买方案．
21.(本小题10分)
在校园的水平地面上有两座建筑物，，其中建筑物．数学社团的成员小明，从A，B之间的E点（A，E，B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为和，从C点测得D点的仰角为．
(1) 根据以上信息，请你帮助小明画出便于测量计算的平面示意图，并标明字母和角度；
(2) 根据示意图，求的度数及建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
22.(本小题10分)
如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，．
(1) 求证：；
(2) ①求的半径长；②求线段的长．
23.(本小题12分)
【问题呈现】
如图，在菱形中，，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点与点不重合）．
(1) 【问题解决】如图①，若点P与线段的中点O重合，则 度，线段与线段的数量关系是 ；
(2) 【问题探究】如图②，在点P运动过程中，点E在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3) 【拓展延伸】在点P运动过程中，将线段绕点E逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
24.(本小题15分)
如图，二次函数y＝-x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M(m，y1)，N(m+2，y2)为二次函数y＝-x2+2x+3图象上两点．
(1) 求直线BC对应函数的表达式；
(2) 试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
(3) 已知P是二次函数y＝-x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1-m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1:4，请直接写出所有满足条件的m的值．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】1.15×104
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】20
16.【答案】①②③④
17.【答案】，原式=．
18.【答案】【小题1】
50
83.5
144°
【小题2】
解：B组的人数为；
补全频数分布直方图如下：
模型设计成绩的频数分布直方图

【小题3】
解：，
估计全校1200名学生的小发明模型设计成绩不低于80分的人数为720人；
【小题4】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，
∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．

19.【答案】【小题1】
解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∵直线 经过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ，反比例函数和解析式为 ；
【小题2】
解：作一三象限的角平分线，如图，
∵，∴，
根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称，
∴，
作轴于点，作轴于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∴点，设直线l向上平移个单位经过点，
∴平移后的直线为，
∴，
解得，
∴直线l平移的距离为．

20.【答案】【小题1】
解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：
解得：
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元．
【小题2】
解：购买篮球a个，购买排球个，总花费w元，
根据题意得：
解得：，且为整数，
，
化简得：，
，w随着a的增大而增大，
当时，，
此时，购买排球为（个），
答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，排球40个．

21.【答案】【小题1】
解：如图所示：，A，E，B在同一水平线上，从E点测得D点，C点的仰角分别为和，从C点测得D点的仰角为，
【小题2】
解：设，
在中，，，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．

22.【答案】【小题1】
证明：∵，分别切于点，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：①连接，
∵，分别切于点，，
∴，，，
∴，，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径长为；
②∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】


【小题2】
解：，理由如下：
如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵点在线段上，且，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：如图，当在线段上，记与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，延长交于，
同理可得：，，
∴，
设，而，则，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
综上：的长为或.

24.【答案】【小题1】
解：∵二次函数y＝-x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点， 令y＝0，则-x2+2x+3＝0， 解得x＝-1或x＝3，∵点A在点B左侧，∴点B的坐标为(3，0)． 令x＝0，则y＝3，∴点C的坐标为(0，3)． 设直线BC对应函数的表达式为y＝kx+b(k≠0)， 由题意，得解得∴直线BC对应函数的表达式为y＝-x+3；
【小题2】
不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下：∵M(m，y1)，N(m+2，y2)为二次函数y＝-x2+2x+3图象上两点，∴y1＝-m2+2m+3， y2＝-(m+2)2+2(m+2)+3＝-m2-2m+3，∴y1+2y2＝-m2+2m+
3+2(-m2-2m+3)＝-3m2-2m+9， 配方，得，∴当时，y1+2y2有最大值为．∵，∴不存在实数m使得y1+2y2＝10；
一题多解法
不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下： 同方法一，得y1+2y2＝-3m2-2m+9． 当y1+2y2＝10时，-3m2-2m+9＝10， 即3m2+2m+1＝0．∵Δ＝4-12＝-8＜0，∴方程没有实数根，∴不存在实数m使得y1+2y2＝10；
【小题3】
或．
【解法提示】如图，过点N作NH// y轴，交x轴于点H，交直线BC于点N′，过点P作PQ⊥NH，垂足为Q，过点M作MM′// y轴，交直线BC于点M′，则MM′// NN′．当x＝1-m时，y＝-(1-m)2+2(1-m)+3＝-m2+4，∴点P的坐标为(1-m，-m2+4)，∵点N的坐标为(m+2，-m2-2m+3)，∴点Q的坐标为(m+2，-m2+4)，点H的坐标为(m+2，0)，点N′的坐标为(m+2，-m+1)，∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|-m+1|，∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°，∴PN// BC，∴△MDE∽△MNP，∴，∴，即MD＝ND．∵MM′// NN′，∴△MM′D∽△NN′D，∴，即MM′＝NN′．∵点M的坐标为(m，-m2+2m+3)，∴点M′的坐标为(m，-m+3)，∴m2-3m＝-m2-m+2，即m2-m-1＝0，解得或．

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