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山东省济南市天桥区2025-2026学年第二学期期中阶段性检测八年级数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面是4个AI“神器”的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A. B.
C. D.
3.下列分式是最简分式的是（）
A. B. C. D.
4.如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
5.将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，点D恰好在上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7.某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能源汽车所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同.设现在平均每天组装x辆新能源汽车，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
9.关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是 　　
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
10.如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，共25分。
11.因式分解： ．
12.若分式 的值为0，则x的值为 ．
13.若关于x的不等式（a-1）x＞a-1的解集为x＜1，则a的取值范围为 .
14.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着的方向平移13 cm到达三角形的位置，若，，则阴影部分的面积为 cm2．
15.如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．
16.【定义新知】
给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．
例如：不等式P：是Q：的子集．
同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”．
例如：不等式组M：是不等式组N：的子集．
【新知应用】
(1) 请写出不等式的一个子集 ；
(2) 若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）；
(3) 若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ；
(4) 若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ；
(5) 已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ．
三、计算题：本大题共4小题，共26分。
17.因式分解：
(1) ；
(2) ．
18.计算：
(1) ；
(2) ；
19.解方程：．
20.解不等式组，并写出其整数解．
四、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题5分)
先化简，再求值：，其中
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1， 的三个顶点分别是 ， ， ．
(1) 把 向左平移5个单位后得到对应的 ，请画出平移后的 ；
(2) 把 绕原点O旋转 后得到对应的 ，请画出旋转后的 ；
(3) 观察图形可知， 与 关于点( , )中心对称．
23.(本小题12分)
根据以下素材，探究完成任务．
背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元．
素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折．
解决问题：
(1) 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
(2) 张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（），
若按方式一购买，共需 元；
若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示）
(3) 请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？
24.(本小题8分)
宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍．
(1) 求甲、乙两种点茶器具套装的单价．
(2) 某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？
25.(本小题12分)
阅读下面材料，并解决问题：
(1) 如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ；
(2) 基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：；
(3) 能力提升如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】-2
13.【答案】a＜1
14.【答案】40
15.【答案】 /
16.【答案】【小题1】
/（答案不唯一）
【小题2】
A
【小题3】
【小题4】
120
【小题5】

17.【答案】【小题1】
解：
【小题2】
解：

18.【答案】【小题1】
解：原式
．
【小题2】
解：原式
．

19.【答案】解：去分母得，，
去括号得，，
移项合并得，
系数化为1得，，
检验：当时，，
则原方程的解为．

20.【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为，
则此不等式组的整数解为5，6．

21.【答案】解：原式=
=
=，
当时，原式==．

22.【答案】【小题1】
解：如图， 即为所求；
【小题2】
解：如图， 即为所求；
【小题3】
0

23.【答案】【小题1】
解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元；
【小题2】
（384+2.4m）
（378+2.7m）
【小题3】
解：根据题意得：，
解得：，
又∵，
∴．
答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算．

24.【答案】【小题1】
解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
【小题2】
解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，
根据题意得：，
解得：，
∴整数m的最大值为18，
答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．

25.【答案】【小题1】

【小题2】
解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接、，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴点C、O、、在一条直线上，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴,
∴．

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