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山东烟台市海阳市2025-2026学年九年级（五四制）下学期4月期中适应性检测数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在1，0，，四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
2.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
3.金石篆刻是我国传统艺术之一，它将书法与雕刻巧妙融合，尽显美学韵味．如图①是金石篆刻的表现载体——印信，其表面由若干正方形和等边三角形组成，可看作图②所示的几何体，则该几何体的主视图是（）
A. B. C. D.
4.某校组织的“书写大比武”活动中，九年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数（单位：分）分别是（）
A. 96，97 B. 96，98 C. 98，96 D. 98，97
5.如图，小颖制作了简易工具来测量物体表面的倾斜角，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行，再用细线和铅锤做成的铅垂线顶端固定在量角器中心点O处．如图，将三角板底边紧贴被测物体表面，此时铅垂线在量角器上对应的刻度为，则由倾斜角的度数，可得物体表面的倾斜度为（ ）
A. B. C. D.
6.正方形内有如图所示的阴影区域，随机向正方形内投针，针尖落在阴影部分的概率为（）
A. B. C. D.
7.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到该三角形内心的是（）
A. B.
C. D.
8.如图，将半径为1，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，点O，B的对应点分别为O ，B ，连接，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
9.已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：
x 1 5
y 0 5 9 5
下列结论：①；②关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；③当时，y的取值范围为；④若和是抛物线上的两点，则当时，；⑤当时，满足．其中所有正确结论的序号为（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③⑤ D. ①②④⑤
10.有一列数，记为，，，，记其前个数的和为，定义为这列数的“阶和”．现有个数，，，，其“阶和”为，则，，，，这个数的“阶和”为（）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.可见光是电磁波谱中人眼可以感知的部分，一般来说，人的眼睛可以感知的电磁波的波长在之间．已知，则用科学记数法表示为 ．
12.如图，在数轴上，动点C位于点A，B之间（不与A，B重合），且点C表示的数是，则x的取值范围是 ．
13.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则多项式可因式分解为 ．
14.如图，在中，点D在边上，且，过点D作，交边于点E，将沿着折叠，得到，与边分别交于点F，G．若的面积为16，则四边形的面积为 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为 ．
16.如图，在矩形中，，，E，F，G分别是边，，上的动点，且，，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
先化简，再求代数式的值：，其中，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值．
18.(本小题10分)
如图，在中，，．
(1) 请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法；
(2) 在（1）的基础上，求的值．
19.(本小题16分)
随着我市东方航天港海上发射任务的高频次成功、商业航天产业链的持续完善，各学校掀起航天科技新热潮．某校准备举办“我的航天梦”科技活动周，并组织学生参加以下四项活动：A航模制作、B航天绘画展、C航天知识竞赛、D参观航天科技馆．为了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了若干名学生（每名学生只能选择其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图：
(1) 本次共调查了 名学生；
(2) 请将条形统计图补充完整；
(3) 在扇形统计图中，B项所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
(4) 若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的航天知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
20.(本小题6分)
海阳市东村河入海口大桥采用钢桁架拱——钢箱梁组合结构，双层桥面、弧形拱架，兼具通行、观景、生态展示功能，是海阳“河海交汇”地标．某综合实践小组开展了测量“桥拱架顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
测量过程 如图，点A为桥拱架最高点，在底层桥面的直线上选取B，C两点，分别在B，C处测出点A的仰角；在河边D处测出底层桥面到水面的竖直距离．
测量数据 B，C两点的距离为，，，底层桥面到水面的竖直距离，E，F在水面上共线，，且图中所有点在同一平面内．
问题解决 求桥拱架顶点A到水面的距离（结果保留一位小数，参考数据：，，，，，）．
21.(本小题10分)
某公司推出一款限量工艺品，每件成本为元．工艺品试销期间，公司制定如下销售方案：商家一次性购买不超过件时，每件按元销售；若一次性购买超过件，每多购买件，所购买的全部工艺品销售单价均降低元，但销售单价不低于元，且商家一次性购买该工艺品不能超过件．
(1) 商家一次性购买这种工艺品 件时，销售单价恰好为元；
(2) 设商家一次性购买这种工艺品（且为正整数）件，该公司所获利润为元．在规定范围内，商家购买多少件时，公司可获得最大利润？最大利润是多少元？
22.(本小题10分)
如图，半径为5的过x轴正半轴上一点B，与y轴负半轴交于C，D两点，连接，，平分，．
(1) 求证：与x轴相切；
(2) 求点A，D的坐标．
23.(本小题15分)
【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，点C关于的对称点F在边上．
(1) 请直接写出线段，，的数量关系；
(2) 【类比应用】如图2，是直角三角形，，，垂足为点D，点C关于的对称点F在边上．请写出线段，，的数量关系并说明理由；
(3) 【拓展延伸】在（2）的条件下，若，，求的值．
24.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，点C在y轴的负半轴上，且，D是线段上的动点（点D不与点B，C重合）．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 如图1，将沿x轴翻折得到，当点E恰在抛物线上时，求点D的坐标；
(3) 如图2，G是线段上的动点，连接，当时，求的最小值．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】或
14.【答案】
15.【答案】6
16.【答案】
17.【答案】解：原式
，
∵，且a为整数，
∴，又，
∴，
则当时，原式．

18.【答案】【小题1】
解：如图，点D，E即为所求．
【小题2】
解：如图，连接，，
∵，，
∴，，
又∵，，
，
，
∵，
∴，
∴，
设，，则，
∴，，
∴，
整理得，
解得，或（舍去），
∴，
∴．

19.【答案】【小题1】
40
【小题2】
解：本次共调查了40名学生；
则参加C项的人数为（名），
将条形统计图补充完整：
【小题3】
【小题4】
解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，抽取过程如图所示，
共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率是．

20.【答案】解：如图，过点A作于点H，延长交于点，
，
，
四边形为矩形，
，
在中，，
，
设，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
，
，
即桥拱架顶点A到水面的距离为米．

21.【答案】【小题1】
【小题2】
解：由（1）可知，当时，销售单价恰好为元，
①当时，
由题意可知，单价为元，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴离对称轴越近，函数值越大，
又∵为正整数，
∴当或时，取得最大值，且最大值为；
②当时，
由题意可知，单价为元，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，且最大值为；
∵，
∴最大利润为元．
答：在规定范围内，商家购买件或件时，公司可获得最大利润，最大利润是元．

22.【答案】【小题1】
证明：，
．
平分，
，
，
，
在y轴上，y轴轴，
轴，
又是的半径，
与x轴相切；
【小题2】
解：如图，过点A作轴于点H，
则，四边形为矩形，
，，
设，则，，
在中，，
解得，（舍去）．
，，，，
点A的坐标为，点D的坐标为．

23.【答案】【小题1】
解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点C关于的对称点F在边上，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：．理由如下：
如图，过点B作于点E．
点C与点F关于对称，
，．
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴，，
是等腰直角三角形，
∴，
，，
，即．
．
，则，即．
，
．
【小题3】
解：如图，过点A作于G，则是等腰直角三角形．
∴，，
，
，，
，，
，．
在中，．

24.【答案】【小题1】
解：将代入，得．
解得．
∴抛物线的表达式为；
【小题2】
解：由得，点B的坐标为，
，
点C的坐标为，
设直线的表达式，
将代入，得，
将代入，得，
，
直线的表达式，
设点D的坐标为，则点E的坐标为，
将点代入，
得，
解得，（舍去），
点D的坐标为；
【小题3】
解：如图，过点C作轴且，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当A，D，三点共线时，
有最小值为的长度，
在中，，，
，
点的坐标为，
又，
．
即的最小值为．

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